LIQUIDES



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Les fluides usuels sont de deux types: les liquides et le gaz (les solides sont aussi parfois considérés comme des fluides...ce n'est qu'une question d'opinion..). Etymologiquement, un fluide est susceptible de s'écouler. Le liquide adopte la forme du récipient qui le contient tout en conservant un volume propre à peu près invariable. Le gaz n'a pas de volume propre: il envahit uniformément (mécanique statistique de Boltzmann) le récipient dans lequel il est maintenu. Une atmosphère en constitue un cas spécial, du fait qu'elle est maintenue par la gravité à la périphérie d'un astre, ce qui exclut l'uniformité de la densité ou pression.

La distinction entre liquide et gaz est subtile. Nous pouvons cependant dire que le volume propre des liquides manifeste l'existence d'une cohésion liée à une densité assez grande (liaisons de Van der Waals); cette cohésion disparaît avec le volume propre chez les gaz.

Si nous comparons les fluides avec les solides, la première remarque qui s'impose concerne l'isotropie (les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions spatiales) des fluides usuels qui est toujours réalisée (si nous n'agissons pas sur le fluide en tout cas!).

Nous allons aborder la théorie de la mécanique des fluides en difficulté croissante et par redondance. D'abord il va être démontré que les propriétés d'un fluide statique sont isotropes (théorème de Pascal). A l'aide de ce résultat, il va être plus simple de comprendre le théorème de Bernoulli qui va nous permettre, entre autres, de définir le concept de "pression hydrostatique". Ensuite, nous construirons un modèle très important de la dynamique des fluides, connus sous le nom de "équations de Navier-Stokes", que l'on dans tous les domaines possibles (astrophysique, mécanique quantique, météorologie,..). Ce modèle de dynamique des fluides est conséquent en développements théoriques et résultats expérimentaux et peut être considéré comme un terrain difficile. Cependant, pour faciliter la lecture, nous avons choisi de ne pas aborder celui-ci directement par usage du calcul tensoriel. Nous avons ainsi fait en sorte que les variables tensorielles apparaissent d'elles-mêmes d'écoulant des résultats simples de l'analyse vectorielle que nous obtiendrons. Une fois les équations de Navier-Stokes déterminées et démontrées, nous verrons que nous pouvons retrouver l'expression du théorème de Bernoulli à partir de ces mêmes équations.

La dynamique des fluides, ou "hydrodynamique", est de loin, le domaine de la mécanique classique le moins aisé en ce qui concerne la description et la prédiction. C'est pourquoi le théorème de Bernoulli s'utilise fréquemment, non pour expliquer en détail le comportement d'un fluide, mais pour en faire une description qualitative.

THÉORÈME DE PASCAL

Le résultat qui va suivre est de la plus haute importance pour comprendre l'ensemble de la mécanique des fluides. Il faut prendre le temps de comprendre !

equation
  (34.92)

Si nous considérons les forces s'exerçant, en l'absence de mouvement, sur un  tétraèdre élémentaire OABC de volume élémentaire V. Il est toujours possible d'adopter un volume suffisamment petit pour avoir une pression uniforme s'exerçant sur les faces du tétraèdre.

Soient equation, les pressions de réaction du fluide dues aux contraintes extérieures sollicitant les faces respectives OBC, OAB, OAC et ABC de surface equation. Soient également les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) du vecteur unitaire equation normal à la surface ABC.

Le système étant en équilibre, la résultanteequation des forces de réaction du système est nulle. Nous avons donc les équations suivantes résultant de la projection suivant les trois axes de coordonnées:

equation   (34.93)

Par simplification élémentaire il vient:

equation   (34.94)

Nous obtenons alors la relation suivante:

equation   (34.95)

Conclusion importante: en un point quelconque d'un fluide, la pression est indépendante de la direction de la normale equation à la surface élémentaire sur laquelle elle s'exerce.

Par le principe de l'action et de réaction de Newton, nous sommes amenés à énoncer le "théorème de Pascal":

Les fluides incompressibles transmettent intégralement et dans toutes les directions, les pressions qui leur sont appliquées.

Ce théorème est fondamental aussi bien en mécanique des fluides qu'en mécanique des gaz et les implications pratiques sont énormes (ce théorème explique entre autres, que la pression est indépendant de la géométrie du contenant du liquide) !

VISCOSITÉ

En mécanique des fluides, il est utile de considérer plusieurs types fluides ayant des caractéristiques qui les différent. Ceci s'avère particulièrement pratique pour les simulations tout en restant conforme à l'observation expérimentale (cf. chapitre de Génie Météo Et Marin).

Nous définissons la "viscosité" equation par les forces internes s'opposant au déplacement des diverses couches composant le fluide.  Nous distinguons la "viscosité dynamique" equation et la "viscosité cinématique" equation.

