THÉORÈME DE BERNOULLI
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
1. Solides
1.1. Pressions
1.2. Elasticité des solides
1.2.1. Module de Young
1.2.2. Loi de Hooke
1.2.3. Module de cisaillement
1.2.5. Module de compressibilité
1.2.6. Module de flexion
1.3. Ondes transversales dans les solides
2.1. Théorème de Pascal
2.2. Viscosité
2.2.1. Loi de Poiseuille
2.3.1. Théorème de Torricelli
2.3.2. Effet Venturi
2.3.3. Tube de Pitot
2.3.4. Perte de charge
2.4. Equations de Navier-Stokes
(Equation d'Euler de 1ère forme - Equation d'Euler de 2ème forme)2.4.2. Fluide compressible
2.4.3. Fluide statique
2.4.4. Nombre de Reynolds
2.4.5. Approximation de Boussinesq
2.4.6. Loi de Stokes
2.6. Poussée d'Archimède
2.7. Vitesse du son dans un liquide
3.1. Théorème du Viriel
3.2. Pression cinétique
3.3. Température cinétique
3.4. Libre parcours moyen
4.1. Fréquence plasma
Quand nous discutons du mouvement d'un fluide, l'équation de continuité (cf. chapitre Thermodynamique), qui exprime la conservation de la masse (volumique) du fluide est une notion importante.

Considérons
cette équation dans le cas particulier qui nous intéresse ici
un fluide non visqueux en écoulement laminaire se déplaçant à l'intérieur
d'un tube de lignes de courants parallèles (le mouvement du
fluide est de type irrotationnel - voir chapitre de Calcul
Vectoriel du site), délimité par la surface :

(34.110)
Nous sommes en régime
stationnaire (l'aspect du mouvement est indépendant du temps) et
la masse n'est ni apportée par une source ni enlevée par un puits
à l'intérieur de la région considérée. Le volume de fluide qui traverse
dans l'intervalle
correspond
à un cylindre de base
,
de longueur
et
donc de volume
.
La masse de fluide qui a traversé
pendant le temps
est
donc:
(34.111)
De même:
(34.112)
est la masse de fluide qui a traversé:
(34.113)
pendant le même intervalle de temps. Avec les hypothèses faites, l'équation de conservation de la masse exige que les deux masses soient les mêmes, ou que exprimé autrement:
(34.114)
D'où:
(34.115)
Ceci est la forme de l'équation de continuité dans le contexte qui nous intéresse. De plus, si le fluide est incompressible, la densité est partout la même et l'équation précédente se réduit à:
(34.116)
Considérons maintenant une région dans un fluide où il y a un flux stationnaire comme l'indique la figure ci-dessous:
(34.117)
Pendant un court intervalle
de temps ,
le fluide qui, initialement, traversait
a progressé jusqu'à une surface
à
la distance
tandis
que le fluide qui traversait
se
retrouve en
à
une distance
.
Puisque le reste du volume entre les surfaces
et
reste
inchangé, nous allons porter notre attention sur les deux volumes
(égaux) hachurés sur la figure.
Ces deux volumes sont
égaux car le fluide est incompressible et l'équation de continuité
est valable. Soient et
les
forces exercées sur les surfaces
et
en
raison de la pression existant dans le fluide. A cause de ces forces,
le fluide produit ou reçoit du travail en déplaçant les deux volumes.
En
,
la surface est poussée par le fluide et le travail exercé sur le
fluide
alors
qu'en
le
fluide pousse la surface et le travail effectué par le fluide est
.
Le travail total exercé sur le volume de fluide situé entre
et
est
donc:
(34.118)
en appelant et
les
pressions respectives en
et
et
en écrivant:
(34.119)
d'après la définition de la pression. Comme:
(34.120)
d'après l'équation de continuité et l'hypothèse d'incompressibilité, nous pouvons écrire que:
(34.121)
Le travail extérieur exercé
sur le système change son énergie propre comme l'établit
la thermodynamique ().
Pour le volume de fluide considéré, l'énergie
propre des volumes mis en évidence comprend l'énergie
cinétique et l'énergie potentielle
de gravitation. Le fluide entre
et
gagne
de l'énergie dans le volume
.
Supposons que les deux volumes aient une masse égale m,
de nouveau à cause de l'équation de continuité.
Alors le gain net d'énergie est:
(34.122)
Puisque nous avons déjà
supposé le fluide incompressible, la densité est
la même partout et m peut être remplacé par
aux
deux extrémités. D'où:
(34.123)
En combinant cette relation
avec nous
obtenons :
(34.124)
ou:
(34.125)
Comme l'équation ci-dessus concerne des grandeurs prises en deux points arbitraires le long d'une ligne de courant, nous pouvons généraliser et écrire:
(34.126)
Ce résultat, connu sous le nom de "théorème de Bernoulli", exprime la constance de la pression le long d'une ligne de courant dans un fluide incompressible, irrotationnel et non visqueux et où les forces volumiques extérieures dérivent d'une énergie potentielle (nous reviendrons là-dessus après avoir déterminé les équations de Navier-Stokes).
