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MODULE DE GLISSEMENT

La condition nécessaire pour qu'un solide rigide soit en équilibre statique est comme nous l'avons vu dans le chapitre de Mécanique Classique, que la résultante des forces que l'extérieur exerce sur le corps soit nul:

  (34.21)

Cependant, quand un solide subit des contraintes et qu'il peut en subir, il peut y avoir déformation qui peut être suivie d'une rupture ou d'une modification similaire. Plus, précisément, il y a "déformation" d'un corps (non nécessairement solide) quand les distances entre certains points du corps ont changé.

Lorsque dans l'étude théorique de l'élasticité, nous excluons les modifications du corps étudié telles que les ruptures, nous disons que nous nous restreignons aux "déformations élastiques".

La géométrie et la physique des déformations peuvent être complexes. Leur description se déduit de celle d'un certain nombre de déformations élémentaires dont nous préciserons plus loin les caractéristiques.

  (34.22)

Les forces scalaires de contraintes de traction  engendrent sur leurs faces respectives des tensions "normales" (perpendiculaires donc!):

  (34.23)

En admettant que la force  agit seule, la déformation unitaire est par définition :

  (34.24)

Lorsqu'un parallélépipède est soumis à un effort de traction , il y a intuitivement contraction des dimensions dans la direction x. Contraction observable de façon tout aussi intuitive pour .

Nous avons alors si  agit seul:

  (34.25)

où le signe "-" indique une contraction et où est un coefficient appelé "coefficient de Poisson".

Si  agit seule:

  (34.26)

En acceptant le principe de superposition des forces, l'effet produit par plusieurs forces agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des forces superposées agissant séparément.

Ceci est admissible, étant donné la linéarité des équations unissant la déformation unitaire et la tension normale. Nous obtenons alors:

  (34.27)

En ayant procédé de manière identique pour les deux autres directions OY et OZ.

A partir des relations précédentes, il est aisé de trouver les équations unissant  à :

  (34.28)

Soit un matériau soumis à des contraintes diverses. A l'intérieur de celui-ci, nous opérons, par la pensée, l'extraction d'un parallélépipède rectangle. Les faces de celui-ci sont sollicitées par des contraintes normales  et tangentielles  (sur le schéma ci-dessous le solide est en équilibre statique).

  (34.29)

Les contraintes normales  et de tangentielles  représentent les actions du parallélépipède de matériau ôté mentalement sur les faces de l'élément examiné.

Il est intéressant (dans le sens que cela facilite l'analyse) de rechercher les contraintes qui existent dans un plan faisant un angle avec l'axe des x. Pour ce faire, nous imaginons un triangle de matière ayant un angle au sommet enlevé hors de la matière mentalement. Nous négligerons l'effet de la pesanteur.

Soit :

  (34.30)

Posons:

  (34.31)

et dz étant l'épaisseur du solide (non représenté sur le schéma précédent).

Sur la longueur ds, des contraintes apparaissent et se décomposent en contraintes normale  et tangentielles (dites de "contraintes cisaillement" ou de "contraintes flexion" également) .

Le problème consiste à établir les relations entre  et et .

Les conventions de signes sont :

- Les contraintes  exerçant une traction sont positives alors que les tensions  exerçant une compression sont négatives.

- Les contraintes  ayant tendance à faire tourner le parallélépipède dans le sens des aiguilles d'une montre, sont positives. Dans le sens antihoraire, elles seront négatives.

L'équation d'équilibre de projection sur la direction ON est :

  (34.32)

Rappelons que:

  (34.33)

Comme et  nous avons :

    (34.34)

comme :

et   (34.35)

alors :

  (34.36)

Finalement :

  (34.37)

Conclusion : En fonction de  et , il est possible de calculer la tension normale qui existe sur une surface plane quelconque d'angle .

L'équation d'équilibre de projection sur la direction de OT est:

  (34.38)

comme alors finalement :

  (34.39)

Conclusion : En fonction de  et , il est possible de calculer la tension tangentielle qui existe sur une surface plane quelconque d'angle .

Soit, à présent, la situation suivante:

  (34.40)

Il s'agit d'un bloc de matière dont l'on extrait virtuellement un plan de forme carré que l'on va étudier en prenant en première partie qu'un des triangles rectangle le composant pour ensuite étudier l'ensemble.

