ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
1. Solides
1.1. Pressions
1.2. Elasticité des solides
1.2.1. Module de Young
1.2.2. Loi de Hooke
1.2.3. Module de cisaillement
1.2.5. Module de compressibilité
1.2.6. Module de flexion
1.3. Ondes transversales dans les solides
2.1. Théorème de Pascal
2.2. Viscosité
2.2.1. Loi de Poiseuille
2.3.1. Théorème de Torricelli
2.3.2. Effet Venturi
2.3.3. Tube de Pitot
2.3.4. Perte de charge
2.4. Equations de Navier-Stokes
(Equation d'Euler de 1ère forme - Equation d'Euler de 2ème forme)2.4.2. Fluide compressible
2.4.3. Fluide statique
2.4.4. Nombre de Reynolds
2.4.5. Approximation de Boussinesq
2.4.6. Loi de Stokes
2.6. Poussée d'Archimède
2.7. Vitesse du son dans un liquide
3.1. Théorème du Viriel
3.2. Pression cinétique
3.3. Température cinétique
3.4. Libre parcours moyen
4.1. Fréquence plasma
Soit un parallélépipède élémentaire extrait d'un fluide statique à l'équilibre de dimensions dx, dy, dz représenté à la figure ci-dessous. La matière à l'équilibre composant le parallélépipède est en général soumise à des forces de volume dans toutes les directions (théorème de Pascal) dont les composantes sur les trois axes orthogonaux sont représentées sur la figure ci-dessous (ces forces peuvent être de nature gravitationnelles, électromagnétiques ou inertielles...).
(34.149)
R1. Il est important de remarquer que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure ci-dessus sont exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte pour rappel...).
R2. Il est important d'être attentif au plus haut point sachant à ce qui va suivre car certaines des résultats que nous obtiendrons ici seront réutilisés dans le chapitre de Relativité Générale pour comprendre le tenseur d'énergie-impulsion!!
Nous pouvons, comme nous l'avons représenté ci-dessus, décomposer et translater l'ensemble des forces auxquelles est soumis le parallélépipède aux centres des faces de ce dernier. Nous représentons bien évidemment chacune des contraintes sur chacune des faces comme la somme des contraintes normales et tangentielles telles que nous l'avions fait pour l'étude des solides sous contrainte (selon les trois axes toujours, d'où la somme de trois composantes!).
Au total, nous nous retrouvons avec 18 composantes de contraintes normales et tangentielles:
(34.150)
Nous cherchons à minimiser le nombre de composantes normales afin de déterminer quelles sont les contraintes suffisantes sur chacun des axes. Ainsi nous poserons:
(34.151)
Donc trois composantes suffisent pour connaître les forces de contraintes normales aux surfaces selon chaque axe.
Si nous effectuons la somme des moments de forces par rapport aux centres de gravité pour chaque axe de symétrie du parallélépipède (XX',YY',ZZ') il est évident que sur les 12 composantes tangentielles, 6 suffisent pour décrire l'ensemble du système.
Ainsi pour le plan XOY passant par le centre de gravité nous avons:
(34.152)
Pour le plan XOZ:
(34.153)
Pour le plan ZOY:
(34.154)
Donc pour chaque plan (XOY, ZOY, ZOX), une composante suffit pour décrire l'ensemble de moments de forces.
Ainsi, par souci de simplification d'écriture, nous poserons (il est plus conforme de faire les développements avec des indices en minuscules):
et
(34.155)
Au total, cela nous fait donc 3 composant tangentielle plus 3 composantes normales qui sont suffisantes et nécessaires pour décrire les contraintes sur le parallélépipède selon chaque axe du plan de symétrie de ce dernier:
(34.156)
Nous pouvons obtenir les mêmes composantes d'équilibre en considérant cette fois un tétraèdre régulier élémentaire (extrait du cube ci-dessus) statique. Le but étant de démontrer que nous retrouvons bien les 6 composantes déterminées précédemment.
