GAZ



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Les solides ont une forme bien définie et sont difficiles à comprimer. Les liquides peuvent s'écouler librement et leur écoulement est limité par des surfaces autoformées. Les gaz se dilatent librement pour occuper le volume du récipient qui les contient, et ont une densité environ mille fois inférieure à celle des liquides et des solides. Ils conduisent peu la chaleur et l'électricité, sauf si nous les ionisons (formation d'un plasma). Les molécules d'un gaz neutre se déplacent suivant des trajectoires rectilignes qui changent de direction à chaque collision avec une autre molécule. Contrairement aux solides et aux liquides, les interactions entre molécules restent faibles. Les propriétés macroscopiques d'un gaz se déduisent donc directement des propriétés des molécules qui le composent (ou des atomes dans le cas d'un gaz monoatomique).

TYPES DE GAZ

En théorie des gaz (nous parlons souvent de "théorie cinétique des gaz") nous considérons toujours deux types de gaz neutres:

GAZ PARFAIT

Il s'agit d'un modèle dans lequel nous négligeons les interactions moléculaires du gaz, à l'exception des collisions, et dont le volume propre est négligeable devant le volume du récipient.

Lorsqu'un gaz est à faible pression, les interactions entre ses molécules sont faibles. Ainsi, les propriétés d'un gaz réel à basse pression se rapprochent de celles d'un gaz parfait. Nous pouvons alors décrire le comportement du gaz par "l'équation d'état des gaz parfaits" que nous démontrons plus bas lors de notre étude du théorème du Viriel:

equation   (34.1)

avec n le nombre de moles de gaz, P la pression du gaz, V le volume occupé par les n moles et T la température absolue du gaz. La constante R étant la constante des gaz parfaits.

Cette équation montre que trivialement:

- A température T constante (système "isotherme"), le volume d'une quantité fixée de gaz est inversement proportionnel à sa pression. C'est la "loi de Boyle-Mariotte":

equation

equation
  (34.2)

- A pression P constante (système "isobare"), le volume d'une quantité fixée de gaz est proportionnel à la température absolue. C'est la "loi de Gay-Lussac" (dans le cas des gaz parfaits...):

equation

equation
  (34.3)

C'est cette relation qui est souvent utilisée dans les labos des petites classes pour montrer qu'avec une extrapolation de la droite mesurée, le volume devient théoriquement....nul à une température de -273.15 [°C]. Non sérieusement à partir d'une certaine température il faut utiliser des modèles quantiques et de plus cette relation n'est valable vraiment que pour les gaz (ainsi, lorsque la vapeur d'eau devient liquide... ce n'est plus valable).

- A volume V constant (système "isochore"), la pression d'une quantité fixée de gaz est proportionnelle à sa température absolue. C'est la "loi de Charles":

equation

equation
  (34.4)

Par la suite, Amedeo Avogadro, à qui l'on doit le vocabulaire de "molécule" affirme le concept moléculaire des gaz et conclut que des volumes à égaux de gaz différents, pris dans les mêmes conditions de température et de pression, contienne le même nombre de molécules.

GAZ RÉEL

L'équation d'état des gaz parfaits est approximative. Par exemple, un gaz parfait ne pourrait ni se liquéfier ni se solidifier, quels que soient le refroidissement et la compression auxquels il est soumis. Les gaz réels, surtout dans des conditions de pression et de température proches de la transition à l'état liquide, peuvent présenter des écarts considérables avec la loi des gaz parfaits!

Il faut donc l'adapter aux cas réels. L'équation d'état de Van der Waals est particulièrement utile et bien connue peut être obtenu de manière qualitative une fois l'équation des gaz parfaits démontrée et est alors donnée par (voir plus bas comment nous l'obtenons):

equation   (34.5)

pour une mole, a et b étant des paramètres adaptables déterminés par des mesures expérimentales effectuées sur le gaz concerné. Ce sont des paramètres qui varient d'un gaz à un autre.

