ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Soit un parallélépipède élémentaire extrait d'un fluide statique à l'équilibre de dimensions dx, dy, dz représenté à la figure ci-dessous. La matière à l'équilibre composant le parallélépipède est en général soumise à des forces de volume dans toutes les directions (théorème de Pascal) dont les composantes sur les trois axes orthogonaux sont représentées sur la figure ci-dessous (ces forces peuvent être de nature gravitationnelles, électromagnétiques ou inertielles...).

equation
  (34.149)

Remarques:

R1. Il est important de remarquer que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure ci-dessus sont exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte pour rappel...).

R2. Il est important d'être attentif au plus haut point sachant à ce qui va suivre car certaines des résultats que nous obtiendrons ici seront réutilisés dans le chapitre de Relativité Générale pour comprendre le tenseur d'énergie-impulsion!!

Nous pouvons, comme nous l'avons représenté ci-dessus, décomposer et translater l'ensemble des forces auxquelles est soumis le parallélépipède aux centres des faces de ce dernier. Nous représentons bien évidemment chacune des contraintes sur chacune des faces comme la somme des contraintes normales et tangentielles telles que nous l'avions fait pour l'étude des solides sous contrainte (selon les trois axes toujours, d'où la somme de trois composantes!).

Au total, nous nous retrouvons avec 18 composantes de contraintes normales et tangentielles:

equation   (34.150)

Nous cherchons à minimiser le nombre de composantes normales afin de déterminer quelles sont les contraintes suffisantes sur chacun des axes. Ainsi nous poserons:

equation   (34.151)

Donc trois composantes suffisent pour connaître les forces de contraintes normales aux surfaces selon chaque axe.

Si nous effectuons la somme des moments de forces par rapport aux centres de gravité pour chaque axe de symétrie du parallélépipède (XX',YY',ZZ') il est évident que sur les 12 composantes tangentielles, 6 suffisent pour décrire l'ensemble du système.

Ainsi pour le plan XOY passant par le centre de gravité nous avons:

equation   (34.152)

Pour le plan XOZ:

equation   (34.153)

Pour le plan ZOY:

equation   (34.154)

Donc pour chaque plan (XOY, ZOY, ZOX), une composante suffit pour décrire l'ensemble de moments de forces.

Ainsi, par souci de simplification d'écriture, nous poserons (il est plus conforme de faire les développements avec des indices en minuscules):

equationet  equation   (34.155)

Au total, cela nous fait donc 3 composant tangentielle plus 3 composantes normales qui sont suffisantes et nécessaires pour décrire les contraintes sur le parallélépipède selon chaque axe du plan de symétrie de ce dernier:

equation   (34.156)

Nous pouvons obtenir les mêmes composantes d'équilibre en considérant cette fois un tétraèdre régulier élémentaire (extrait du cube ci-dessus) statique. Le but étant de démontrer que nous retrouvons bien les 6 composantes déterminées précédemment.

equation
  (34.157)

Remarque: Il est important d'observer à nouveau que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure ci-dessus sont exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte pour rappel...).

Pour connaître l'aire des faces OAC, OBC, OAB , nous multiplions la surface ABC (notée ci-après: S) par le cosinus de l'angle que forment les vecteurs  equation et equation.

Effectivement, soit les surfaces:

equation et equation   (34.158)

Cependant, nous cherchons à exprimer les equation en fonction de S. Le schéma ci-dessous (coupe du tétraèdre) devrait aider à comprendre le raisonnement:

equation

equation
  (34.159)

et donc:

equation   (34.160)

Finalement:

equation   (34.161)

Le rapport:

equation   (34.162)

d'où:

equation   (34.163)

Le principe d'analyse étant le même pour toutes les autres surfaces telles que:

equation   (34.164)

Nous écrirons donc:  

equation   (34.165)

tel que:

equation   (34.166)

Remarque: Nous pouvons facilement connaître les valeurs des equation à l'aide de l'analyse vectorielle. Effectivement, le plan ABC étant d'équation:

equation   (34.167)

en simplifiant par equation:

equation   (34.168)

Le vecteur normal au plan étant bien:

equation   (34.169)

pour connaître les cosinus de l'angle du vecteur normal avec les equation, il suffit d'assimiler ces derniers au vecteurs de base equation tel que (trigonométrie élémentaire):

equation   (34.170)

et en  procédant de même pour tous les autres equation.