Signalons aussi une manière élégante et simple de retrouver cette relation. La conservation de l'énergie nous donne le long d'une ligne de courant:
(34.127)
avec respectivement et dans l'ordre la somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie de pression. Soit:
(34.128)
et si nous divisons tout cela par le volume nous obtenons alors:
(34.129)
voilà....
R1. D'une ligne de courant à l'autre, c'est la valeur de la constante qui change. De plus, l'utilisation du théorème de Bernoulli exige de connaître la forme des lignes de courant.
R2. La conservation de la quantité de gauche exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant et nous y trouvons respectivement l'énergie cinétique volumique, l'énergie potentielle volumique de pesanteur et la pression.
Considérons maintenant deux applications importantes du théorème de Bernoulli.
Si le fluide se déplace dans un plan horizontal, l'énergie potentielle de gravitation reste constante et l'équation de Bernoulli se réduit alors à:
(34.130)
Donc, dans un tuyau horizontal, la vitesse est d'autant plus grande que la pression est plus faible et réciproquement. Nous utilisons aussi cet effet pour créer participer à la poussée d'un avion (attention ce paramètre est mineur car ce n'est pas ce qui contribue le plus au vol d'un avion, c'est l'effet Magnus dont la démonstration sera donnée plus loin).
(34.131)
Le profil d'une aile est construit de telle sorte que l'air a une vitesse plus grande au-dessus de la surface de l'aile qu'au dessous qu'au dessus, ce qui produit une pression plus forte au-dessous qu'au dessus. Il en résulte donc une force résultant vers le haut.
Autrement dit, une spécialiste dans l'aérodynamique (pour les avions) ou en hydrodynamique (pour les stabilisateurs de roulis des gros bateaux) dirait:
- A l'extrados : Par effet de courbure, les particules d'air (d'eau) sont contraintes de parcourir une distance plus grande. Leur vitesse va donc d'abord s'accroître fortement pour diminuer ensuite afin de retrouver au bord de fuite la vitesse initiale de l'écoulement. Tout l'extrados est donc le siège d'une dépression locale généralisée. La couche limite, d'abord laminaire, devient peu à peu turbulente, voire tourbillonnaire lorsqu'on approche du bord de fuite.
- A l'intrados : le profil constituant un obstacle à l'écoulement, l'air (l'eau) va se trouver freiné : nous voyons donc apparaître une surpression localisée sur l'intrados. En fait, avec la forme des ailes d'avion actuelle, en position horizontale, l'effet Bernoulli serait négligeable. Pour qu'un avion décolle, il faudrait que l'extrados ait une surface beaucoup plus grande.
C'est bien mieux ainsi non ?
Autre chose encore, si le fluide n'est pas en mouvement, nous avons l'équation de Bernoulli qui s'écrit:
(34.132)
Il s'agit de "'équation de Laplace" en hydrostatique (utilisée dans les vases communicants).
THÉORÈME DE TORRICELLI
Le théorème de Torricelli permet de déterminer la vitesse d'écoulement d'un liquide. C'est un cas classique d'étude dans les petites écoles.
Considérons un volume fermé
contenant un liquide de masse volumique
et muni d'un orifice de surface
,
duquel le liquide coule vers l'extérieur. Nous voulons
déterminer
la vitesse
d'écoulement du liquide de cet orifice. Le volume est supposé
être assez grand pour que ni le niveau du liquide, ni la
pression P au-dessus de sa surface
ne varient de façon appréciable pendant l'écoulement.
Comme le tube d'échappement de liquide va de la région
de la surface du liquide à l'orifice ouvert à l'air
libre, nous avons
.
Un liquide coulant à l'air libre est à la pression
atmosphérique,
,
car le liquide est entouré d'air libre et rien ne
peut maintenir une différence de pression. D'après
l'équation
de Bernoulli, avec
,
nous trouvons sur une ligne de courant :
(34.133)
d'où :
(34.134)
De l'équation de continuité
(),
nous déduisons que si
alors
et
est alors négligeable devant
.
Dans le cas particulier, mais fréquent, où le réservoir
est ouvert à l'air libre (
),
la densité d'énergie de pression disparaît.