L'équation de Van der Waals peut également être interprétée au niveau microscopique. Les molécules interagissent les unes avec les autres. Cette interaction est fortement répulsive pour les molécules proches les unes des autres, devient légèrement attractive pour un éloignement moyen et disparaît lorsque l'éloignement est important. À pression élevée, la loi des gaz parfaits doit être rectifiée pour prendre en compte les forces attractives ou répulsives.

THÉORÈME DU VIRIEL

Nus allons ici aborder une étude des gaz parfaits via une méthode particulière. Elle permet d'obtenir un résultat intéressant et particulièrement pour l'astrophysique (cf. chapitre d'Astrophysique). Le théorème du Viriel permet également d'obtenir d'autres résultats très intéressants mais qui pédagogiquement sont un peu difficiles d'accès. Le lecteur qui serait intéressé à cette deuxième partie de résultats pourra directement se reporter un peu plus loin où les concepts de pression et de température cinétique sont traités.

Par définition, "l'expression du Viriel" equation d'un point matériel est le scalaire:

equation   (34.6)

Par définition, le "Viriel" equation d'un système composé de N points matériels est:

equation   (34.7)

Soumis à une force centrale, le Viriel s'écrit (par les propriétés du produit scalaire):

equation   (34.8)

Le "théorème du Viriel" s'énonce ainsi : Pour un système en équilibre (!), l'énergie interne est égale à l'opposé de son demi-Viriel total lorsque toutes les particules sont repérées par rapport à son centre de masse.

Démonstration:

Soit la relation mathématique:

equation   (34.9)

Sa dérivée seconde:

equation   (34.10)

En multipliant par equation et en sommant sur i :

equation   (34.11)

Or:

equation   (34.12)

et:

equation   (34.13)

Donc:

equation   (34.14)

Cette dernière expression est valable quelle que soit la position d'un système de coordonnées adopté. Cependant, il est intéressant de placer son origine au centre de masse du système car nous ne sommes plus dépendants de son mouvement.

Si le système est en équilibre, les quantités macroscopiques qui la caractérisent ne sont pas dépendantes du temps. Nous en concluons alors que la somme de n'importe quelle quantité attachée à n'importe quel point matériel du système est en fait une quantité dudit système.

Ainsi, equation est une quantité macroscopique indépendante du temps. Cela implique que:

equation   (34.15)

Ce qui s'écrit encore (nous multiplions par ½ des deux côtés):

equation   (34.16)

Nous avons donc finalement:

equation   (34.17)

Cette expression de l'énergie cinétique est connue sous le nom de "théorème de Viriel"et le membre de droite est donc appelé le "Viriel du système".

equationC.Q.F.D.

Nous noterons que:

equation   (34.18)

equation est l'énergie cinétique totale associée à l'ensemble des points matériels du système. Nous l'appelons "l'énergie interne du système" et les thermodynamiciens la note souvent avec la lettre U. equation est l'énergie d'un point matériel quelconque du système.

Il est possible de retrouver l'expression du Viriel à partir d'un système de particules (nuage en accrétion). Strictement, l'équilibre n'existe pas dans un tel cas. Néanmoins, nous pouvons admettre que si la contraction gravitationnelle est suffisamment lente alors ses différentes phases peuvent êtres considérées comme une succession d'états d'équilibre.

Dans le cas d'une force centrale et dérivant d'un potentiel, nous pouvons écrire:

equation    (34.19)

et donc :

equation   (34.20)

Si l'énergie potentielle est de la forme k/r (ce qui est le cas pour le potentiel électrique et gravitationnel) alors il vient:

equation   (34.21)

et il reste:

equation   (34.22)

En résumé, le théorème du Viriel nous donne une relation entre les énergies cinétique et potentielle totales. Pour être valable, le mobile doit décrire une trajectoire autour du centre de force central et rester indéfiniment dans un volume fini (état lié). Ce type de raisonnement est applicable à un très grand nombre de phénomène, depuis la structure de certaines galaxies jusqu'au dégagement d'énergie dans les explosions nucléaires en passant par l'étude du Soleil et le comportement des gaz réels. Il s'agit du premier résultat qui nous intéressait.

