MODES DE VIBRATION TRANSVERSAL DANS UN FIL TENDU



MÉCANIQUE ONDULATOIRE

1. Fonction d'onde

2. Equation d'onde

3. Types d'ondes

3.1. Ondes périodiques

3.2. Ondes harmoniques

3.3. Ondes stationnaires

3.4. Modes de vibrations transversales dans un fil tendu

3.4.1. Conditions de Dirichlet

3.4.2. Conditions de Neumann

3.4.3. Lagrangien d'une corde

3.5. Modes de vibrations dans une membrane tendue

4. Phaseurs

Nous avons vu comment une onde peut progresser dans une corde. Montrons maintenant pourquoi c'est possible et établissons la relation y(x,t), donnant la forme de la corde en fonction du temps.

Soit un fil de diamètre equation, longueur L et masse m, la masse linéique du fil (supposée constante le long de celui-ci) est alors :

equation   (31.36)

Par un léger choc, créons une petite perturbation (afin de ne pas déformer le câble et maintenir constant sa masse linéique) transversale. Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueur equation.

Approximations :

A1. Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon à être presque parallèle à l'axe x. Les angles equation sont donc considérés comme petits

A2. La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.

Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure ci-dessous :

equation
  (31.37)

Si les angles sont petits, le bilan des forces donne :

equation   (31.38)

ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x :

equation   (31.39)

Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne :

equation   (31.40)

Donc :

equation   (31.41)

accélération selon y.

La loi de Newton appliquée à la masse equation donne (nous considérons que chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas allongement) :

equation   (31.42)

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :

equation   (31.43)

Qui s'égalise avec l'avant-dernière relation :

equation   (31.44)

et donc :

equation   (31.45)

Si equation, les deux tangentes tendent vers la même valeur, mais la fraction du membre de droite tend vers une valeur finie :

equation   (31.46)

Il en résulte l'équation différentielle :

equation   (31.47)

Cette dernière relation s'écrit plus souvent sous la forme suivante :

equation   (31.48)

et se nomme "équation des cordes vibrantes".

Remarque: Dans certains ouvrages, la densité linéique est notée equation et la force de tension dans la corde equation ce qui donne :

equation   (31.49)

Si nous vérifions les unités de equation sont celles du carré d'une vitesse equation, comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :

equation   (31.50)

Nous allons maintenant considérer un cas particulier très intéressant dans le cadre de la musicologie qui est celui de la corde tendue (la plupart des instruments à corde fonctionnant ainsi).

CONDITIONS DE DIRICHLET

L'objectif est dans le cadre de l'équation différentielle obtenue précédemment (petites déformations dans les cadres des instruments de musique) de trouver une fonction y(x,t) solution de cette dernière avec les conditions initiales suivantes, typiques à un instrument de musique :

C.I.1. equation (les extrémités A et B sont fixes - il s'agit des "conditions de Dirichlet")

C.I.2. equation (forme initiale du fil à l'excitation)

C.I.3. equation (vitesse initiale nulle en tout point)

Les deux dernières conditions sont appelées "conditions de Cauchy".

Pour résoudre cette équation différentielle linéaire, nous allons faire usage de la méthode de séparation de variables en posant :

equation   (31.51)

L'équation différentielle devient dès lors :

equation   (31.52)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable t et celui de droite ne contient pas la variable x. La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les considérer chacune comme constante, que nous noterons equation :

equation   (31.53)

Ainsi, nous avons deux équations différentielles :

equation et equation   (31.54)

Ces deux équations étant similaires, résolvons-les de manière générale (cf. la chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation avec equation   (31.55)

L'équation caractéristique est donc :

equation   (31.56)

d'où :

equation   (31.57)

Nous savons que la solution générale si les racines de l'équation caractéristique sont complexes, est de la forme :

equation   (31.58)

Pour nos deux équations différentielles, nous avons donc par similitude :

equation et equation   (31.59)

Cela donne pour la solution de notre équation d'onde :

equation   (31.60)

