PLASMAS



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Nous définissons le "plasma" comme un état de la matière dans lequel certaines liaisons électroniques ont été rompues, provoquant l'apparition d'électrons libres, chargés négativement et d'ions, chargés positivement. Les gaz faiblement ionisés appelés "plasmas" par abus de langage, possèdent les mêmes propriétés mécaniques (écoulements, ondes acoustiques, etc.) que les gaz neutres, en revanche leurs propriétés électromagnétiques (conductivité électrique, indice de réfraction) en diffèrent par suite de la présence d'électrons libres en leur sein.

Remarque: Le plasma est aussi nommé "quatrième état de la matière" (après les états solide, liquide et gazeux et avant le cinquième état de la matière : le condensat de Bose-Einstein).

Dans leur état normal, les gaz sont des isolants électriques. Cela tient au fait qu'ils ne contiennent pas de particules chargées libres, mais seulement des molécules neutres. Cependant, si nous leur appliquons des champs électriques assez intenses, ils deviennent conducteurs. Les phénomènes complexes qui se produisent alors portent le nom de décharges dans les gaz et sont dus à l'apparition d'électrons et d'ions libres.

Le résultat d'une décharge dans un gaz est donc la production d'un gaz ionisé contenant par exemple equation  électrons, equation  ions positifs et equation  neutres (atomes ou molécules) par unité de volume. En général, le gaz est macroscopiquement neutre. Nous avons alors alors:

equation   (34.89)

Cette neutralité est la conséquence des forces électrostatiques très intenses qui apparaissent dès que l'on a equation . La densité de particules est donc la première grandeur fondamentale.

Le "degré d'ionisation" d'un gaz est défini par le rapport: 

equation   (34.90)

equation est la densité (nombre de particules par unité de volume) des neutres et n celle des électrons (ou des ions positifs). La valeur du degré d'ionisation dans les divers types de gaz ionisés varie en pratique depuis des valeurs très faibles, de l'ordre de equation , par exemple, jusqu'à 1.

La deuxième grandeur fondamentale est la température. Lorsqu'on chauffe un gaz à une température T suffisamment élevée ( de l'ordre de equation ), l'énergie moyenne (voir théorème du Viriel) :

equation   (34.91)

de translation de ses molécules peut devenir du même ordre que leur énergie d'ionisation Ei. Dans ces conditions, lorsque deux molécules entrent en collision, il peut y avoir ionisation de l'une d'entre elles.

Si le gaz est en équilibre thermodynamique, l'ionisation par collision est contrebalancée par des processus de recombinaison entre électrons et ions et il en résulte que les trois variables equation  ne sont pas indépendantes : l'ionisation est déterminée par la pression et la température, nous disons alors que le gaz est en "état d'équilibre d'ionisation thermique".

A des températures plus élevées, les atomes du gaz peuvent d'ailleurs s'ioniser plusieurs fois. Dans de nombreux cas, l'ionisation est due à un champ électrique extérieur, et le gaz n'est pas en équilibre thermodynamique. Il atteindra souvent un état stationnaire qu'on pourra caractériser par les paramètres equation  (température des électrons), equation  (température des ions) et equation  (température des molécules).

Les trois températures ainsi introduites sont définies par la condition que equation représente l'énergie cinétique moyenne des particules d'espèce a, dans un repère où elles ont une vitesse moyenne nulle. L'écart entre equation , equation  et equation  peut être important : par exemple, dans un tube à décharges typique, nous pourrons avoir : equation et equation . La forte valeur de equation  est due à l'action du champ électrique sur les électrons, et l'ionisation est alors produite par les collisions de ces électrons chauds sur les molécules neutres du gaz.

En conclusion il n'y a que deux grandeurs de base permettant de caractériser un plasma la densité et la température électronique. Nous allons maintenant nous pencher sur deux autres grandeurs importantes mais non fondamentales dans le sens où elles s'expriment à partir de la densité et de la température.