(34.157)
Pour connaître l'aire
des faces OAC, OBC, OAB ,
nous multiplions la surface ABC (notée
ci-après: S)
par le cosinus de l'angle que forment les vecteurs 
et
.
Effectivement, soit les surfaces:
et
(34.158)
Cependant, nous cherchons à exprimer
les 
en
fonction de S.
Le schéma ci-dessous (coupe du tétraèdre) devrait aider à comprendre
le raisonnement:
(34.159)
et donc:
(34.160)
Finalement:
(34.161)
Le rapport:
(34.162)
d'où:
(34.163)
Le principe d'analyse étant le même pour toutes les autres surfaces telles que:
(34.164)
Nous écrirons donc:
(34.165)
tel que:
(34.166)
à
l'aide de l'analyse vectorielle. Effectivement, le plan ABC
étant d'équation:
(34.167)
en simplifiant par 
:
(34.168)
Le vecteur normal au plan étant bien:
(34.169)
pour connaître les cosinus de l'angle
du vecteur normal avec les 
,
il suffit d'assimiler ces derniers au vecteurs de base 
tel
que (trigonométrie élémentaire):
(34.170)
et en procédant de même pour tous les autres 
.
L'équilibre des forces nous donne:
(34.171)
Après simplification:
(34.172)
Suivant les autres axes:
(34.173)
Soit en résumé:
(34.174)
En utilisant la représentation matricielle, nous obtenons:
(34.175)
Soit en notation indicielle les forces normales sont données par la relation :
(34.176)
avec (
,
si 
)
Nous voyons apparaître une grandeur mathématique 
ayant
9 composantes, alors qu'un vecteur dans le même espace 
en
possède 3. Nous connaissons ce genre d'être mathématique que
nous avons déjà étudié en algèbre dans le chapitre de Calcul
Tensoriel. La grandeur 
est
appelée "tenseur des contraintes
du second ordre". En outre, certaines composantes
peuvent êtres
égales (
,
si 
)
, ce qui le rendrait symétrique. Il ne possède alors plus que
les 6 composantes distinctes, relativement aux nombres de composantes
suffisantes pour d'écrire totalement un système à l'équilibre.
Pour étudier
les déformations d'un milieu continu tel qu'un fluide,
nous considèrerons d'abord le cas de très faibles déformations.
Les petits déplacements 
d'un
point seront représentés par u,
v, w parallèles
aux axes d'un référentiel OXYZ.
Nous admettons que ces composantes sont des quantités
très
faibles variant d'une façon continue dans le volume
du corps considéré.
Soit un segment linéaire OP situé
dans un solide avant déformation. Dans un référentiel OXYZ,
nous noterons 
et
les
coordonnées de O
et P.
Pendant la déformation, la ligne OP devient O'P' tel que représenté ci-dessous:
(34.177)
Soient 
les
déplacements du point O
parallèlement aux axes OX, OY, OZ et
les
déplacements du point P
parallèlement aux mêmes axes.
Les coordonnées des points O' et P' sont alors :
et
(34.178)
Avant déformation, soit L la longueur OP :
(34.179)
Après déformation, nous avons une longueur L' valant :
(34.180)
Si 
est
l'allongement de l'élément OP
pendant la déformation, nous avons:
(34.181)
En effectuant les quelques transformations suivantes:
(34.182)
En développant:
(34.183)
Soit:
(34.184)
En négligeant les termes de déplacement d'ordre supérieur et en tenant compte de la relation:
(34.185)
il vient que 
disparaît
avec 
ainsi
que les termes au carré, nous avons:
(34.186)
Or, la géométrie analytique (trigonométrie élémentaire; rapport des côtés opposés et adjacents à l'hypoténuse) donne les relations suivantes :
(34.187)
qui sont les cosinus directeurs de la droite L.
