COURS DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS



MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Solides

1.1. Pressions

1.2. Elasticité des solides

1.2.1. Module de Young

1.2.2. Loi de Hooke

1.2.3. Module de cisaillement

1.2.4. Module de glissement

1.2.5. Module de compressibilité

1.2.6. Module de flexion

1.3. Ondes transversales dans les solides

2. Liquides

2.1. Théorème de Pascal

2.2. Viscosité

2.2.1. Loi de Poiseuille

2.3. Théorème de Bernoulli

2.3.1. Théorème de Torricelli

2.3.2. Effet Venturi

2.3.3. Tube de Pitot

2.3.4. Perte de charge

2.4. Equations de Navier-Stokes

2.4.1. Fluide incompressible

(Equation d'Euler de 1ère forme

- Equation d'Euler de 2ème forme)

2.4.2. Fluide compressible

2.4.3. Fluide statique

2.4.4. Nombre de Reynolds

2.4.5. Approximation de Boussinesq

2.4.6. Loi de Stokes

2.5. Pression hydrostatique

2.6. Poussée d'Archimède

2.7. Vitesse du son dans un liquide

3. Gaz

3.1. Théorème du Viriel

3.2. Pression cinétique

3.3. Température cinétique

3.4. Libre parcours moyen

4. Plasmas

4.1. Fréquence plasma

Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C.) est la branche de la mécanique qui se propose d'étudier l'étude des mouvements, des déformations, des champs de contraintes au sein de milieux continus. 

Définition:

D1. Nous désignons par "milieu", tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire.

D2. Nous désignons par "milieu continu", un milieu tel que si M et M' appartiennent à un milieu et si M' appartient au voisinage M, alors quelle que soit la déformation subie par ce milieu, dM' appartiendra au voisinage de dM.

Cette branche apparaît souvent comme la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent: mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées, satellites, navigation des bateaux, déformations des corps solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches à la mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à la thermique, l'énergétique, l'acoustique.

Prenant en compte les comportements des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la dynamique des gaz, l'élasticité, l'acoustique, la plasticité et d'autres comportements. Elle est la clé de ce que nous appelons aujourd'hui la "modélisation", qui n'est autre que l'art d'analyser un phénomène physique et de le décrire en termes mathématiques, ce qui permet de l'étudier avec la rigueur propre à cette discipline.

Cette section du site est séparée en 4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas (dont certaines notions ont délibérément été développées dans le chapitre de Musique Mathématique du site). Dans chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques spécifiques à l'étude de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute relative) croissante. Cependant, par choix il a été décidé d'exposer les théorèmes avec les outils mathématiques les plus simples possibles mais tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple, la démonstration de l'équation de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements mathématiques rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non négligeable aussi bien pour l'auteur que pour le lecteur à procéder ainsi.

Remarque: Concernant les équations de Navier-Stokes, nous donnerons aussi des exemples pratiques de celles-ci lors de notre étude de la météorologie.


SOLIDES

Des atomes d'un même élément ou d'éléments différents s'assemblent en des édifices spécifiques. Cela conditionne la force de leurs interactions électriques, qui définissent la structure finale de la substance. Dans les conditions normales sur notre planète, la matière existe à l'état solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont assez intenses, la collection de particules conserve sa forme et son volume.

Cette propriété de conserver la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques distinguent les solides.

PRESSIONS

Les notions de "compression" et "contrainte" (que nous pouvons englober abusivement dans le terme de "pression") sont de première importance en mécanique des fluide (solides inclus donc!). Il convient donc de définir ces différents types de pression avec un minimum de rigueur!

Définitions:

D1. Nous appelons "pression de compression", noté traditionnellement P, le rapport entre la force F qui s'exerce (s'appuie) sur un élément de surface S à la perpendiculaire. Ainsi, sous forme scalaire:

equation   (34.1)

Remarque: Si une force agit sur une surface finie, nous parlons alors aussi de "force répartie".

D2. Nous appelons "pression de contrainte" le rapport entre la force F qui tire sur un élément de surface S non nécessairement à la perpendiculaire et dès lors décomposée en deux vecteurs respectivement tangent et normal. Ainsi, sous forme vectorielle:

equation

equation
  (34.2)

equation et equation sont respectivement la "contrainte normale" et la "contrainte tangentielle" (parfois indiquée avec un s en indice pour indiquer que c'est par rapport à une surface).

Nous pourrions très bien englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler avec les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce qui est enseigné dans les écoles, nous garderons ces deux définitions qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces sont opposées par rapport à un élément de surface S.

ÉLASTICITÉ DES SOLIDES

D'une manière ou d'une autre, une contrainte de compression ou de traction peut déformer le triplet hauteur, largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude d'un cas qui déforme ces trois paramètres est un peu long et sera abordée plus bas dans la partie traitant de la détermination de l'expression du module de Young de cisaillement.

Mais il est utile, ne serait-ce que du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir du cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps élastique d'une dimension (ayant ni hauteur, ni largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces de contraintes parfaitement colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imager que le corps en considération s'allonge d'un certain facteur.