Si dans un plasma initialement neutre, nous produisons une perturbation locale sous la forme d'un excès de charge électrique positive ou négative, celui-ci va tendre à revenir vers l'état d'équilibre de neutralité. Cependant, nous pouvons voir facilement que la perturbation initiale engendre en général une oscillation pendulaire non amortie du plasma autour de son état d'équilibre. Considérons par exemple la situation représentée sur la figure ci-dessous.

 equation   equation
  (34.92)

À l'instant initial la région au centre contient un déficit d'électrons et la région tout autour un excès d'électrons. Cela produit un champ électrique tendant à créer un mouvement des électrons dans le sens des flèches. Dans ce mouvement, ceux-ci acquerront une certaine énergie cinétique et ils pourront, au bout d'un certain temps, dépasser la position d'équilibre. Un trop grand nombre d'électrons ayant quitté la région externe, il y aura un défaut d'électrons dans cette région et un champ électrique tendant à les ramener vers elle. Au bout d'un certain temps, la situation initiale est reconstituée et le cycle recommence. Les vibrations ainsi produites sont appelées oscillations de plasma électroniques.

Nous pouvons étudier quantitativement ce problème en posant les équations générales d'une oscillation de charge électronique et moyennant les hypothèses simplificatrices suivantes :

H1.   Les ions sont supposés immobiles étant donné qu'ils sont beaucoup plus lourds que les électrons, et leur densité uniforme égale à equation

H2.   L'agitation thermique est négligeable

H3.   Les collisions sont négligeables

H4.   Les oscillations sont de faible amplitude

H5.   Il n'y a pas de champ électrique ou magnétique imposé par des sources extérieures

Maintenant, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que (équation de conservation de la charge) :

equation   (34.93)

Donc, en notant Q la charge élémentaire, I le courant, V l'unité de volume, S l'unité de surface traversée, L l'unité longueur, t l'unité de temps et equation le vecteur perpendiculaire à la surface S nous avons :

equation
  (34.94)

comme les unités de la longueur L sur le temps t sont des celles d'une vitesse, nous pouvons écrire :

equation   (34.95)

relation qui constitue "l'équation hydrodynamique des électrons".

Remarque: Un plasma est certes en théorie globalement neutre mais nous pouvons avoir en théorie localement un volume non neutre. C'est cette hypothèse qui nous permet de poser que la divergence du courant n'est pas nulle!

Rappelons maintenant la deuxième loi de Newton (cf. chapitre de Mécanique Classique): 

equation   (34.96)

Dans cette dernière relation, nous avons négligé le terme de pression cinétique et le terme de collision (hypothèses 2 et 3) et négligé le champ magnétique lié à l'oscillation. Nous pouvons simplifier ces équations en utilisant l'hypothèse 4 sous la forme: 

equation   (34.97)

equation est une petite perturbation. Supposons de plus que les quantités variables varient à la pulsation equation, nous pouvons donc écrire:

equation   (34.98)

A partir de l'équation de continuité et de Newton, les deux équations hydrodynamiques des électrons s'écrivent donc :

(1) equation

(2) equation
  (34.99)

Mais nous avons d'autre part la loi de Gauss (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

equation   (34.100)

en effet compte tenu de la condition de neutralité du plasma non perturbé nous avons : 

equation   (34.101)

De l'équation (2) ci-dessus, nous tirons : 

equation   (34.102)

en remplaçant dans l'équation (1), nous avons : 

equation   (34.103)

Finalement en remplaçant cette dernière expression dans la loi de Gauss, nous tirons :

equation   (34.104)

Mais dans les oscillations de charges d'espace nous avons par définition equation . La relation ci-dessus conduit donc à l'expression de la "fréquence plasma" ou encore "fréquence de Langmuir":

equation   (34.105)

En physique, la fréquence plasma est ainsi la fréquence caractéristique des ondes de plasma, c'est-à-dire des oscillations des charges électriques présentes dans les milieux conducteurs, comme le métal ou les plasmas. A l'image de l'onde électromagnétique qui, quantifiée, est décrite par des photons, cette onde de plasma est quantifiée en "plasmons".

Les oscillations des charges électriques peuvent être comprises grâce au raisonnement suivant : si les électrons d'une zone du plasma sont déplacés, alors les ions de cette zone, n'ayant que peu bougé du fait de leur masse importante, vont exercer sur ces électrons une force de Coulomb attractive. Ceux-ci vont donc revenir vers leur position initiale, et ainsi de suite...