PLASMAS
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
1. Solides
1.1. Pressions
1.2. Elasticité des solides
1.2.1. Module de Young
1.2.2. Loi de Hooke
1.2.3. Module de cisaillement
1.2.5. Module de compressibilité
1.2.6. Module de flexion
1.3. Ondes transversales dans les solides
2.1. Théorème de Pascal
2.2. Viscosité
2.2.1. Loi de Poiseuille
2.3.1. Théorème de Torricelli
2.3.2. Effet Venturi
2.3.3. Tube de Pitot
2.3.4. Perte de charge
2.4. Equations de Navier-Stokes
(Equation d'Euler de 1ère forme - Equation d'Euler de 2ème forme)2.4.2. Fluide compressible
2.4.3. Fluide statique
2.4.4. Nombre de Reynolds
2.4.5. Approximation de Boussinesq
2.4.6. Loi de Stokes
2.6. Poussée d'Archimède
2.7. Vitesse du son dans un liquide
3.1. Théorème du Viriel
3.2. Pression cinétique
3.3. Température cinétique
3.4. Libre parcours moyen
4.1. Fréquence plasma
Nous définissons le "plasma" comme un état de la matière dans lequel certaines liaisons électroniques ont été rompues, provoquant l'apparition d'électrons libres, chargés négativement et d'ions, chargés positivement. Les gaz faiblement ionisés appelés "plasmas" par abus de langage, possèdent les mêmes propriétés mécaniques (écoulements, ondes acoustiques, etc.) que les gaz neutres, en revanche leurs propriétés électromagnétiques (conductivité électrique, indice de réfraction) en diffèrent par suite de la présence d'électrons libres en leur sein.
Dans leur état normal, les gaz sont des isolants électriques. Cela tient au fait qu'ils ne contiennent pas de particules chargées libres, mais seulement des molécules neutres. Cependant, si nous leur appliquons des champs électriques assez intenses, ils deviennent conducteurs. Les phénomènes complexes qui se produisent alors portent le nom de décharges dans les gaz et sont dus à l'apparition d'électrons et d'ions libres.
Le résultat
d'une décharge dans un gaz est donc la production d'un gaz ionisé
contenant par exemple 
électrons, 
ions positifs et 
neutres (atomes ou molécules) par unité de volume. En général,
le gaz est macroscopiquement neutre. Nous avons alors alors:
(34.89)
Cette neutralité
est la conséquence des forces électrostatiques très intenses qui
apparaissent dès que l'on a 
. La densité de particules est donc la première grandeur fondamentale.
Le "degré d'ionisation" d'un gaz est défini par le rapport:
(34.90)
où
est la densité (nombre de particules par unité de volume) des
neutres et n celle des électrons (ou des ions positifs).
La valeur du degré d'ionisation dans les divers types de gaz ionisés
varie en pratique depuis des valeurs très faibles, de l'ordre
de 
, par exemple, jusqu'à 1.
La deuxième
grandeur fondamentale est la température. Lorsqu'on chauffe
un gaz à une température T suffisamment élevée ( de l'ordre de 
), l'énergie moyenne (voir théorème du Viriel)
:
(34.91)
de translation de ses molécules peut devenir du même ordre que leur énergie d'ionisation Ei. Dans ces conditions, lorsque deux molécules entrent en collision, il peut y avoir ionisation de l'une d'entre elles.
Si le gaz
est en équilibre thermodynamique, l'ionisation par collision est
contrebalancée par des processus de recombinaison entre électrons
et ions et il en résulte que les trois variables 
ne sont pas indépendantes : l'ionisation est déterminée
par la pression et la température, nous disons alors que le gaz
est en "état d'équilibre d'ionisation
thermique".
A des températures
plus élevées, les atomes du gaz peuvent d'ailleurs s'ioniser plusieurs
fois. Dans de nombreux cas, l'ionisation est due à un champ électrique
extérieur, et le gaz n'est pas en équilibre thermodynamique. Il
atteindra souvent un état stationnaire qu'on pourra caractériser
par les paramètres 
(température des électrons), 
(température des ions) et 
(température des molécules).
Les trois
températures ainsi introduites sont définies par la condition
que 
représente
l'énergie cinétique moyenne des particules d'espèce a,
dans un repère où elles ont une vitesse moyenne nulle. L'écart
entre 
, 
et 
peut être important : par exemple, dans un tube à décharges
typique, nous pourrons avoir : 
et 
. La forte valeur de 
est due à l'action du champ électrique sur les électrons,
et l'ionisation est alors produite par les collisions de ces électrons
chauds sur les molécules neutres du gaz.
