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COURS DE MÉCANIQUE ONDULATOIRE

Nous nous intéresserons ici à l'étude des propriétés mathématiques des cordes vibrantes que nous pouvons également par extension et dans un souci de généralisation à des cas immatériels assimiler au concept des "ondes". Cette étude est très importante car nous aurons besoin de certains des résultats obtenus ici en thermodynamique, physique quantique, astrophysique, électrodynamique et théorie des cordes (pour ne citer que les plus importants).

Définitions:

D1. Une "onde" est un transport d'énergie sans transport de matière. Elle est concrétisée par la propagation d'une perturbation d'un milieu d'où l'appellation "d'ondes progressives". La vitesse avec laquelle l'onde progresse dépend des propriétés physiques du milieu.

D2. Dans le cas où la perturbation du milieu (déformation de l'onde) se fait de façon perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde transversale" ou de "perturbation transversale" (typique des ondes dans les cordes par exemple).

D3. Dans le cas où la perturbation du milieu se fait parallèlement à la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde longitudinale" ou de "perturbation longitudinale" (typique des ressorts).

FONCTION D'ONDE

Soit une perturbation  définie dans une région donnée de l'espace. Si nous remplaçons x par x-b, nous définissons dans cette même région, une perturbation f(x-b) identique à f(x) mais translatée d'un distance b dans la direction des X positifs (à droite donc si l'on adopte le système de représentation conventionnel vu en analyse fonctionnelle).

Si t représente un temps et si l'on  pose , alors v peut désigner la vitesse de translation de la perturbation.

Ainsi, nous appelons "fonction d'onde", la relation mathématique : 

  (31.1)

qui décrit la progression d'une perturbation y(x,t) dans l'espace :

-  décrivant une onde qui progresse vers +X

-  décrivant une onde qui progresse vers -X

v est par définition appelée "vitesse de phase de l'onde". Elle est constante un milieu homogène. "L'amplitude de l'onde" est la valeur maximale de la perturbation :

  (31.2)

En l'absence d'amortissement, elle conserver la même valeur en chacun des points x où l'onde passe.

EQUATION D'ONDE

Toute fonction f dont l'argument est   jouit de la propriété :

  (31.3)

Démonstration:

  (31.4)

Cependant, en dérivant une seconde fois, nous obtenons une autre forme de l'équation d'onde que nous retrouverons aussi fréquemment :

  (31.5)

Ce qui nous amène à écrire l'une des relations les plus importantes en physique appelée "équation de propagation" ou "équation de d'Alembert" et que nous retrouverons dans de nombreux autres chapitres du site (Électrodynamique, Physique Quantique Ondulatoire, Relativité Générale, Acoustique):

  (31.6)

C.Q.F.D.

Considérons maintenant une corde de longueur L attaché l'une de ses extrémités à une terminaison fixe. Supposons maintenant qu'une perturbation se propage sur cette corde. Lorsque la perturbation arrive à la terminaison, nous observons que celle-ci change de signe en même temps que sa vitesse de propagation s'inverse : l'onde subit ainsi une réflexion avec inversion.

Pour décrire le phénomène, il faut imposer :

  (31.7)

Une fonction d'onde  quelconque, qui progresse vers la terminaison, ne peut pas vérifier la condition :

  (31.8)

pour toutes les valeurs du temps !

L'astuce consiste à la remplacer par une autre fonction d'onde y(x,t) dont la forme est semblable à f à grande distance de l'origine de la perturbation, et qui s'annule au point de terminaison pour toutes les valeurs du temps. Pour cela, nous pouvons imaginer au point de la terminaison, un miroir qui donne de la corde une image de même longueur dans laquelle nous inventons une onde virtuelle :

  (31.9)

symétrique de , mais de signe opposé.

Nous décidons ainsi :

- que les deux ondes progressent l'une vers l'autre pour s'annuler au point de terminaison

- toute partie de l'onde réelle qui dépasse le point de terminaison devient virtuelle

- toute partie de l'onde virtuelle qui pénètre dans la corde devient réelle

A leur intersection, les deux ondes réalisent une interférence destructive au point de terminaison. La somme algébrique de ces deux fonctions d'onde est aussi une fonction d'onde :

  (31.10)

qui a la propriété voulue en x=L :

  (31.11)

Si nous considérons maintenant une terminaison libre, sans frottements avec son support d'attache, nous nous retrouvons dans un cas similaire au précédent à la différence que l'interférence est constructive au point de terminaison plutôt que destructive telle que la fonction d'onde s'écrive :

  (31.12)

TYPE D'ONDES

En physique théorique (et dans la pratique), nous restreignons fréquemment l'étude de certains phénomènes à des cas particuliers d'ondes. Principalement, nous en distinguons trois que nous allons brièvement mais soigneusement développer :

ONDES PÉRIODIQUES

Si un événement produit une onde qui ne transporte qu'une seule perturbation produite en un point donné, il existe de nombreuses qui sont capables d'exciter un milieu de manière répétitive.

