PRESSION HYDROSTATIQUE



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Nous avons précédemment démontré sans mal que:

equation   (34.357)

Si la vitesse du fluide est nulle:

equation   (34.358)

Ce qui donne sous forme différentielle:

equation   (34.359)

Si nous mesurons la pression du liquide à partir de sa face supérieur equation:

equation   (34.360)

Si nous prenons equation comme référence, nous pouvons poser que:

equation   (34.361)

d'où:

equation   (34.362)

Si nous nous trouvons dans le cas d'un récipient remplis d'un fluide en contacte avec l'atmosphère, pour calculer la pression dans ce fluide à un hauteur equation donné, il faudrait prendre en considération la pression atmosphérique equation qui "s'appuie" également sur le fluide. Ainsi la "pression hydrostatique" est données par:

equation   (34.363)

Conséquence: dans un liquide au repos, homogène, les équipotentielles gravifiques sont confondues avec les surface isobares. Sans quoi, il y aurait mouvement transversal.

POUSSÉE D'ARCHIMÈDE

La poussée d'Archimède, phénomène mondialement connu..., est souvent rebelle à l'intuition première. Au fait, nous avons trop tendance dans les écoles à poser la poussée d'Archimède comme un "principe" et ce à tort puisqu'une simple analyse mathématique suffit à la démontrer .

Si nous isolons une portion equation arbitraire d'un fluide en équilibre statique, les conditions de cet équilibre s'écrivent nécessairement (sinon quoi le volume se dissocie et n'est plus en équilibre statique):

equation   (34.364)

equation désigne le poids (equation en première approximation…) de equation alors que le terme equation décrit la résultante des forces de pression exercées sur la surface de equation.

Chaque élément de surface dS subit donc une force:

equation   (34.365)

p est la pression qui s'exerce localement sur dS. Quant à equation, il s'agit d'un vecteur unité dirigé normalement (à la perpendiculaire) à dS et vers l'intérieur de equation. La résultante de toutes ces forces se note historiquement de la façon suivante:

equation   (34.366)

qui exprime donc, comme vous le devinez, la fameuse "poussée d'Archimède" que le reste du fluide exerce sur l'élément. L'intégrale porte sur toute la surface (cette surface est fermée, d'où l'intégrale curviligne correspondante) de l'élément equation.

La condition d'équilibre impose donc que:

equation   (34.367)

Nous comprenons aisément que equation soit dirigé vers le haut: sous l'effet du champ gravitationnel et donc p augmente avec la profondeur.

Si nous remplaçons le fluide contenu dans le volume par un objet fluide ou solide quelconque mais qui occupe le même volume, la poussée d'Archimède n'est pas modifiée. A cause de la relation equation nous avons coutume de dire qu'elle est équivalente au poids du fluide déplacé.

Dans le cas où la direction et l'intensité dans le temps de equation est uniforme et constant  nous pouvons écrire:

equation   (34.368)

et nous retrouvons la relation de la "loi d'Archimède" bien connue de tous les écoliers:

equation   (34.369)

Il existe une autre possibilité pour arriver à cette démonstration qui demande moins d'outils mathématiques et qui est donc plus abordable:

Considérons un cylindre de volume V plongé dans un liquide à la verticale. Les composant horizontales des forces de pression s'annulent mais la composante verticale au somment du cylindre equation (proche de la surface) est inférieur en intensité (sauf cause extérieure) à celle se trouvant à sa base  equation. Nous pouvons donc écrire:

equation   (34.370)

C'est un peu plus simple et ça tient en une ligne sans intégrales…

Il convient de sa rappeler que la poussée d'archimède est une force qui s'applique à des fluides et donc aussi à des gaz. C'est ainsi grâce à la poussée d'Archimède qu'une montgolfière ou un dirigeable peuvent s'élever dans les airs (dans les deux cas, un gaz de masse volumique plus faible que l'air est utilisé, que ce soit de l'air chauffé ou de l'hélium).

Il est aussi amusant, après démonstration de la loi des gaz parfaits (voir plus loin), de déterminer la pression que devrait avoir notre atmosphère pour avoir la même densité que l'eau et qu'un humain puisse ensuite flotter dans l'air...

VITESSE DU SON DANS UN LIQUIDE

Intéressons nous un petit moment au calcul de la vitesse du son dans un liquide. Nous avons démontré dans le cas de notre étude des ondes sonores longitudinales du chapitre de Musique mathématique que:

equation   (34.371)

et:

equation   (34.372)

En combinant il vient:

equation   (34.373)

La fraction:

equation

c'est-à-dire le rapport entre une variation de pression et la variation relative de volume qu'elle entraîne reçoit le nom de "module d'élasticité volumique". Remarquez qu'il faut le signe - pour que B soit positif: quand la pression augmente, le volume diminue.

Nous avons alors par exemple pour l'eau:

equation   (34.374)

La valeur mesurée étant de equation. Il peut paraître surprenant que la vitesse du son dans un liquide, qui est beaucoup plus difficile à comprimer qu'un gaz soit seulement 5 fois plus grande que dans un gaz. La raison est que la densité d'un liquide est environ mille fois plus élevée que celle d'un gaz. L'une dans l'autre, les deux propriétés se compensent partiellement.


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