Dans un système gazeux, l'énergie potentielle peut s'écrire comme la somme de l'énergie des forces agissant de l'extérieur plus celle qui sont interne même au gaz. Tel que:

equation   (34.23)

Or les forces internes peuvent s'écrire comme:

equation   (34.24)

Il ne faut pas dans cette somme prendre la force qu'exerce chacune des particules sur elle-même. Tel que:

equation   (34.25)

Ce qui nous donne:

equation   (34.26)

Dans la double somme, nous pouvons regrouper les termes deux à deux et utiliser le principe d'action-réaction tel que:

equation   (34.27)

Pour obtenir:

equation   (34.28)

Ce qui finalement nous donne:

equation   (34.29)

Et:

equation   (34.30)

Le premier terme de droite fait intervenir les forces intérieures (interactions) entre les (paires de) particules et le deuxième terme de droite fait intervenir les forces extérieures.

Considérons maintenant un gaz contenu dans un récipient. Ses molécules ne sont sujettes à des forces extérieures que lorsqu'elles heurtent une paroi et nous imaginons qu'en moyenne cette force est perpendiculaire à la paroi (chocs élastiques).

equation
  (34.31)

Pour toutes les faces contenues dans les plans définis par les axes, nous avons toujours:

equation   (34.32)

Puisque en moyenne equation est toujours perpendiculaire à equation.

Pour les autres faces (BCFE par exemple) nous avons equation et donc:

equation   (34.33)

où nous appelons a la coordonnée selon Oy de l'extrémité de equation (ne pas confondre avec l'accélération!). Dès lors pour chaque face:

equation   (34.34)

Effectivement car la pression interne du système sur les parois étant définie par:

equation   (34.35)

Par le théorème du Viriel, en ajoutant les contributions non nulles des faces BCFE, DEFG et ABED, il vient:

equation   (34.36)

Si l'énergie cinétique moyenne d'une molécule est:

equation   (34.37)

L'énergie cinétique moyenne totale pour N molécules est alors (nous reviendrons sur cette relation plus loin mais avec une autre approche) :

equation   (34.38)

ce que les thermodynamiciens notent souvent:

equation   (34.39)

U est donc l'énergie interne du gaz et ddl le nombre de degrés de liberté des contituants.

La relation antéprécédente, appelée "théorème d'équipartition de l'énergie", est importante car elle permet:

1. Une interprétation microscopique de température T et de déterminer l'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique (et par extension d'autres gaz avec des degrés de libertés autres).

2. De constater que le système de température en Celsius n'est pas adapté à la réalité physique. Effectivement, dans le système utilisant les Celsius, à 0 °C tout devrait être immobile (énergie cinétique nulle) or il est évident que ce n'est pas le cas pour toutes les substances. Donc il faut introduire une nouvelle température qui met en adéquation l'énergie cinétique mesurée et la température traditionnelle. Il s'agira de la "température absolue" mesurée en Kevlin [K] dont l'équivalence énergie cinétique/température mesurée est elle que le 0 °C correspond à 273.15 [K].

L'énergie interne est une contribution à l'énergie qui n'apparaît pas en mécanique classique. Du point de vue macroscopique, un récipient immobile qui contient un fluide ne possède pas d'énergie cinétique, alors que son énergie potentielle est constante. Nous pouvons l'ignorer en donnant la valeur zéro à cette constante.

Du point de vue microscopique, les choses changent cependant! Effectivement, les atomes ou molécules du fluide sont en mouvement et interagissent. Il faut leur associer une énergie (l'énergie interne) qui est la somme des contributions relatives à chaque atome.

Dès lors:

equation   (34.40)

C'est "l'équation générale d'état d'un gaz réel", c'est-à-dire l'équation d'état qui tient compte des interactions entre molécules. Il est intéressant de remarquer que finalement cette relation peut nous permette de calculer l'énergie du gaz même s'il n'y pas de parois!

