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THÉORÈME DE BERNOULLI

Quand nous discutons du mouvement d'un fluide, l'équation de continuité (cf. chapitre Thermodynamique), qui exprime la conservation de la masse (volumique) du fluide est une notion importante.

Considérons cette équation dans le cas particulier qui nous intéresse ici un fluide non visqueux en écoulement laminaire se déplaçant à l'intérieur d'un tube de lignes de courants parallèles (le mouvement du fluide est de type irrotationnel - voir chapitre de Calcul Vectoriel du site), délimité par la surface :

Nous sommes en régime stationnaire (l'aspect du mouvement est indépendant du temps) et la masse n'est ni apportée par une source ni enlevée par un puits à l'intérieur de la région considérée. Le volume de fluide qui traverse dans l'intervalle   correspond à un cylindre de base , de longueur  et donc de volume . La masse de fluide qui a traversé pendant le temps  est donc:

    (34.111)

De même:

    (34.112)

est la masse de fluide qui a traversé:

      (34.113)

pendant le même intervalle de temps. Avec les hypothèses faites, l'équation de conservation de la masse exige que les deux masses soient les mêmes, ou que exprimé autrement:  

  (34.114)

D'où:

  (34.115)

Ceci est la forme de l'équation de continuité dans le contexte qui nous intéresse. De plus, si le fluide est incompressible, la densité est partout la même et l'équation précédente se réduit à:

    (34.116)

Considérons maintenant une région dans un fluide où il y a un flux stationnaire comme l'indique la figure ci-dessous:

  (34.117)

Pendant un court intervalle de temps , le fluide qui, initialement, traversait a progressé jusqu'à une surface  à la distance  tandis que le fluide qui traversait se retrouve en  à une distance . Puisque le reste du volume entre les surfaces  et reste inchangé, nous allons porter notre attention sur les deux volumes (égaux) hachurés sur la figure.

Ces deux volumes sont égaux car le fluide est incompressible et l'équation de continuité est valable. Soient  et  les forces exercées sur les surfaces  et  en raison de la pression existant dans le fluide. A cause de ces forces, le fluide produit ou reçoit du travail en déplaçant les deux volumes. En , la surface est poussée par le fluide et le travail exercé sur le fluide  alors qu'en  le fluide pousse la surface et le travail effectué par le fluide est . Le travail total exercé sur le volume de fluide situé entre  et est donc:

  (34.118)

en appelant  et  les pressions respectives en  et  et en écrivant: 

  (34.119)

d'après la définition de la pression. Comme:

  (34.120)

d'après l'équation de continuité et l'hypothèse d'incompressibilité, nous pouvons écrire que:

  (34.121)

Le travail extérieur exercé sur le système change son énergie propre comme l'établit la thermodynamique (). Pour le volume de fluide considéré, l'énergie propre des volumes mis en évidence comprend l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de gravitation. Le fluide entre   et  gagne de l'énergie dans le volume . Supposons que les deux volumes aient une masse égale m, de nouveau à cause de l'équation de continuité. Alors le gain net d'énergie est:

  (34.122)

Puisque nous avons déjà supposé le fluide incompressible, la densité  est la même partout et m peut être remplacé par  aux deux extrémités. D'où:

  (34.123)

En combinant cette relation avec  nous obtenons :

  (34.124)

ou: 

  (34.125)

Comme l'équation ci-dessus concerne des grandeurs prises en deux points arbitraires le long d'une ligne de courant, nous pouvons généraliser et écrire:

  (34.126)

Ce résultat, connu sous le nom de "théorème de Bernoulli", exprime la constance de la pression le long d'une ligne de courant dans un fluide incompressible, irrotationnel et non visqueux et où les forces volumiques extérieures dérivent d'une énergie potentielle (nous reviendrons là-dessus après avoir déterminé les équations de Navier-Stokes).

Signalons aussi une manière  élégante et simple de retrouver cette relation. La conservation de l'énergie nous donne le long d'une ligne de courant:

  (34.127)

avec respectivement et dans l'ordre la somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie de pression. Soit:

  (34.128)

et si nous divisons tout cela par le volume nous obtenons alors:

  (34.129)

voilà....

