FLUIDE INCOMPRESSIBLE



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Dans un fluide incompressible, nous avons par définition equation. L'équation de conservation qui est (cf. chapitre de Thermodynamique):

equation   (34.254)

s'écrit alors:

equation   (34.255)

soit:

equation   (34.256)

L'équation de Navier-Stokes:

equation   (34.257)

s'écrit alors:

equation   (34.258)

ou autrement:

equation   (34.259)

Si de plus la viscosité equation est négligeable, nous avons donc pour un fluide parfait:

equation   (34.260)

C'est équation est appelée "équation d'Euler de 1ère forme" ou encore "équation locale du bilan de conservation de la quantité de mouvement". Nous réutiliserons cette relation dans le cadre de notre études des ondes de gravité (vagues) dans le chapitre de Génie Météo et Marin.

Il existe une deuxième forme de l'équation d'Euler dans le cadre d'un fluide incompressible et à viscosité négligeable que nous allons de suite déterminer (souvent utilisée dans l'industrie) :

Si equation, nous pouvons écrire:

equation   (34.261)

Ce qui peut aussi s'écrire:

equation
  (34.262)

Ce qui s'écrit encore:

equation   (34.263)

Le premier facteur peut être considéré comme le produit scalaire suivant :

equation   (34.264)

Soit:

equation   (34.265)

La "dérivée particulaire" peut alors prendre la forme condensée suivante :

equation   (34.266)

Remarque: La composante en x de la dérivée particulaire est donc (nous retrouverons cela dans le chapitre de Génie Marin Et Météo!) :

equation   (34.267)

ce que les spécialistes du domaine notent de manière générale pour toute composante :

equation   (34.268)

L'équation d'Euler de 1ère forme:

equation   (34.269)

devient compte tenu de la dérivée particulaire:

equation   (34.270)

ou encore (forme courante dans la littérature):

equation   (34.271)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

equation   (34.272)

Si nous posons equation, nous avons:

equation   (34.273)

Soit:

equation   (34.274)

Finalement, nous obtenons une nouvelle équation appelée "équation d'Euler de 2ème forme" et qui s'écrit:

equation   (34.275)

Bien que les deux équations d'Euler soient très importantes, il en existe une forme variée très utile en météorologie que nous allons de suite déterminer.

Nous nous basons toujours sur l'écoulement d'un fluide incompressible et non visqueux, mais  dont les forces de volume dérivent cette fois-ci d'un potentiel equation (U étant un potentiel).

Dans ce cas, nous recourons à l'équation d'Euler sous sa 1ère forme:

equation   (34.276)

Puisque les forces volumiques equationdérivent d'un potentiel U, nous avons:

equation   (34.277)

Nous rappelons la relation:

equation   (34.278)

Soit equation un vecteur equation, il vient:

equation   (34.279)

donc:

equation   (34.280)

donc nous pouvons aussi écrire:

equation   (34.281)

En reprenant la relation:

equation   (34.282)

L'équation:

equation   (34.283)

devient:

equation   (34.284)

Donc:

equation   (34.285)

et puisque:

equation   (34.286)

Nous pouvons écrire:

equation   (34.287)

Nous savons que equation donc:

equation   (34.288)

En écrivant le produit vectoriel equation sous forme développée, nous avons:

equation   (34.289)

Ce qui donne:

equation   (34.290)

Supposons que equation soit un vecteur vitesse angulaire constant, nous avons alors:

equation   (34.291)

Définition: Nous disons qu'un "écoulement est tourbillonnaire" si:

equation   (34.292)

partout ou en certains points. Nous définissons aussi de la relation antéprécédente la "vorticité" par:

equation   (34.293)

Exemple d'écoulement partiellement tourbillonnaire (en certains points):

equation
  (34.294)

L'équation:

equation   (34.295)

s'écrit alors:

equation   (34.296)

Nous retrouvons dans cette équation, utilisée en météorologie, l'accélération de Coriolis que nous avions déterminé en mécanique classique du point matériel rigide.

Si l'écoulement s'effectue à vitesse constante equation et n'est pas rotationnel (non turbulent)  equation, alors l'équation précédente se réduit à:

equation   (34.297)

En dynamique classique du point matériel rigide, nous avons montré que dans le cas d'un potentiel gravitationnel Terrestre:

equation   (34.298)

z étant l'altitude d'un point du fluide par rapport à un niveau de référence equation. Si nous prenons equation pour le niveau du sol, l'avant dernière relation devient donc dans le cas d'un écoulement dit alors "écoulement potentiel":

equation   (34.299)

Le terme entre crochet pour satisfaire cette relation doit être tel que:

equation   (34.300)

Nous retrouvons donc bien le théorème de Bernoulli ce qui conforte notre modèle des fluides newtoniens selon le modèle de Navier-Stokes.