Le point spatial de la source subit alors périodiquement la même perturbation. La durée d'un cycle complet est appelée identiquement à l'étude des pendules : "la période" T.

Si la perturbation peut se propager sous forme d'onde, à vitesse v, elle est décrite par la fonction d'onde que nous connaissons :

  (31.13)

En chaque point du milieu perturbé, l'onde périodique impose une "périodicité temporelle" de la perturbation qui nous impose d'écrire :

  (31.14)

Après plusieurs cycles d'excitations de la source, plusieurs perturbations sont distribuées dans l'espace.  La distance entre deux perturbations successives est appelée "longueur d'onde" .

La "périodicité spatiale" impose ainsi aussi :

  (31.15)

 est le chemin parcouru par l'onde pendant le temps T :

  (31.16)

Si une fonction d'onde est périodique dans le temps, elle l'est aussi dans l'espace, pour autant que l'impulsion ne se déforme pas lors de la progression.

Démonstration:

  (31.17)

En posant , nous avons bien :

  (31.18)

C.Q.F.D.

ONDES HARMONIQUES

Pour ces ondes, la fonction d'onde est une fonction trigonométrique de type sinus ou cosinus :

   ou     (31.19)

La présence de k appelé "nombre d'onde" est exigée pour 2 raisons :

- k s'exprime en  pour la cohérence des unités des fonctions trigonométriques

- la valeur de k doit assurer la périodicité de la fonction d'onde :

1. périodicité angulaire de la fonction mathématique :

2. périodicité spatiale de la fonction d'onde :

En égalant ces deux expressions :

  (31.20)

ce qui implique :

  (31.21)

Introduisons : 

  (31.22)

dans l'expression de k :

  (31.23)

d'où autre relation importante :

  (31.24)

La fonction d'onde de l'onde harmonique peut alors s'écrire sous la forme :

 ou  progressive selon +X

 ou  progressive selon -X
  (31.25)

ONDES STATIONNAIRES

Imaginons une corde excitée de manière harmonique. Au lieu d'adapter sa terminaison pour extraire de l'énergie de la corde, imposons que cette terminaison soit fixe. L'onde est alors réfléchie.

Une nouvelle fonction d'onde doit être définie pour décrire la superposition de l'onde incidente :

  (31.26)

et de l'onde réfléchie :

  (31.27)

en analogie avec le résultat que nous avions trouvé lors de notre étude des terminaisons :

  (31.28)

La relation trigonométrique :

  (31.29)

nous donne :

  (31.30)

Ce n'est plus une onde progressive car x et t ne se combinent plus comme . Certains points de la corde ne bougent jamais. Ils satisfont :

  (31.31)

et sont situés en :

  (31.32)

Pour des raisons évidentes, nous ne conservons que les valeurs de n pour lesquelles .

Nous observons dans un tel système, des fuseaux de vibration, de longueur , dans lesquels la corde vibre transversalement dans une zone de hauteur  (deux vers le haut, deux vers le bas).

Puisque , les ventres sont distants de  et situés à  des noeuds.

Si nous imposons maintenant une terminaison fixe aux deux extrémités d'une corde en vibration, nous nous retrouvons avec une "mise en résonance".

Le plus souvent, nous n'observons pas grand chose jusqu'à ce que nous trouvions la fréquence d'excitation qui place les noeuds de vibrations sur les deux points de terminaison fixe.

Dès lors pour une corde de longueur L :

  (31.33)

implique :

  (31.34)

La corde est alors le siège d'une onde stationnaire dont l'amplitude de vibration est considérablement plus grande que l'amplitude d'excitation (quatre fois).

Nous disons alors que la corde est rentrée en "résonance" avec l'excitateur.

La relation :

  (31.35)

montre qu'il y a plusieurs longueurs d'onde possible  dont la plus grande correspondant à n=1 est appelée "longueur d'onde fondamentale" et vaut bien évidemment .

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