L'équilibre des forces nous donne:

equation   (34.171)

Après simplification:

equation   (34.172)

Suivant les autres axes:

equation   (34.173)

Soit en résumé:

equation   (34.174)

En utilisant la représentation matricielle, nous obtenons:

equation   (34.175)

Soit en notation indicielle les forces normales sont données par la relation :

equation   (34.176)

avec (equation, si equation)

Nous voyons apparaître une grandeur mathématique equation ayant 9 composantes, alors qu'un vecteur dans le même espace equation en possède 3. Nous connaissons ce genre d'être mathématique que nous avons déjà étudié en algèbre dans le chapitre de Calcul Tensoriel. La grandeur equation est appelée "tenseur des contraintes du second ordre". En outre, certaines composantes peuvent êtres égales (equation, si equation) , ce qui le rendrait symétrique. Il ne possède alors plus que les 6 composantes distinctes, relativement aux nombres de composantes suffisantes pour d'écrire totalement un système à l'équilibre.

Pour étudier les déformations d'un milieu continu tel qu'un fluide, nous considèrerons d'abord le cas de très faibles déformations. Les petits déplacements equation d'un point seront représentés par u, v, w parallèles aux axes d'un référentiel OXYZ. Nous admettons que ces composantes sont des quantités très faibles variant d'une façon continue dans le volume du corps considéré.

Soit un segment linéaire OP situé dans un solide avant déformation. Dans un référentiel OXYZ, nous noterons equation et equation  les coordonnées de O et P.

Pendant la déformation, la ligne OP devient O'P' tel que représenté ci-dessous:

equation
  (34.177)

Soient equation les déplacements du point O parallèlement aux axes OX, OY, OZ et

equation les déplacements du point P parallèlement aux mêmes axes.

Les coordonnées des points O' et P' sont alors :

equation et equation   (34.178)

Avant déformation, soit L  la longueur OP :

equation   (34.179)

Après déformation, nous avons une longueur L' valant :

equation   (34.180)

Si equation est l'allongement de l'élément OP pendant la déformation, nous avons:

equation   (34.181)

En effectuant les quelques transformations suivantes:

equation   (34.182)

En développant:

equation   (34.183)

Soit:

 equation   (34.184)

En négligeant les termes de déplacement d'ordre supérieur et en tenant compte de la relation:

equation   (34.185)

il vient que equation disparaît avec equation ainsi que les termes au carré, nous avons:

equation   (34.186)

Or, la géométrie analytique (trigonométrie élémentaire; rapport des côtés opposés et adjacents à l'hypoténuse) donne les relations suivantes :

equation   (34.187)

qui sont les cosinus directeurs de la droite L.

Nous pouvons alors écrire:

equation   (34.188)

La variation equation étant un déplacement faible, nous avons recours à un développement en série de Taylor (cf. chapitres Suites Et Séries) dont nous négligeons les termes d'ordre supérieur (linéarisation des équations) :

equation   (34.189)

Nous avons également:

equation   (34.190)

La différence donne:

equation   (34.191)

Donc nous pouvons maintenant écrire :

equation   (34.192)

Finalement:

equation   (34.193)

En groupant, nous avons :

equation   (34.194)

Cette expression permet en un point quelconque le calcul de la déformation equation dans une direction ayant comme cosinus directeur  l, m, n  en fonction des déplacements  u, v, w en ce point !