Si le gaz est parfait, il n'y a pas d'interactions entre les N molécules (par hypothèse) et alors nous avons "l'équation des gaz parfaits" suivante:

equation   (34.41)

Que nous retrouvons beaucoup plus fréquemment sous la forme:

equation   (34.42)

si n est exprimé en moles avec R la constante des gaz parfaits.

Si la température est constante, nous retrouvons la "loi de Boyle-Mariotte":

equation   (34.43)

Pour arriver à l'équation des gaz parfaits, il est utile de rappeler que nous avons fait trois hypothèses :

H1. Les molécules sont assimilées à des sphères dures dont le diamètre est négligeable devant la distance moyenne qui les sépare. C'est que ce que nous appelons "l'hypothèse structurale".

H2. A la limite, et c'est ce que nous avons retenu, si nous considérons les molécules comme ponctuelles, la possibilité d'interaction entre les particules s'annule. Les seules interactions qui subsistent seront les chocs sur les parois du récipient qui contient le gaz. Ces chocs sont parfaitement élastiques de sorte que nous puissions appliquer les lois de conservation de la quantité de mouvement de l'énergie cinétique. C'est ce que nous appelons "l'hypothèse interactive limite"

H3. Le gaz est étudié dans un état d'équilibre thermodynamique ce qui se traduit par l'homogénéité des variables intensives et extensives. C'est que ce que nous appelons "l'hypothèse du chaos moléculaire".

Dans un cas particulier, si les interactions dérivent d'un potentiel central:

equation   (34.44)

Il vient ainsi:

equation   (34.45)

Si en outre l'énergie potentielle est du type (attention de ne pas confondre le caractères k avec la constante de Boltzmann notée de la même manière!) :

equation   (34.46)

nous avons:

equation   (34.47)

et dès lors:

equation   (34.48)

equation est l'énergie totale moyenne du système.

Au fait, il faut bien prendre garde au fait que nous n'avons pas rigoureusement démontré l'équation des gaz parfaits. Effectivement, lorsque nous avions posé plus haut:

equation   (34.49)

Cela supposait implicitement que l'équation des gaz parfaits était déjà connue (…).

Cette approche de la cinétique des gaz est intéressant car utile en astrophysique. Cependant, ce n'est de loi pas la plus simple dans un cadre scolaire et pédagogiquement. Nous nous proposerons de revenir sur ces mêmes résultats via les concepts de pression et de température cinétique une fois l'équation de Van der Waals déterminée.

En 1875, le savant hollandais J.D. Van der Waals (1837-1923) essaya donc de remplacer l'équation des gaz parfaits par une relation qui tiendrait compte des forces intermoléculaires et de la taille des molécules. La première correction, et la plus évidente, à l'équation des gaz parfaits:

equation   (34.50)

est de soustraire le volume des molécules de gaz du volume V. Nous pouvons le faire logiquement en remplaçant V par V-Nbb est une constante très faible représentant bien évidemment le volume moyen par molécule (il existe des tables pour cela). Donc:

equation   (34.51)

où le terme equation est communément appelé le "covolume".

Pour tenir compte des forces intermoléculaires que nous avons négligées précédemment, nous pouvons tenter une approche approximative en sachant déjà que la force d'attraction de chaque molécule se fera sur N-1 molécules. Par conséquent, le numérateur de la force d'attraction contiendra (par la somme des tous les termes) trivialement si le gaz est isotrope et homogène un terme du type N(N-1) pour l'influence de toutes les molécules entre elles ce qui si N est très grand peut être approximé par equation.

Nous savons également qu'au numérateur il y aura un terme de masse pour chaque particule. Si nous connaissons N/V alors il ne reste plus qu'à connaître la densité massique du gaz (mais ce n'est pas une variable extensive donc nous éviterons de la faire apparaître explicitement). Ainsi, le terme equation peut s'écrire directement equation

En suivant ce raisonnement, Van der Waals ajouta au terme de droite de l'équation ci-dessus un terme négatif proportionnel à la quantité equation. La présence de ce terme se traduit par un abaissement de la pression au fur et à mesure que croit la densité du gaz. La relation modifiée est ainsi:

equation   (34.52)

a est une constante de proportionnalité. Nous pouvons réécrire cette relation sous la forme:

equation   (34.53)

qui est appelée "équation de Van der Waals". Elle est une excellente description de l'équation d'état dans un large domaine des variables P,V,T, les valeurs a et b étant caractéristiques de chaque gaz. Les constantes a et b sont déterminées expérimentalement comme nous en avons déjà fait mention.