Nous pouvons alors écrire:
(34.188)
La variation 
étant
un déplacement faible, nous avons recours à un développement
en série de Taylor (cf. chapitres Suites
Et Séries)
dont nous négligeons les termes d'ordre
supérieur (linéarisation des équations) :
(34.189)
Nous avons également:
(34.190)
La différence donne:
(34.191)
Donc nous pouvons maintenant écrire :
(34.192)
Finalement:
(34.193)
En groupant, nous avons :
(34.194)
Cette expression permet
en un point quelconque le calcul de la déformation 
dans
une direction ayant comme cosinus directeur
l, m, n en
fonction des déplacements
u, v, w en
ce point !
Soit le cas où la ligne
L coïncide avec l'axe OX,
nous avons 
,
l'équation précédente devient alors:
(34.195)
Nous avons, si L coïncide
avec l'axe OY 
ou
avec l'axe OZ 
:
(34.196)
Les
grandeurs 
sont
appelées "déformations normales" et
non pas d'unités.
Pour l'interprétation des termes
,
nous nous référerons à la figure suivante:
(34.197)
Soient deux segments de droite OR et OQ situés dans le plan XOY. Avant déformation OR et OQ coïncidaient avec le référentiel orthonormé YOX. Après déformation, ils peuvent prendre la position O'R' et O'Q'. Les composantes du déplacement de O sont u, v .
- La composante du déplacement de R' est calculée comme suit:
avec
(34.198)
car l'angle est faible .
En toute généralité comme 
,
nous écrirons:
(34.199)
- La composante du déplacement de Q' est elle:
(34.200)
Comme avant déformation,
l'angle
QOR est
de 
,
après déformation, l'angle droit est réduit de 
.
Cette réduction 
est
appelée "déformation
de cisaillement" ou "déformation
tangentielle"
et est notée par 
.
Nous procéderons de la même façon pour les autres termes, d'où :
(34.201)
Compte tenu du quadruplet de groupes d'équations démontrés précédemment dans cette section (voir les déformations des solides):
(34.202)
Nous pouvons résumer:
(34.203)
Généralement, nous posons pour simplifier les notations (il faut cependant ne pas croire que la déformation en cisaillement devient une déformation normale ! ce n'est qu'une convention d'écriture dont le physicien doit se rappeler !):
(34.204)
De même, nous posons:
(34.205)
Soit finalement:
(34.206)
En tenant compte que:
(34.207)
Nous obtenons les tensions de cisaillement comme suit:
(34.208)
Considérons maintenant, pour exemple, un fluide circulant dans la direction de OY avec un gradient de vitesse dans la direction de x :
(34.209)
En
se plaçant
au niveau de y et
au point 1 d'abscisse x,
nous avons une vitesse 
et
au point 2 d'abscisse x+dx,
une vitesse:
(avec
)
(34.210)
Dans la direction de x, il n'y a pas de composante de vitesse donc:
(avec
)
(34.211)
Nous supposons
maintenant que les tensions de cisaillement sont proportionnelles
à 
à
un facteur près tel que:
(34.212)
avec:
(34.213)
Il donc possible de considérer des déplacements par unité de temps en posant:
(34.214)
En rapprochant cette dernière relation de:
(34.215)
nous
pouvons dire alors que G initialement
valable dans un milieu élastique solide considéré
par ses déplacements est l'analogue de 
dans
le cas d'un fluide visqueux considéré par les déplacements
par unité de temps. Ainsi, nous voyons que les unités sont conservées.
En considérant également les déformations par unité de temps pour les contraintes normales (nous y reviendrons en détail un peu plus loin), nous avons alors le système d'équations:
(34.216)
Ainsi, nous obtenons une écriture condensée:
(34.217)
où 
est
le symbole de Kronecker :
=
(34.218)
Le tenseur 
décrit
ainsi en partie l'ensemble de contraintes d'un fluide visqueux
dans
lequel nous avons supposé dans le cadre de l'hypothèse d'un fluide
newtonien qu'il y a des relations linéaires entre les tensions
et les déformations normales.