FLUIDE COMPRESSIBLE

Dans ce cas equation est une fonction de la pression p (cas des "fluides barotropes"). Nous considérons également que la viscosité est négligeable. Il vient alors:

equation   (34.301)

L'équation:

equation   (34.302)

s'écrit alors:

equation   (34.303)

FLUIDE STATIQUE

Dans le cas statique equation et  equation  l'équation:

equation   (34.304)

devient simplement:

equation   (34.305)

qui est "l'équation de la statique des fluides" ou la "loi fondamentale de l'hydrostatique".

Remarque: Les viscosités disparaissent. La statique des fluides est la même pour les fluides visqueux ou non visqueux.

NOMBRE DE REYNOLDS

Considérons d'abord, pour simplifier, le cas incompressible. L'équation de continuité, ou de conservation de la masse, (cf. chapitre de Thermodynamique) s'écrit alors:

equation   (34.306)

s'écrit alors:

equation   (34.307)

Nous choisissons maintenant plusieurs grandeurs de références notées par un indice r tel que:

equation et equation   (34.308)

Alors:

equation   (34.309)

donc l'équation des déformations par unité de temps devient:

equation   (34.310)

Nous avons également:

equation   (34.311)

Restreignons-nous à l'étude d'une composante:

equation   (34.312)

En multipliant par la densité equation:

equation   (34.313)

Ecrivons l'équation de Navier-Stokes pour une composante:

equation   (34.314)

Les termes ou apparaissent les coefficients de viscosité peuvent être réécrits tels que:

equation   (34.315)

Ainsi par correspondance:

equation   (34.316)

En introduisant les variables adimensionnelles:

equation   (34.317)

car comme nous l'avons vu:

equation   (34.318)

d'où:

equation   (34.319)

ou encore:

equation   (34.320)

Nous multiplions la relation:

equation   (34.321)

par equation et la divisons par equation tel qu'elle devienne:

equation   (34.322)

Au niveau dimensionnel, nous avons:

equation et  equation   (34.323)

Finalement:

equation   (34.324)

Cette équation différentielle exprimée en variables relatives et sans dimensions est appelé "équation de Navier-Stokes-Reynolds adimensionnelle"

Le terme equation, appelé "nombre de Reynolds", représente au niveau symbolique le rapport des forces d'inerties sur les forces visqueuses :

equation   (34.325)

equation est la "viscosité cinématique relative".

La viscosité dynamique est donc un terme inversement proportionnel à la valeur du nombre de Reynolds.

APPROXIMATION DE BOUSSINESQ

Soit la relation déjà démontrée précédemment:

equation   (34.326)

En y remettant le terme contenant la viscosité:

equation   (34.327)

sans oublier qu'au niveau des notations (nous savons… c'est un peu embêtant):

equation   (34.328)

Si le potentiel est de type gravitationnel, il va de soi que:

equation   (34.329)

Donc:

equation   (34.330)

Si l'on peut considérer le contexte de l'expérience tel que la densité volumique est inférieure ou égale à celle de l'eau et que les vitesses sont petites, alors nous pouvons éliminer les termes de second degré, tel que la relation précédente s'écrive:

equation   (34.331)

Nous nous plaçons dans le cadre d'un fluide faiblement turbulent, dans lequel la pression et la densité s'écrivent:

equation   (34.332)

equation représentent le terme d'accroissement turbulent par rapport aux valeurs statiques du fluide.

Nous négligeons également les frottements sur les bords et donc la viscosité en supposant que l'effet des turbulences devient vite prépondérant sur la valeur du frottement.

Donc nous avons le système d'équations:

equation   (34.333)

qui peut s'écrire:

equation   (34.334)

et encore:

equation   (34.335)

ce qui s'écrit aussi:

equation   (34.336)

Mais dans le cas statique:

equation   (34.337)

Il nous reste donc:

equation   (34.338)

En divisant le tout par equation:

equation   (34.339)

mais encore une fois:

equation   (34.340)

L'approximation de Boussinesq consistant à supposer que le fluide est incompressible et que le système est à température constante et peu turbulent, nous avons:

equation   (34.341)

Ce qui nous donne:

equation   (34.342)

Cette équation s'appelle "équation de Boussinesq" et va nous permettre d'introduire la théorie du chaos dans le domaine de la météorologie et des fluides dans le cas particulier des cellules de convection.