En conclusion il n'y a que deux grandeurs de base permettant de caractériser un plasma la densité et la température électronique. Nous allons maintenant nous pencher sur deux autres grandeurs importantes mais non fondamentales dans le sens où elles s'expriment à partir de la densité et de la température.
Si dans un plasma initialement neutre, nous produisons une perturbation locale sous la forme d'un excès de charge électrique positive ou négative, celui-ci va tendre à revenir vers l'état d'équilibre de neutralité. Cependant, nous pouvons voir facilement que la perturbation initiale engendre en général une oscillation pendulaire non amortie du plasma autour de son état d'équilibre. Considérons par exemple la situation représentée sur la figure ci-dessous.
(34.92)
À l'instant initial la région au centre contient un déficit d'électrons et la région tout autour un excès d'électrons. Cela produit un champ électrique tendant à créer un mouvement des électrons dans le sens des flèches. Dans ce mouvement, ceux-ci acquerront une certaine énergie cinétique et ils pourront, au bout d'un certain temps, dépasser la position d'équilibre. Un trop grand nombre d'électrons ayant quitté la région externe, il y aura un défaut d'électrons dans cette région et un champ électrique tendant à les ramener vers elle. Au bout d'un certain temps, la situation initiale est reconstituée et le cycle recommence. Les vibrations ainsi produites sont appelées oscillations de plasma électroniques.
Nous pouvons étudier quantitativement ce problème en posant les équations générales d'une oscillation de charge électronique et moyennant les hypothèses simplificatrices suivantes :
H1.
Les ions sont supposés immobiles étant donné qu'ils sont
beaucoup plus lourds que les électrons, et leur densité uniforme
égale à 
H2. L'agitation thermique est négligeable
H3. Les collisions sont négligeables
H4. Les oscillations sont de faible amplitude
H5. Il n'y a pas de champ électrique ou magnétique imposé par des sources extérieures
Maintenant, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que (équation de conservation de la charge) :
(34.93)
Donc, en notant
Q la charge élémentaire, I le courant,
V l'unité de volume, S l'unité de
surface traversée, L l'unité longueur, t
l'unité de temps et 
le vecteur perpendiculaire à la surface S nous avons
:
(34.94)
comme les unités de la longueur L sur le temps t sont des celles d'une vitesse, nous pouvons écrire :
(34.95)
relation qui constitue "l'équation hydrodynamique des électrons".
Rappelons maintenant la deuxième loi de Newton (cf. chapitre de Mécanique Classique):
(34.96)
Dans cette dernière relation, nous avons négligé le terme de pression cinétique et le terme de collision (hypothèses 2 et 3) et négligé le champ magnétique lié à l'oscillation. Nous pouvons simplifier ces équations en utilisant l'hypothèse 4 sous la forme:
(34.97)
où
est une petite perturbation. Supposons de plus que les quantités
variables varient à la pulsation 
,
nous pouvons donc écrire:
(34.98)
A partir de l'équation de continuité et de Newton, les deux équations hydrodynamiques des électrons s'écrivent donc :
(1) 
(2)
(34.99)
Mais nous avons d'autre part la loi de Gauss (cf. chapitre d'Électrodynamique) :
(34.100)
en effet compte tenu de la condition de neutralité du plasma non perturbé nous avons :
(34.101)
De l'équation (2) ci-dessus, nous tirons :
(34.102)
en remplaçant dans l'équation (1), nous avons :
(34.103)
Finalement en remplaçant cette dernière expression dans la loi de Gauss, nous tirons :
(34.104)
Mais dans
les oscillations de charges d'espace nous avons par définition
. La relation ci-dessus conduit donc à l'expression de la "fréquence
plasma" ou encore "fréquence
de Langmuir":
En physique, la fréquence plasma est ainsi la fréquence caractéristique des ondes de plasma, c'est-à-dire des oscillations des charges électriques présentes dans les milieux conducteurs, comme le métal ou les plasmas. A l'image de l'onde électromagnétique qui, quantifiée, est décrite par des photons, cette onde de plasma est quantifiée en "plasmons".
Les oscillations des charges électriques peuvent être comprises grâce au raisonnement suivant : si les électrons d'une zone du plasma sont déplacés, alors les ions de cette zone, n'ayant que peu bougé du fait de leur masse importante, vont exercer sur ces électrons une force de Coulomb attractive. Ceux-ci vont donc revenir vers leur position initiale, et ainsi de suite...