Déterminons les constantes equation en tenant compte des conditions initiales.

equation   (31.61)

Il ne reste que :

equation   (31.62)

Posons :

equation   (31.63)

La condition initiale equationimpose :

equation   (31.64)

Pour tenir compte de la vitesse initiale nulle, dérivons equation par rapport au temps :

equation   (31.65)

Il ne reste :

equation   (31.66)

La constante b représente donc l'amplitude du déplacement transversal du fil. Cette amplitude ne pouvant être la même partout en un temps donné et un position donné pour tout type d'excitation satisfaisant les conditions initiales, il doit existe autant de valeur equation que nous choisissons de valeurs n dans equation.

Le principe de superposition des solutions des équations différentielles linéaires (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) permet d'écrire que la combinaison linéaire de toutes les solutions pour la corde est finalement :

equation   (31.67)

Les equation doivent être choisis de manière à satisfaire la condition initiale qui donne la forme de la perturbation :

equation   (31.68)

Cette expression pour f(x) suggère de la comparer au développement en série de Fourier (cf. chapitre des Suites Et Séries):

equation   (31.69)

Dans laquelle equation et equation. Le théorème de Fourier impose alors que les equation sont donnés par :

equation   (31.70)

Imaginons maintenant une corde de longueur L fixée en ses extrémités et tendue. Choisissons la perturbation la plus simple possible : nous grattons la corde en son milieu de manière très sec, pour l'écarter d'une petite distance H de sa position d'équilibre.

La perturbation initiale y(x,0) est alors :

equation pour equation et equation pour equation   (31.71)

Calculons les coefficients de Fourier :

equation   (31.72)

L'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) donne :

equation   (31.73)

La fonction d'onde devient :

equation   (31.74)

À cause du equation, les termes pour lesquels n est pair sont tous nuls. Il reste :

equation
  (31.75)

Si nous retenons que le terme en n=1, nous aurions :

equation
  (31.76)

Nous avons :

equation   (31.77)

qui est le nombre d'onde correspondant à une longueur d'onde :

equation   (31.78)

et :

equation   (31.79)

qui serait la fréquence de vibration du fil de la première harmonique.

Ainsi, pour une valeur n quelconque, il est facile de démontrer que le n-ème "mode propre" est donnée par :

equation   (31.80)

avec :

equation   (31.81)

relations appelées "lois de Mersenne" (1644-1648).

où le mode de plus basse fréquence avec n valant 1 est appelé le "mode fondamental" associée à sa "fréquence fondamentale".

Ainsi, après avoir été gratté sec au milieu de sa longueur L, un fil maintenu rigidement à ses deux extrémités peut osciller suivant plusieurs modes. Le mode fondamental equation (harmonique fondamentale) correspond à la plus petite fréquence possible. Il lui correspond la longueur d'onde equation.

Les fréquences d'ordre n supérieures sont appelées "fréquences harmoniques". Pour un même déplacement initial H, l'amplitude maximale de la vibration diminue selon equationcomme nous le voyons dans l'expression de notre fonction.

Une autre manière d'exciter la corde est de la faire osciller de manière sinusoïdale, ce qui signifie dès lors que y(x,t) est de la forme :

equation   (31.82)

En substituant cette relation dans l'équation d'onde de la corde, nous obtenons :

equation   (31.83)

La solution se réduit alors à :

equation ouequation   (31.84)

La valeur n=0 ne peut pas être incluse car elle donne une corde sans excitation. En mettant cette fonction dans l'équation d'onde précédente et en simplifiant, nous obtenons trivialement :

equation   (31.85)

Ce sont les "fréquences d'oscillations de Dirichlet" pour une corde. Les cordes d'un violon par exemple sont des cordes de Dirichlet.

equation
  (31.86)

Les mêmes analogies, raisonnements et développements pourront être faits avec les conditions de Neumann ci-dessous .