LOI DE STOKES

La complexité de l'hydrodynamique est un terrain tout désigné pour l'application de l'analyse dimensionnelle dont nous avons parlé au tout début de notre étude de la mécanique analytique. L'exemple analysé ici montre clairement les possibilités, mais aussi les limites de la méthode.

Nous envisageons un solide de forme quelconque plongé dans un fluide incompressible animé d'une vitesse uniforme à grande distance (le problème est équivalent à celui d'un solide qui se déplace à vitesse constante dans un fluide au repos). Nous cherchons à exprimer la force F qu'exerce le fluide sur l'obstacle, supposée immobile (et notamment dépourvu de tout mouvement de rotation).

La solution analytique est trop complexe pour perdre son temps à résoudre ce genre de problème pratique. Il convient de recourir à l'analyse dimensionnelle.

Les paramètres pertinents sont dans notre étude:

- L la dimension linéaire de l'obstacle

- v la vitesse du fluide à grande distance

- equation la masse du fluide

- equation la coefficient de viscosité du fluide

Comme il se doit, tous ces paramètres sont des constantes, bien que la vitesse varie en direction et en norme au voisinage de l'obstacle: à grande distance, elle es uniforme et sa valeur v est bien un paramètre pertinent.

Nous pourrions nous demander si la pression ne devrait pas compter au nombre de ces paramètres. Ce n'est pas le cas. La pression est conditionnée par la valeur de la vitesse et par celles des paramètres constants comme nous l'avons voyons dans le théorème de Bernoulli. Inutile donc de rajouter un terme redondant.

Sans chercher l'unique combinaison sans dimension des quatre premières, nous appliquons la démarche systématique. Nous voulons déterminer A, B, C, D, tels que:

equation   (34.343)

Comme:

equation   (34.344)

Il vient:

equation   (34.345)

Le système de dimensionnalité s'écrit:

equation   (34.346)

Ainsi:

equation   (34.347)

Dès lors:

equation   (34.348)

et curieusement nous retrouvons ici ce que nous avions vu dans notre développement de l'approximation de Boussinesq:

equation   (34.349)

Donc la force exercée par le fluide s'écrit:

equation   (34.350)

Dans la littérature nous trouvons la notation:

equation   (34.351)

C dépend de equation.

Les limites de la méthode analytique dimensionnelle (et même analytique tout court…) apparaît lorsque l'on confronte ce modèle à l'expérience (évidemment nous pourrions faire des modèles numériques de l'équation de Navier-Stokes-Reynolds pour l'ordinateur et ainsi l'honneur serait sauf):

equation
  (34.352)

Ce graphique correspond à l'écoulement autour d'un cylindre; la vitesse equation étant perpendiculaire à l'axe du cylindre. Les régimes sont signalés en chiffres romains: stationnaire (I), périodique laminaire (II), turbulent avec superposition d'état périodique (III), turbulent (IV).

La courbe à deux caractéristiques remarquables:

1. Elle a été obtenue en modifiant de manière indépendante les valeurs des quatre paramètres. Nous constatons que C ne dépend que du seul nombre sans dimension equation: c'est un succès de l'analyse dimensionnelle.

2. Il est vain d'espérer trouver une fonction analytique simple qui reproduise la courbe expérimentale. Il faut donc aller voir de plus près les divers régimes correspondants à cette courbe complexe.

La figure ci-dessous schématise l'écoulement d'un fluide visqueux autour d'un cylindre pour différentes valeurs du nombre de Reynolds:

equation
  (34.353)

Le régime correspondant à la figure (a) est dit "régime stationnaire". Nous pouvons parler d'un déplacement "quasi-statique" de la part du fluide où en chaque point l'accélération est négligeable. Nous devons donc nous attendre à ce que l'inertie du fluide n'intervienne pas dans l'expression de la force. Pour cela, il faut et il suffit que:

equation   (34.354)

C est indépendant de equation.

Nous avons donc:

equation   (34.355)

Le paramètre C' sans dimensions ne peut dépendre que de la géométrie de l'obstacle. Dans le cas où l'obstacle est sphérique (cas très important en physique avec L=R), C' a été déterminé expérimentalement comme valant equation tel que:

equation   (34.356)

connue sous le nom de "loi de Stokes" ou "formule de Stokes". Attention.... cette loi ne s'applique bien que pour les petites vitesses et des petites sphères.

Dans le régime décrit par (b), deux tourbillons s'installent symétriquement derrière le cylindre. Quand equation augmente au-delà de 40, nous distinguons l'allée de "tourbillons de von Kármán".


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