Le fluide coule sous l'effet de la gravité, sans être
poussé par une différence de pression. Nous
trouvons alors (en multipliant par la surface de l'orifice,
nous obtenons le débit):
(34.135)
Cette relation constitue le "théorème de Torricelli". Chose curieuse, nous avons déjà vu cette relation en mécanique classique pour la vitesse de chute libre d'un corps. Il en retourne l'observation faite par Torricelli : si le jet est dirigé directement vers le haut, il atteint presque le niveau de la surface du liquide dans le volume. La raison pour laquelle le jet n'atteint pas effectivement ce niveau est une certaine perte d'énergie à cause du frottement.
EFFET VENTURI
Certaines applications pratiques de la mécanique des fluides résultent de l'interdépendance de la pression et la vitesse. Il y a une catégorie de situations dans lesquelles la variation d'énergie potentielle gravitationnelle est négligeable. L'équation de Bernoulli relie alors la différence de pression à la différence d'énergie cinétique donc la variation du carré de la vitesse.
Nous considérons un fluide incompressible (!), non visqueux et
de masse volumique.
Le fluide s'écoule en régime permanent dans une canalisation
cylindrique de rayon
et
de section
suivie
par un tube cylindrique de rayon
et
de section
.
Le raccordement est fait par une canalisation conique assez
longue
pour que l'on reste en régime laminaire.
Nous savons (équation de continuité) que :
(34.136)
qui veut dire, comme nous l'avons vu, qu'une diminution de la section traversée par le fluide se traduit par une augmentation de sa vitesse.
Dans toute situation où le flux
entrant est environ au même niveau que le rétrécissement
,
l'équation de Bernoulli s'emploie pour exprimer la différence
de pression :
(34.137)
devient :
(34.138)
Utilisant l'équation de continuité,
pour éliminer ,
nous obtenons :
(34.139)
Comme
le second membre de la relation est positif et
: il y a donc une chute de pression dans la région étroite.
En arrivant à la région divergente à nouveau
en
,
la pression du fluide augmente de nouveau et la vitesse reprend
sa valeur initiale. Cette diminution de la pression qui accompagne
l'augmentation de la vitesse est appelée "effet Bernoulli"
ou "effet Venturi".
Ainsi, la vitesse du fluide augmente dans un goulot d'étranglement pour satisfaire l'équation de continuité (conservation du flux/masse) et le fait qu'il soit incompressible (sinon il y aurait une sorte de bouchon...).
TUBE DE PITOT
Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d'écoulement d'un gaz subsonique. Le tube de Pitot consiste à pratiquer dans un tube, un orifice de prise de pression en A et en B:
(34.140)
Le point A est un point d'arrêt car la vitesse est nulle
(il n'y pas d'écoulement dans l'orifice, c'est juste une prise
de pression). Loin de l'obstacle (le tube de Pitot) l'écoulement
est supposé uniforme de vitesse v et de pression .
En A (point d'arrêt), en utilisant la relation de Bernoulli le long de la ligne de courant et en considérant la variation de hauteur entre A et B négligeable, la pression vaut:
(34.141)
Nous avons donc:
(34.142)
Donc pour les avions à partir de la différence d'une mesure de pression et de la connaissance de la densité du gaz il est possible de connaître la vitesse.
PERTE DE CHARGE (PRESSION)
Lorsque, dans un écoulement d'un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire sous la forme suivante :
(34.143)
Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l'énergie avec cette machine sous forme de travail pendant une durée donnée. La puissance P échangée est alors (cf. chapitre de Mécanique Classique):
(34.144)
où par convention, si l'énergie
est reçue par le fluide (pompe) sinon, si
l'énergie
est fournie par le fluide (turbine).
Si le débit-volume est ,
la relation de Bernoulli s'écrit alors logiquement:
(34.145)
où:
(34.146)
Un fluide parfait n'existe pas. Lors d'un écoulement dans une conduite, les forces de frottement dissipent une partie de l'énergie cinétique et potentielle ce qui se traduite par l'existence de pertes de charges dont il s'agit de tenir compte.
Considérons un écoulement cylindrique horizontal stationnaire et incompressible. Si nous appliquons la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie nous obtenons:
(34.147)
Or, expérimentalement, nous observons qu'il faut imposer une
pression plus importante en entrée pour entretenir le régime permanent.
En effet, les forces de viscosité résistent à l'écoulement. Il
faut donc imposer une suppression que
nous appelons "perte de charge en pression" et qui est
due à l'existence de forces de frottements (viscosité) ou de pertes
singulières (géométrie des circuits de distributions).
L'équation de Bernoulli généralisée s'écrit alors dans ce cas d'étude qui fait partie de l'ingénierie des procédés:
(34.148)
Cette relation est souvent utilisée dans l'étude théorique (...) des problèmes de conduite.
page suivante : 2.4. Equations de Navier-Stokes