Avant la sollicitation, nous considérons donc le losange abcd qui est en fait un carré à  suivant la direction OX.

Pendant la sollicitation, ce losange se déforme sous l'action des contraintes tangentielles décomposées de contraintes de cisaillement pur et devient le losange a'b'c'd'. La diagonale bd est alors étendue et la diagonale ac est comprimée. L'angle en a qui valait  vaut après déformation  (en a'). De même, l'angle en b qui valait  vaut à présent  (Fig. A). 

Nous pouvons nous rendre compte de l'effet de la déformation en isolant le losange et en lui faisant subir une rotation de . Après déformation, nous avons la forme indiquée par les lignes en pointillées (Fig. B).

L'angle de glissement étant petit, nous avons :

  (34.41)

Donc  représente le glissement du coté ab par rapport à dc divisé par la distance entre les deux plans ab et dc. L'analyse qui vient d'être effectuée reste valable quel que soit le corps solide ou  liquide considéré.

Soit, à présent, le cas d'un solide élastique obéissant à la loi de Hooke. Le problème va consister à établir la relation entre l'angle de glissement  et les contraintes tangentielles  agissant sur les cotés du losange. 

Soit le triangle rectangle oab. L'allongement du coté et le raccourcissement du coté oa pendant la déformation s'obtiennent à partir des équations suivantes :

  (34.42)

Comme:

  (34.43)

Nous avons :

 et   (34.44)

Donc :

  (34.45)

donc la longueur oa' diminue si  augmente .

  (34.46)

donc ob' augmente si  augmente.

Pour l'angle triangle rectangle oa'b', nous avons :

    (34.47)

Or:

    (34.48)

Comme  ( est petit) nous avons :

  (34.49)

Soit:

  (34.50)

Finalement nous avons la relation donnant le "module de glissement", ou "module de Coulomb", que nous avions donné plus haut sans démonstration :

  (34.51)

MODULE DE COMPRESSIBILITÉ

Nous reste encore à voir la provenance mathématique de l'expression d'un autre module tout aussi important que le module en cisaillement: le module de compressibilité .

Soit les équations déterminées dans l'étude précédente:

  (34.52)

Si les forces appliquées sur le cube sont égales en intensité nous avons:

  (34.53)

Ce qui nous donne:

  (34.54)

En sommant les termes selon le principe de superposition linéaire des forces:

  (34.55)

Or:

  (34.56)

Finalement:

  (34.57)

ce que nous notons également:

  (34.58)

ou encore:

  (34.59)

avec étant par définition le "coefficient de compressibilité".

MODULE DE FLEXION

Pour l'étude du module de flexion considérons la situation ci-dessous:

  (34.60)

La figure de gauche ci-dessus représente un matériau à l'état statique. La figure de droite représente le même matériau mais soumis à un moment de force couplé M.

Comme le matériau subit à sa surface à la fois une compression et à l'opposé une tension, il doit donc exister une frontière (une ligne ou un plan) ou aucune contrainte n'existe. Cette ligne ou ce plan (c'est rare que nous ayons affaire à un matériau ayant uniquement deux dimensions…) est appelé "plan neutre". Ce plan neutre va nous servir de référence pour définir la contrainte de flexion.

Maintenant que ce plan est défini, considérons les figures ci-dessous:

  (34.61)

Soir R le rayon de courbure de la barre (cylindre, plaque, parallélépipède, …). La déformation sur le segment est définie par la relation:

  (34.62)

Les longueurs mn et ij sont définies par:

  (34.63)

et la longueur  par:

  (34.64)

ainsi l'expression de la déformation devient:

  (34.65)

ce qui indique que la déformation varie de façon linéaire avec y.

Nous pouvons définir le module de flexion par:

  (34.66)

Considérons l'état statique de la barre. La somme des contraintes de traction et compression sont alors nulles. Effectivement, nous le voyons bien si nous considérons le schéma ci-dessous:

  (34.67)

Considérons  la force agissante sur un élément de surface dS. Nous pouvons considérer l'équilibre des forces à l'état statique tel que:

  (34.68)

En substituant l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

  (34.69)

En supposant linéaire la caractéristique de contrainte en première approximation donc .