Soit le cas où la ligne L coïncide avec l'axe OX, nous avons equation, l'équation précédente devient alors:

equation   (34.195)

Nous avons, si L coïncide avec l'axe OY equation ou avec l'axe OZ equation:

equation   (34.196)

Les grandeurs equation sont appelées "déformations normales" et non pas d'unités.

Pour l'interprétation des termes equation, nous nous référerons à la figure suivante:

equation
  (34.197)

Soient deux segments de droite OR et OQ situés dans le plan XOY. Avant déformation OR et OQ coïncidaient avec le référentiel orthonormé YOX. Après déformation, ils peuvent prendre la position O'R' et O'Q'. Les composantes du déplacement de O sont u, v .

- La composante du déplacement de R' est calculée comme suit:

equation avec equation   (34.198)

car l'angle est faible .

En toute généralité comme equation, nous écrirons:

equation   (34.199)

- La composante du déplacement de Q' est elle:

equation   (34.200)

Comme avant déformation, l'angle QOR est de equation, après déformation, l'angle droit est réduit de equation. Cette réduction equation est appelée "déformation de cisaillement" ou "déformation tangentielle" et est notée par equation.

Nous procéderons de la même façon pour les autres termes, d'où :

equation   (34.201)

Compte tenu du quadruplet de groupes d'équations démontrés précédemment dans cette section (voir les déformations des solides):

equation

equation

equation

equation
  (34.202)

Nous pouvons résumer:

equation   (34.203)

Généralement, nous posons pour simplifier les notations (il faut cependant ne pas croire que la déformation en cisaillement devient une déformation normale ! ce n'est qu'une convention d'écriture dont le physicien doit se rappeler !):

equation   (34.204)

De même, nous posons:

equation   (34.205)

Soit finalement:

equation   (34.206)

En tenant compte que:

equation   (34.207)

Nous obtenons les tensions de cisaillement comme suit:

equation   (34.208)

Considérons maintenant, pour exemple, un fluide circulant dans la direction de OY avec un gradient de vitesse dans la direction de x :

equation
  (34.209)

En se plaçant au niveau de y et au point 1 d'abscisse x, nous avons une vitesse equation et au point 2 d'abscisse x+dx, une vitesse:

equation (avec equation)   (34.210)

Dans la direction de x, il n'y a pas de composante de vitesse donc:

equation (avec equation)   (34.211)

Nous supposons maintenant que les tensions de cisaillement sont proportionnelles à equation à un facteur près tel que:

equation   (34.212)

avec:

equation   (34.213)

Il donc possible de considérer des déplacements par unité de temps en posant:

equation   (34.214)

En rapprochant cette dernière relation de:

equation   (34.215)

nous pouvons dire alors que G initialement valable dans un milieu élastique solide considéré par ses déplacements est l'analogue de equation dans le cas d'un fluide visqueux considéré par les déplacements par unité de temps. Ainsi, nous voyons que les unités sont conservées.

En considérant également les déformations par unité de temps pour les contraintes normales (nous y reviendrons en détail un peu plus loin), nous avons alors le système d'équations:

equation   (34.216)

equation

Ainsi, nous obtenons une écriture condensée:

equation   (34.217)

equation est le symbole de Kronecker :

equation= equation   (34.218)

Le tenseur equation décrit ainsi en partie l'ensemble de contraintes d'un fluide visqueux dans lequel nous avons supposé dans le cadre de l'hypothèse d'un fluide newtonien qu'il y a des relations linéaires entre les tensions et les déformations normales.