L'équation de Van der Waals peut être mise sous forme d'un développement du type Viriel en utilisant un développement de Taylor (MacLaurin) :

equation   (34.54)

ou en réorganisant les termes:

equation   (34.55)

Remarquons qu'il existe une température pour laquelle equation est nulle. Nous l'appelons "température de Boyle" du gaz: c'est la température à laquelle le gaz réel ressemble à un gaz parfait. Il est très délicat d'obtenir ces paramètres expérimentalement.

PRESSION CINÉTIQUE

Recherchons le nombre de molécules d'un gaz parfait toutes supposées animées d'une vitesse égale v qui viennent frapper une surface S pendant une durée dt.

Si le gaz étudié est dans un état d'équilibre thermodynamique, cela se traduira par l'homogénéité des variables intensives (hypothèse du chaos moléculaire).

Il s'ensuit que la densité des particules est constante :

equation   (34.56)

Si nous admettons que les molécules sont en mouvement, nous supposerons qu'il y a isotropie des vitesses. En d'autres termes, puisque les vitesses peuvent vectoriellement être décrites dans un système de 3 axes orthogonaux (trois dimensions spatiales), il y a 6 directions possibles primaires au total (2 directions par axe : en avant, en arrière...).

Cela se traduit par l'équivalence entre les différentes directions. Il y a :

equation   (34.57)

particules ayant une vitesse v selon l'une des directions primaire.

Donc pendant une durée dt, la surface S de la paroi est percutée par une partie des molécules contenues dans le volume equation. En effet, seul 1/6 des molécules contenues dans ce volume se dirigent effectivement vers la surface S.

equation
  (34.58)

Le nombre de molécules qui viennent heurter la paroi pendant la durée dt est donc :

equation   (34.59)

Étudions maintenant la dynamique du choc d'une particule sur la paroi :

La particule de masse m qui arrive sur la paroi avec la vitesse equation repart avec une vitesse equation si le choc est parfaitement élastique.

La variation de la quantité de mouvement de la particule est donc :

equation   (34.60)

En vertu de la conservation de la quantité de mouvement, cette quantité de mouvement est transférée à la paroi : la variation de la quantité de mouvement subie par la paroi est l'opposé de celle de la particule :

equation   (34.61)

La variation totale de la quantité de mouvement de toutes les particules qui viennent frapper la paroi pendant la durée dt vaut alors en module :

equation   (34.62)

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous pouvons passer à la force subie par la paroi pendant la percussion de ces molécules :

equation   (34.63)

donc :

equation   (34.64)

Or par définition de la pression et en prenant le module :

equation   (34.65)

 nous avons alors la "pression cinétique" donnée par :

equation   (34.66)

La pression cinétique est donc la traduction de la fréquence des chocs sur la paroi. Plus les molécules sont nombreuses (terme en equation) et rapides (terme en v), plus le nombre de chocs augmentent. Cela est conforme à l'expérience et à l'intuition.

TEMPÉRATURE CINÉTIQUE

En remplaçant equation par le quotient N/V, l'équation précédente peut se mettre sous la forme :

equation   (34.67)

Si nous l'identifions avec l'équation d'état des gaz parfaits vue plus haut :

equation   (34.68)

il vient :

equation   (34.69)

Or la quantité de matière n est égale au rapport du nombre de particules sur le nombre d'Avogadro :

equation   (34.70)

ce qui permet de définir la "température cinétique" par :

equation   (34.71)

Nous pouvons alors introduire une constante qui nous est déjà connue appelée par Max Planck "constante de Boltzmann" et telle que :

equation   (34.72)

Remarque: Nous avions déjà fait mention de cette relation lors de notre présentation des constantes universelles dans le chapitre traitant des Principes de la mécanique.