Remarques:

R1. La théorie prédit que la vibration peut être une combinaison linéaire de plusieurs modes. Ce phénomène porte le nom de "vibration simultanée". Il se produit abondamment dans un piano.

R2. Les instruments de musique sont conçus pour émettre des sons à des fréquences conventionnelles, étant admis que la hauteur d'une note perçue par l'oreille est définie par la fréquence fondamental, par exemple le : Do (264 Hertz), La (440 Hertz)

R3. Lors de la construction de l'instrument, nous décidons de la valeur de equation (en choisissant le diamètre et de la nature de la corde) et nous déterminons la longueur L en cherchant le compromis entre l'intensité sonore que nous voulons émettre et la résistance mécanique de l'instrument qui doit supporter les forces F de tension.

CONDITIONS DE NEUMANN

Alternativement aux conditions de Dirichlet où les extrémités sont fixes et à hauteur égales, les conditions de Neumann supposent que les extrémités sont de petites boucles autorisées à glisser le long de deux barres sans frottements.

Pour notre corde, les conditions de Neumann spécifient les valeurs equation aux extrémités. Mais tant que les boucles sont supposées sans masse et sans frottements, la dérivée equation doit s'annuler aux extrémités equation. Si tel n'était pas le cas, alors de par la nullité de la masse de l'extrémité, le changement de vitesse sera du à une accélération infinie, ce qui ne peut être autorisé ! C'est ainsi que nous imposons au lieu de la condition de Dirichlet, la condition de Neumann définie par :

C.I.1. equation

les conditions C.I.2. et C.I.3. restant identiques.

Ce changement de condition n'empêche pas que la méthode de résolution par séparation de variables est la même que précédemment et que nous tomberons identiquement sur la relation suivant auquel il faudra appliquer la nouvelle condition initiale :

equation   (31.87)

sur laquelle nous appliquons donc la condition de Neumann :

equation   (31.88)

Il reste donc :

equation   (31.89)

en posant equation la fonction se simplifie en :

equation   (31.90)

La condition initiale, equation impose :

equation   (31.91)

Les mêmes développements pour la C.I.2. que nous avions fait avec la C.I.1. de Dirichlet s'appliquent ensuite de manière identique :

equation   (31.92)

ensuite, l'analogie avec les séries de Fourier s'applique de manière similaire mais avec les cosinus au lieu des sinus.

Les fréquences de Neumann d'une corde sont les mêmes que pour celle de Dirichlet soit :

equation   (31.93)

La particularité réside cependant dans la valeur de la fonction spatiale qui vaut cette fois trivialement :

equation ou equation   (31.94)

Effectivement, pour n=0 nous avons cette fois une amplitude equation identique qui est transmise tout le long de la corde sans que celle-ci ne vibre cependant !

Par ailleurs, faisons remarquer, que la fonction equation satisfait aussi pleinement les trois conditions initiales incluant celle de Neumann.

Effectivement, nous avons bien :

equation   (31.95)

et de plus, equation vérifie aussi l'équation d'onde :

equation   (31.96)

LAGRANGIEN D'UNE CORDE

Nous allons maintenant déterminer le lagrangien d'une corde, calcul qui nous sera en partie utile lors de l'étude de la théorie des cordes.

Nous gardons donc notre corde ayant une densité linéique et tension constante dont les extrémités sont situées en equation et dont la vitesse de la perturbation transversale est non relativiste.

L'énergie cinétique est alors simplement la somme des énergies cinétiques de chaque élément infinitésimal de la corde. Nous pouvons alors écrire en notation Lagrangienne :

equation   (31.97)

L'énergie potentielle intervient dans l'élongation de la corde dont une portion infinitésimale peut être vue comme variant de (x,0) à equation quand la corde est à l'équilibre. Quand une corde est momentanément mise sous tension de (x, y) à equation alors la variation de la longueur dl d'un élément infinitésimal de la corde est donnée trivialement par :

equation   (31.98)

Nous avons utilisé ci-dessus pour approximation le développement limité au deuxième terme en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), qui nous donne :

equation   (31.99)