Nous posons maintenant la somme des contraintes dynamiques sous une forme générale que nous allons justifier:

equation   (34.219)

où le terme equation se justifie par le fait que dans le cas statique, une pression dynamique constante p existe toujours en un point d'un fluide que l'on a pas dans le cas d'un solide. Pour justifier le signe négatif, nous observerons que dans l'expression de equation, les deux premiers termes du membre de droite correspondent, dans ''étude précédente ,à des contraintes d'extension, alors que la pression p correspond à une compression du fluide

Il nous reste  à présent, à déterminer le coefficient  equation.  Soit equation, nous avons alors equation. Il vient successivement et par addition:

equation   (34.220)

Cette expression doit répondre à un fluide qui est également dans une situation statique tel que:

equation   (34.221)

Il vient alors que dans le cas statique:

equation   (34.222)

Puisque:

equation   (34.223)

Nous avons alors:

equation   (34.224)

L'expression générale des contraintes s'écrit alors pour un fluide newtonien:

equation   (34.225)

Présentement, nous allons introduire les opérateurs de l'analyse vectorielle afin de disposer d'une expression plus générale. De cette façon, nous pourrons adapter la formulation à n'importe quel système de coordonnées (cartésiennes, cylindriques, sphériques,...) ce qui facilitera la résolution de problèmes pratiques.

Nous avons vu que pour un solide, nous avions:

equation   (34.226)

Nous allons déterminer les équations sous la forme indicielle en considérant toujours les déplacements par unité de temps (vitesses).

equation   (34.227)

tel que equation et que equation

Pour equation nous avons ainsi:

equation ou equation   (34.228)

Pour equation nous avons:

equation ou equation   (34.229)

Nous pouvons dès lors écrire:

equation

equation
  (34.230)

En effectuant la somme des termes de:

equation   (34.231)

Or, les outils de l'analyse vectorielle nous permettent d'écrire:

equation   (34.232)

Pour le fluide, nous aurons ainsi:

equation   (34.233)

L'équation dynamique des contraintes générale s'écrira alors sous la forme suivante pour un fluide newtonien:

equation   (34.234)

Tenseurs des contraintes que certains auteurs notent (l'écriture est un peu dangereuse mais elle a une justification dans un cadre d'étude plus approfondi des fluides!):

equation   (34.235)

ou encore pour différencier vecteur et tenseur:

equation   (34.236)

Si les contraintes normales (fluide incompressible) sont négligeables le deuxième terme se simplifie et nous avons alors (relation que nous retrouverons dans le chapitre de Génie Marin Et Météo):

equation   (34.237)

Il est, à présent, utile de repasser sous une forme développée pour l'équation précédente, en se rappelant que (voir plus haut):

equation

equation
  (34.238)

Écrivons maintenant le système d'équations de Newton (sommes des contraintes dynamiques internes et externes à un élément de volume d'un fluide) qui est:

equation   (34.239)

où:

- equation est la somme des forces externes par unité de volume

- equation est l'accélération massique

- equation est la densité du fluide

et qui peut s'écrire sous forme condensée:

equation   (34.240)

avec:

equation   (34.241)

Nous avons:

equation   (34.242)

En introduisant les expressions de equation obtenues dans la relation ci-dessus, nous aboutissons aux équations:

equation
  (34.243)

Ce sont les "équations de Navier-Stokes de la dynamique des fluides newtoniens". Il en existe deux formes condensées que nous allons de suite déterminer:

En reprenant la première équation de Navier-Stokes et en la développant, il vient :

equation
  (34.244)

Comme:

equation   (34.245)

et que:

equation   (34.246)

Nous obtenons:

equation   (34.247)

En simplifiant, il vient finalement:

equation   (34.248)

En opérant de la même manière pour les deux autres composantes, nous pouvons réduire le système d'équations de Navier-Stokes à une seule équation vectorielle :

equation   (34.249)

Comme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (34.250)

Nous avons:

equation   (34.251)

Soit en final:

equation   (34.252)


Remarque: Nous trouvons également parfois dans la littérature, une équation contenant une seconde viscosité equation, alors que equation se manifeste rigoureusement que lors du cisaillement pur selon nos hypothèses,  equation apparaît lors d'une compression omnidirectionnelle s'accompagnant d'une variation de densité.

L'équation précédente s'écrit alors :

equation   (34.253)

C'est "l'équation de Navier-Stokes" ou aussi appelée "équation de mouvement pour un fluide newtonien".


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