L'expression de température cinétique prend alors la forme :

equation   (34.73)

Cette relation montre que la température cinétique est le reflet de l'énergie cinétique des particules. D'une façon imagée, c'est l'image de la violence des chocs.

Ainsi, l'énergie d'un gaz parfait se réduit à la somme des énergies cinétique des particules qui le constitue :

equation   (34.74)

Les atomes d'un gaz parfait monoatomique sont assimilables à des points matériels. Leur énergie cinétique est une énergie cinétique de translation dont la valeur moyenne, par atome, s'écrit :

equation   (34.75)

Dans l'espace des vitesses, toutes les directions sont équivalentes : il y a isotropie de la distribution des vitesses. En coordonnées cartésiennes, il vient :

equation   (34.76)

et par suite de l'isotropie :

equation   (34.77)

d'où :

equation   (34.78)

ainsi, l'énergie cinétique moyenne par degré de liberté de translation est égale à :

equation   (34.79)

Le lecteur remarquera bien évidemment que nous obtenons ici les mêmes résultats et conclusions que lors de notre étude du théorème du Viriel à la différence que l'approche est ici plus simple et donc plus didactique.

LIBRE PARCOURS MOYEN

Nous allons voir maintenant un cas d'études très intéressant des gaz qui permet de mettre au clair beaucoup d'incompréhensions dans la vie de tous les jours (fumée dans les restaurants, chaleurs près d'un radiateur, ...). Cependant les phénomènes sont en réalité plus complexes il faut aussi prendre en compte la diffusion, la convection, etc.

Considérons une molécule, qui se déplace à la vitesse moyenne equation. Sa sphère d'influence equation balaie alors, pendant l'unité de temps de son déplacement, un volume:

equation   (34.80)

Si l'unité de volume renferme n molécules, le nombre de chocs pendant l'unité de temps sera alors de:

equation   (34.81)

si les autres molécules étaient immobiles... Donc pour tenir compte du mouvement des autres molécules, considérons les schémas ci-dessous avec trois scénarios simplistes:

equation
  (34.82)

De gauche à droite nous avons:

1. La vitesse relative des molécules est equation

2. La vitesse relative est nulle

3. La vitesse relative vaut (Pythagore) equation

Les deux premiers cas sont quand même un peu extrêmes... Le troisième sera considéré comme  représentant une moyenne et peut servir de nouvelle base au calcul précédent.

Ainsi, en utilisant la vitesse relative du dernier scénario, le nombre de chocs pendant l'unité de temps devient :

equation   (34.83)

Ainsi, entre deux chocs, une molécule parcourt une distance moyenne :

equation   (34.84)

C'est donc l'expression du libre parcours moyen en fonction de la densité moléculaire n et du rayon r de la sphère moléculaire, paramètre intrinsèque du gaz considéré. Compte tenu de la relation:

equation   (34.85)

Soit:

equation   (34.86)

Une application numérique donne pour l'oxygène aux conditions normales de température et de pression equation ce qui signifie que le libre parcours moyen vaut environ 100 fois le diamètre d'une molécule de taille standard.

En utilisant la relation de la vitesse moyenne la plus probable dans le cadre de l'hypothèse d'une distribution de Maxwell des vitesses (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous avons:

equation   (34.87)

pour une molécule de masse molaire de 30 [g] à température normale. Ce qui donne un nombre de collisions:

equation   (34.88)

Cette fréquence élevée de chocs explique, dans les conditions normales de température et de pression, la rapidité avec laquelle l'équilibre statistique s'établit au sein d'un gaz.

A la température ambiante et pour un vide de equation, nous obtenons avec les mêmes valeurs : equation.

Les dimensions des récipients contenant les gaz étant toujours inférieures à cet ordre de grandeur, il apparaît que lorsque le vide est réalisé dans une enceinte, les chocs intermoléculaires sont négligeables vis à vis des chocs molécules-parois.


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