Le travail effectué pour étirer chaque élément infinitésimal étant equation, l'énergie pontentielle totale est alors exprimée par :

equation   (31.100)

La lagrangien étant défini par equation (cf. chapitre de Mécanique Analytique), nous avons alors :

equation   (31.101)

equation est défini, très justement, comme étant la "densité lagrangienne" :

equation   (31.102)

L'action pour notre corde est alors :

equation   (31.103)

Dans cette action, le chemin d'action est la fonction y(x,t). Pour trouver les équations du mouvement, nous devons examiner la variation de l'action quand nous varions :

equation   (31.104)

Ce qui donne :

equation   (31.105)

Car :

equation   (31.106)

et ce identiquement pour le second terme.

Nous ne devons pas avoir de dérivées temporelles agissant sur les variations. Alors en utilisant la relation triviale suivante sur le premier terme :

equation   (31.107)

et identiquement sur le deuxième, nous pouvons récrire l'action :

equation   (31.108)

Comme nous l'avons vu en mécanique analytique, le bon chemin est donné par equation. Dès lors, nous devons avoir :

equation   (31.109)

Ainsi, notre expression contient trois termes. Chacun de ces trois termes doit s'annuler indépendamment comme nous allons le voir :

1. L'annulation du troisième terme se fait selon une condition triviale qui nous est déjà bien connue (heureusement...) :

equation   (31.110)

et donc :

equation   (31.111)

nous retrouvons donc l'équation différentielle d'une onde transversale telle que nous l'avions démontré plus haut. Notre hypothèse sur le troisième terme ne peut donc être que juste ainsi que l'expression de notre action.

2. Le premier terme est déterminé par la configuration de la corde aux temps equation :

equation   (31.112)

Or, si nous imposons la connaissance de ces configurations dans le temps, nous aurons par définition:

equation   (31.113)

(connaissance totale du chemin d'action car connaissance des conditions initiales, donc pas de variation). Cela valide encore une fois l'expression de notre action et la valeur nulle du terme comme attendu.

3. Le second terme est un peu plus intéressant :

equation   (31.114)

D'abord, ce n'est que parce que nous connaissons les positions des extrémités de la corde que nous pouvons connaître ces modes de vibrations, nous le savons bien! Il nous faut donc savoir comment se comportement les extrémités. Pour cela nous allons revenir sur des choses qui nous sont connues: les conditions de Dirichlet et de Neumann d'une corde.

Supposons que nous imposions les conditions de Dirichlet (voir plus haut), les extrémités sont alors fixes et nous aurons forcément à ces mêmes extrémités:

equation   (31.115)

et donc le deuxième terme disparaît bien (ouf!).

Si, dans à l'opposé, nous choisissons que les extrémités se meuvent librement, alors les variations:

equation   (31.116)

sont non contraintes et dès lors, seulement les conditions de Neumann:

equation

(voir plus haut pour plus de détails) nous permettront d'avoir le deuxième terme de l'action nul.

Pour prendre pleinement conscience de l'importance des ces conditions initiales, considérons la quantité de mouvement equation portée par la corde (il n'y pas d'autres composantes du mouvement car nous avons supposé implicitement une excitation transversale dès le début seulement dans cette direction y).

La quantité de mouvement est simplement la somme des quantités de mouvement de chaque élément infinitésimal le long de la corde :

equation   (31.117)

Vérifions juste par curiosité (c'est une curiosité anticipée...) si la quantité de mouvement est bien conservée :

equation   (31.118)

où nous avons utilisé l'équation d'onde transversale pour la substitution.

Nous voyons par le résultat de ce petit calcul que la quantité de mouvement est trivialement conservée si nous imposons les conditions de Neumann, alors que pour les conditions de Dirichlet, la plupart du temps la conservation n'est pas respectée! Effectivement, c'est trivial (il n'y pas besoin de calculs pour s'en rendre compte), lorsque les extrémités sont attachées au mur, le mur exerce constamment une force sur la corde.


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