Considérons maintenant deux applications importantes du théorème de Bernoulli.

Si le fluide se déplace dans un plan horizontal, l'énergie potentielle de gravitation reste constante et l'équation de Bernoulli se réduit alors à:

  (34.130)

Donc, dans un tuyau horizontal, la vitesse est d'autant plus grande que la pression est plus faible et réciproquement. Nous utilisons aussi cet effet pour créer participer à la poussée d'un avion (attention ce paramètre est mineur car ce n'est pas ce qui contribue le plus au vol d'un avion, c'est l'effet Magnus dont la démonstration sera donnée plus loin).

  (34.131)

Le profil d'une aile est construit de telle sorte que l'air a une vitesse plus grande au-dessus de la surface de l'aile qu'au dessous qu'au dessus, ce qui produit une pression plus forte au-dessous qu'au dessus. Il en résulte donc une force résultant vers le haut. 

Autrement dit, une spécialiste dans l'aérodynamique (pour les avions) ou en hydrodynamique (pour les stabilisateurs de roulis des gros bateaux) dirait:

- A l'extrados : Par effet de courbure, les particules d'air (d'eau) sont contraintes de parcourir une distance plus grande. Leur vitesse va donc d'abord s'accroître fortement pour diminuer ensuite afin de retrouver au bord de fuite la vitesse initiale de l'écoulement. Tout l'extrados est donc le siège d'une dépression locale généralisée. La couche limite, d'abord laminaire, devient peu à peu turbulente, voire tourbillonnaire lorsqu'on approche du bord de fuite.

- A l'intrados : le profil constituant un obstacle à l'écoulement, l'air (l'eau) va se trouver freiné : nous voyons donc apparaître une surpression localisée sur l'intrados. En fait, avec la forme des ailes d'avion actuelle, en position horizontale, l'effet Bernoulli serait négligeable. Pour qu'un avion décolle, il faudrait que l'extrados ait une surface beaucoup plus grande.

C'est bien mieux ainsi non ?

Autre chose encore, si le fluide n'est pas en mouvement, nous avons l'équation de Bernoulli qui s'écrit:

  (34.132)

Il s'agit de "'équation de Laplace" en hydrostatique (utilisée dans les vases communicants).

THÉORÈME DE TORRICELLI

Le théorème de Torricelli permet de déterminer la vitesse d'écoulement d'un liquide. C'est un cas classique d'étude dans les petites écoles.

Considérons un volume fermé contenant un liquide de masse volumique et muni d'un orifice de surface , duquel le liquide coule vers l'extérieur. Nous voulons déterminer la vitesse d'écoulement du liquide de cet orifice. Le volume est supposé être assez grand pour que ni le niveau du liquide, ni la pression P au-dessus de sa surface ne varient de façon appréciable pendant l'écoulement. Comme le tube d'échappement de liquide va de la région de la surface du liquide à l'orifice ouvert à l'air libre, nous avons . Un liquide coulant à l'air libre est à la pression atmosphérique, , car le liquide est entouré d'air libre et rien ne peut maintenir une différence de pression. D'après l'équation de Bernoulli, avec , nous trouvons sur une ligne de courant :

  (34.133)

d'où :

  (34.134)

De l'équation de continuité (), nous déduisons que si alors et est alors négligeable devant . Dans le cas particulier, mais fréquent, où le réservoir est ouvert à l'air libre (), la densité d'énergie de pression disparaît. Le fluide coule sous l'effet de la gravité, sans être poussé par une différence de pression. Nous trouvons alors (en multipliant par la surface de l'orifice, nous obtenons le débit):

  (34.135)

Cette relation constitue le "théorème de Torricelli". Chose curieuse, nous avons déjà vu cette relation en mécanique classique pour la vitesse de chute libre d'un corps. Il en retourne l'observation faite par Torricelli : si le jet est dirigé directement vers le haut, il atteint presque le niveau de la surface du liquide dans le volume. La raison pour laquelle le jet n'atteint pas effectivement ce niveau est une certaine perte d'énergie à cause du frottement.