1. La viscosité dynamique :

equation   (34.96)

avec equation étant le coefficient de viscosité dynamique (l'unité étant le Poiseuille [PI]), dF variation de la force de frottement entre deux couches infiniment voisines, equation variation de la vitesse par la distance entre deux couches infiniment voisines equation et dS étant la surface considérée equation.

Conclusion: le Poiseuille est la viscosité d'un fluide nécessitant 1 Newton pour faire glisser à la vitesse de 1 mètre pas seconde, deux couches fluides de 1 mètre carré distantes de 1 mètre.

Remarque: Anciennement, l'unité employée était la "poise" : equation

2. La viscosité cinématique est définie par:

equation   (34.97)

Une transformation de la définition de la viscosité dynamique donne (il faut se rappeler de cette relation pour plus tard !!):

equation   (34.98)

Soit:

equation   (34.99)

Par définition les fluides ayant les caractéristiques suivantes:

equation
  (34.100)

sont nommés respectivement:

- (1) Fluides pseudo-plastique
- (2) Fluides newtoniens (contraintes de cisaillement proportionnelles au gradient de vitesse)
- (3) Fluides dilatant

Il existe encore un 3 autres types de fluide non représenté sur le schéma et dont la viscosité est supposée nulle (cf. chapitre de Thermodynamique):

- (4) Fluides parfaits
- (5) Fluides semi-parfaits
- (6) Fluides réels

Remarques:

R1. Le comportement d'un fluide parfait est très différent de celui d'un fluide réel aussi petit soit la viscosité de ce dernier. En effet, le fluide parfait, parce qu'il n'a pas de viscosité, ne dissipe jamais l'énergie cinétique. Alors qu'un fluide réel très peu visqueux la dissipe efficacement grâce à la turbulence, et au phénomène de cascade qui l'accompagne.

R2. Nous reviendrons sur les propriétés de la viscosité dynamique et cinématique lors de la démonstration des équations de Navier-Stokes-(Reynolds).

R3. Les fluides qui ne sont pas newtoniens sont appelés en tout généralité dans la littérature "fluides non-newtoniens"... et nous ne traiterons pas les ferrofluides ici car trop complexes théoriquement à analyser.

Les fluides non-newtonien ont donc une déformation dépend de la force que nous leur appliquons. Le meilleur exemple est celui du sable mouillé en bord de mer : quand nous frappons le sable, il a la viscosité élevée d'un solide, alors que lorsque nous appuyons doucement dessus, il se comporte comme une pâte. Par ailleurs certains non-newtoniens ont des propriétés telles qu'il est possible pour un individu de courir dessus sans couler ou de couler en restant en position...

LOI DE POISEUILLE

En 1835 un médecin français, Jean Léonard Marie Poiseuille fit une série d'expériences soignées, pour déterminer comment un fluide visqueux s'écoule dans un tuyau étroit. Son but était de comprendre la dynamique de la circulation sanguine chez l'homme. Le plasma du sang se comporte comme un fluide newtonien, tandis que le sang entier ne l'est pas. Presque la moitié du volume normal du sang est faite de cellules assez grandes pour perturber l'écoulement laminaire, surtout quand elles entrent en contact avec les parois des vaisseaux, un phénomène qui prend de l'importance dans les capillaires très étroits. Néanmoins, l'analyse de Poiseuille s'applique à l'écoulement dans les veines et les plus grosses artères et elle a une grande valeur, bien qu'elle soit un peu simpliste.

Le résultat de Poiseuille peut être établi en considérant le fluide dans un tuyau comme formé de couches cylindriques orienté selon un axe x de rayon r concentriques qui se déplacent à des vitesses qui vont en décroissant à parti du centre (symétrique circulaire supposée).

Alors la relation définissant la viscosité s'écrit :

equation   (34.101)

Ce qui nous donne la force de viscosité sur le cylindre. La surface de contact de chaque couche cylindrique de longueur l est donnée par equation et donc :

equation   (34.102)

L'origine de l'accélération (in extenso de la force) ne peut se faire que par une différence de pression telle que :

equation   (34.103)

ce qui nous amène à écrire :

equation   (34.104)

En intégrant membre à membre, nous obtenons :

equation   (34.105)

Soit :

equation   (34.106)

La courbe représentative de la vitesse en fonction de r est une parabole dont le sommet se situe sur l'axe centre du cylindre (equation). Le débit volumique transporté par une couche cylindrique entre r et equation est equation. Ainsi, le débit total est :

equation   (34.107)

et nous obtenons la "loi de Poiseuille" pour le débit laminaire visqueux :

equation   (34.108)

Nous trouvons donc le résultat logique que le débit augmente avec le gradient de pression equation et le rayon du tube, et diminue avec la viscosité.

Nous trouvons par ailleurs une relation analogue à la loi d'Ohm (cf. chapitre d'Électrocinétique) où la différence de potentiel est donnée par la résistance multipliée par le courant alors que la différence de pression est donnée par la résistance visqueuse multipliée par le débit.


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