Nous posons maintenant la somme des contraintes dynamiques sous une forme générale que nous allons justifier:
(34.219)
où le terme
se justifie par le fait que dans le cas statique, une pression
dynamique constante p existe
toujours en un point d'un fluide que l'on a pas dans le cas
d'un solide. Pour justifier le signe négatif, nous observerons
que dans l'expression de ,
les deux premiers termes du membre de droite correspondent, dans
''étude précédente ,à des contraintes d'extension,
alors que la pression p correspond
à une compression du fluide
Il nous reste
à présent, à déterminer le coefficient
.
Soit 
,
nous avons alors 
.
Il vient successivement et par addition:
(34.220)
Cette expression doit répondre à un fluide qui est également dans une situation statique tel que:
(34.221)
Il vient alors que dans le cas statique:
(34.222)
Puisque:
(34.223)
Nous avons alors:
(34.224)
L'expression générale des contraintes s'écrit alors pour un fluide newtonien:
(34.225)
Présentement, nous allons introduire les opérateurs de l'analyse vectorielle afin de disposer d'une expression plus générale. De cette façon, nous pourrons adapter la formulation à n'importe quel système de coordonnées (cartésiennes, cylindriques, sphériques,...) ce qui facilitera la résolution de problèmes pratiques.
Nous avons vu que pour un solide, nous avions:
(34.226)
Nous allons déterminer les équations sous la forme indicielle en considérant toujours les déplacements par unité de temps (vitesses).
(34.227)
tel que 
et
que 
Pour 
nous
avons ainsi:
ou
(34.228)
Pour 
nous
avons:
ou
(34.229)
Nous pouvons dès lors écrire:
(34.230)
En effectuant la somme des termes de:
(34.231)
Or, les outils de l'analyse vectorielle nous permettent d'écrire:
(34.232)
Pour le fluide, nous aurons ainsi:
(34.233)
L'équation dynamique des contraintes générale s'écrira alors sous la forme suivante pour un fluide newtonien:
(34.234)
Tenseurs des contraintes que certains auteurs notent (l'écriture est un peu dangereuse mais elle a une justification dans un cadre d'étude plus approfondi des fluides!):
(34.235)
ou encore pour différencier vecteur et tenseur:
(34.236)
Si les contraintes normales (fluide incompressible) sont négligeables le deuxième terme se simplifie et nous avons alors (relation que nous retrouverons dans le chapitre de Génie Marin Et Météo):
(34.237)
Il est, à présent, utile de repasser sous une forme développée pour l'équation précédente, en se rappelant que (voir plus haut):
(34.238)
Écrivons maintenant le système d'équations de Newton (sommes des contraintes dynamiques internes et externes à un élément de volume d'un fluide) qui est:
(34.239)
où:
- 
est
la somme des forces externes par unité de volume
- 
est
l'accélération massique
- 
est
la densité du fluide
et qui peut s'écrire sous forme condensée:
(34.240)
avec:
(34.241)
Nous avons:
(34.242)
En introduisant
les expressions de 
obtenues
dans la relation ci-dessus, nous aboutissons aux équations:
(34.243)
Ce sont les "équations de Navier-Stokes de la dynamique des fluides newtoniens". Il en existe deux formes condensées que nous allons de suite déterminer:
En reprenant la première équation de Navier-Stokes et en la développant, il vient :
(34.244)
Comme:
(34.245)
et que:
(34.246)
Nous obtenons:
(34.247)
En simplifiant, il vient finalement:
(34.248)
En opérant de la même manière pour les deux autres composantes, nous pouvons réduire le système d'équations de Navier-Stokes à une seule équation vectorielle :
(34.249)
Comme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):
(34.250)
Nous avons:
(34.251)
Soit en final:
(34.252)
,
alors que 
se
manifeste rigoureusement que lors du cisaillement pur selon nos
hypothèses, 
apparaît
lors d'une compression omnidirectionnelle s'accompagnant d'une variation
de densité.L'équation précédente s'écrit alors :
(34.253)
C'est "l'équation de Navier-Stokes" ou aussi appelée "équation de mouvement pour un fluide newtonien".
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