EFFET VENTURI

Certaines applications pratiques de la mécanique des fluides résultent de l'interdépendance de la pression et la vitesse. Il y a une catégorie de situations dans lesquelles la variation d'énergie potentielle gravitationnelle est négligeable. L'équation de Bernoulli relie alors la différence de pression à la différence d'énergie cinétique donc la variation du carré de la vitesse.

Nous considérons un fluide incompressible (!), non visqueux et de masse volumique. Le fluide s'écoule en régime permanent dans une canalisation cylindrique de rayon  et de section  suivie par un tube cylindrique de rayon  et de section . Le raccordement est fait par une canalisation conique assez longue pour que l'on reste en régime laminaire.

Nous savons (équation de continuité) que :

  (34.136)

qui veut dire, comme nous l'avons vu, qu'une diminution de la section traversée par le fluide se traduit par une augmentation de sa vitesse.

Dans toute situation où le flux entrant est environ au même niveau que le rétrécissement , l'équation de Bernoulli s'emploie pour exprimer la différence de pression :

  (34.137)

devient :

  (34.138)

Utilisant l'équation de continuité, pour éliminer , nous obtenons :

  (34.139)

Comme le second membre de la relation est positif et : il y a donc une chute de pression dans la région étroite. En arrivant à la région divergente à nouveau en , la pression du fluide augmente de nouveau et la vitesse reprend sa valeur initiale. Cette diminution de la pression qui accompagne l'augmentation de la vitesse est appelée "effet Bernoulli" ou "effet Venturi".

Ainsi, la vitesse du fluide augmente dans un goulot d'étranglement pour satisfaire l'équation de continuité (conservation du flux/masse) et le fait qu'il soit incompressible (sinon il y aurait une sorte de bouchon...).

TUBE DE PITOT

Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d'écoulement d'un gaz subsonique. Le tube de Pitot consiste à pratiquer dans un tube, un orifice de prise de pression en A et en B:

  (34.140)

Le point A est un point d'arrêt car la vitesse est nulle (il n'y pas d'écoulement dans l'orifice, c'est juste une prise de pression). Loin de l'obstacle (le tube de Pitot) l'écoulement est supposé uniforme de vitesse v et de pression  .

En A (point d'arrêt), en utilisant la relation de Bernoulli le long de la ligne de courant et en considérant la variation de hauteur entre A et B négligeable, la pression vaut:

  (34.141)

Nous avons donc:

  (34.142)

Donc pour les avions à partir de la différence d'une mesure de pression et de la connaissance de la densité du gaz il est possible de connaître la vitesse.

PERTE DE CHARGE (PRESSION)

Lorsque, dans un écoulement d'un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire sous la forme suivante :

  (34.143)

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l'énergie avec cette machine sous forme de travail pendant une durée donnée. La puissance P échangée est alors (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (34.144)

où par convention, si  l'énergie est reçue par le fluide (pompe) sinon, si  l'énergie est fournie par le fluide (turbine).

Si le débit-volume est , la relation de Bernoulli s'écrit alors logiquement:

  (34.145)

où:

  (34.146)

Un fluide parfait n'existe pas. Lors d'un écoulement dans une conduite, les forces de frottement dissipent une partie de l'énergie cinétique et potentielle ce qui se traduite par l'existence de pertes de charges dont il s'agit de tenir compte.

Considérons un écoulement cylindrique horizontal stationnaire et incompressible. Si nous appliquons la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie nous obtenons:

  (34.147)

Or, expérimentalement, nous observons qu'il faut imposer une pression plus importante en entrée pour entretenir le régime permanent. En effet, les forces de viscosité résistent à l'écoulement. Il faut donc imposer une suppression  que nous appelons "perte de charge en pression" et qui est due à l'existence de forces de frottements (viscosité) ou de pertes singulières (géométrie des circuits de distributions).

L'équation de Bernoulli généralisée s'écrit alors dans ce cas d'étude qui fait partie de l'ingénierie des procédés:

  (34.148)

Cette relation est souvent utilisée dans l'étude théorique (...) des problèmes de conduite.

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