En simplifiant un tant soit peu:

  (34.70)

Si nous multiplions l'intégrale par  alors la relation doit être égale au moment de force appliqué tel que:

  (34.71)

En substituant par l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

  (34.72)

Ce qui nous amène à définir le terme:

  (34.73)

que les ingénieurs nomment le "moment d'inertie de la barre par rapport au plan neutral" ou encore "moment d'inertie statique". Ce terme représente une mesure de la rigidité de la section transversale de la barre d'un point de vue géométrique, sans considérations des propriétés matérielles.

Substituant cette relation dans l'équation de contrainte de flexion, nous obtenons le "module de flexion":

  (34.74)

La difficulté pour l'ingénieur consiste souvent à localiser mathématiquement le plan neutral...

ONDES TRANSERVSALES DANS LES SOLIDES

Les ondes sonores transversales ou "ondes S" (ondes de cisaillement) ne se produisent que dans les solides. Les couches successives du milieu se déplacent latéralement sans qu'il y ait de changement de volume, de densité ou de pression:

  (34.75)

Le milieu se déforme de la même manière que vous pouvez déformer un livre ou une rame de papier posés à plat en poussant le haut horizontalement. Ni le livre, ni la rame ne changent de volume.

L'obtention de l'équation d'onde pour des ondes transversales est presque la même que pour une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Prenons trois minces couches planes contiguës du milieu (voir figure ci-dessous):

  (34.76)

 Les centres des couches se situent en  avec:

  (34.77)

Le déplacement transversal des trois couches adjacentes est . L'angle de déformation entre le couche b et la couche a est au première ordre en approximation de Taylor (cf. chapitre sur les Suites et Séries):

  (34.78)

Si nous calculons les forces entre les couches pour un morceau de couche de surface S, nous obtenons:

  (34.79)

où G est le module de glissement du milieu. La résultante des forces est alors:

  (34.80)

La force de la tranche  sera égale à tout moment au produit de la masse du morceau de couche b, d'épaisseur dx, surface S et densité , multipliée par l'accélération de la couche:

  (34.81)

Nous avons alors:

  (34.82)

et:

  (34.83)

Ce qui donne:

  (34.84)

Ce que nous venons de déduire pour une valeur quelconque , est aussi vrai pour n'importe quelle coordonnée:

  (34.85)

et la vitesse de propagation des ondes transversales est donc:

  (34.86)

Le rapport  a les unités du carré d'une vitesse:

  (34.87)

Il s'agit donc d'une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

  (34.88)

avec:

  (34.89)

Les ondes transversales ne se propagent que dans les solides et de ce fait nous ne pouvons pas les entendre à moins de les transformer en ondes longitudinales par des moyens mécaniques ou électriques. Les ondes transversales peuvent se transmettre le long d'une barre ou d'une tige quelconque ou même d'un fil métallique, et ceci sans besoin que ce dernier soit sous tension. Même si le fil métallique est sous tension, la vitesse des ondes de cisaillement ne dépend pas de la tension. C'est le module de cisaillement élevé de l'acier qui donne aux guitares électriques ce bruit caractéristique.

Un autre cas remarquable des ondes transversales (de cisaillement) est celui des ondes sismiques. On y trouve des ondes sismiques de cisaillement et aussi des ondes longitudinales ou de pression. Les ondes de cisaillement se propagent dans la croûte terrestre à  et les ondes de pression à . Lors d'un séisme ou d'une explosion atomique, les deux types d'onde seront produits mais comme les ondes se propagent à des vitesses différentes, elles n'arriveront pas en même temps à des stations de détection lointaines. C'est à partir de cette différence des temps d'arrivée que l'on déterminer la distance à l'épicentre. La direction est obtenue à partir de la direction des oscillations. Seules les stations suffisamment éloignées pour recevoir les deux types d'onde séparément peuvent faire la détermination de l'épicentre.

Pour résumer, nous avons pour les ondes longitudinales dans un solide (cf. chapitre de Musique Mathématique):

  (34.90)

et pour les ondes transversales:

  (34.91)

Pour les détails des développements mathématiques concernant les gaz et les solides, le lecteur devra se rendre dans le chapitre de Musique Mathématique (Acoustique).

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