Définition: La "déformation normale" sous des forces axiales et antagonistes est donnée par le rapport entre la variation de longueur du corps sur sa longueur initiale (soit: l'allongement relatif) tel que:

equation   (34.3)

Cette relation est une forme extrêmement simplifiée de tous les types de déformations qu'il peut exister et que nous verrons plus loin en détails.

Il y a nécessairement une relation entre les forces de compression et de traction et la variation de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante de la structure atomique du matériau et devrait rigoureusement faire appel à la physique quantique pour être déterminée (nous nous en abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons cependant suivant les matériaux des caractéristiques diverses qui intéressent au plus haut point les ingénieurs:

equation
  (34.4)

Les figures ci-dessus représentent la variation de la contrainte de compression en fonction de la déformation pour certains matériaux (habituellement nous représentons ces caractéristiques en inversant les axes).

- Les matériaux ductiles comme l'acier doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité notée equation ci-dessus.

- Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord en dépliant leurs molécules (cf. chapitre de Génie Des Matériaux) puis en tirant sur les liaisons chimiques (cf. chapitre de Chimie Quantique).

- La plupart des matériaux biologiques (c) sont sous contrainte, même lorsqu'ils ne sont pas déformés. La peau, par exemple, est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps.

- L'élastine (d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes biologiques tels que les artères. Un tendon est fait principalement de collagène.

Dans un cas plus général, les ingénieurs ont pour habitude de définir les points représentés ci-dessous dans leurs mesures d'essais de traction:

equation
  (34.5)

La caractéristique ci-dessus comporte une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine classe de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique est une constante, qui reflète la déformation élastique du matériau sous l'effet de la contrainte croissante. Cette contrainte élastique par unité de déformation définit le "module de Young" (il n'y a pas de composante tangentielle dans ce cas d'étude!):

equation   (34.6)

cette relation étant valable aussi bien en contraintes de compression qu'en traction. Nous reviendrons sur cette relation dans les paragraphes suivants.

Remarques:

R1. La "rhéologie" est une partie de la mécanique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables. C'est une branche très importante de l'ingénierie industrielle.

R2. Attention les calculs qui vont suivre sont relativement longs et difficiles et ce même si nous avons essayé de les simplifier aux maximum. Cependant tous les résultats nous seront infiniment utiles que ce soit pour déterminer l'équation de Navier-Stokes pour l'étude da la résistance des matériaux (cf. chapitre de Génie Mécanique)!

LOI DE HOOKE

Étant donné les définitions données précédemment, nous obtenons la relation:

equation   (34.7)

qui est par définition la "loi linéaire de Hooke" en contrainte normale uniquement!

equation
  (34.8)

Il est assez intuitif de supposer que plus la force de liaison des atomes constituant le matériau étudié est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner les atomes, donc pour étirer le corps. Les solides qui ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température de fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la Chimie Quantique).

Si nous notons :

equation   (34.9)

Nous nous retrouvons avec la loi que nous connaissons:

equation   (34.10)

qui est la force de rappel des ressorts (cf. chapitre de Mécanique Classique et Génie Mécanique).

Mais il existe plusieurs types de contraintes avec leurs modules respectifs. Ainsi voici les définitions des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique avec le schéma explicatif associé:

equation
  (34.11)

D1. Nous définissons le "module de cisaillement" ou "module de rigidité" par le rapport de la composante normale de la force (pression de compression) à la déformation de cisaillement :

equation   (34.12)

où le numérateur est appelé "contrainte de cisaillement" et où equation est "l'angle de déformation". Généralement cet angle étant petit nous avons:

equation

S est la surface de la face supérieure ou inférieure du corps déformé représenté ci-dessous:

D2. Nous définissons le "module d'élasticité de glissement", appelé également "module de glissement" ou encore"module de Coulomb" par le rapport de la composante tangentielle de la force (pression de contrainte) à la déformation de cisaillement :

equation   (34.13)

equation est le "coefficient de Poisson" dont nous démontrerons l'origine un peu plus bas dans le présente texte.

Remarquez que bien que le numérateur de la définition précédente soit une force divisée par une surface, il ne s'agit pas d'une pression car la force est tangentielle ('où le T en indice de F) à la surface.

C'est parce que toute force peut être décomposée en une forme normale et tangentielle (voir la définition plus haut de la pression de compression et de la pression de contrainte) que nous avons les deux définitions distinctes ci-dessus. Dans la grande majorité des cas de laboratoires, nous nous arrangeons pour avoir une force purement tangentielle (d'où le T en indice de F) ou purement normale (d'où le N en indice de F) à la surface S.

Dans la pratique il est souvent fait usage que de la deuxième définition et ce à un point tel que cette dernière est souvent assimilée au "module de rigidité" aussi...

exemple Exemple:

Une chose intéressante (pour la parenthèse...) si nous considérons que les plaques tectoniques sont en cisaillement entre-elles nous avons alors d'après le module de glissement:

equation   (34.14)

Or pour une plaque tectonique en frottement de longueur equation sur une hauteur H:

equation   (34.15)

et puisque que l'énergie est une force multipliée par une distance, il vient:

equation   (34.16)

qui est typiquement l'énergie dégagée par le cisaillement de la friction de deux plaques tectoniques dont les surfaces de contact ont une hauteur moyenne H, une longueur initiale equation et qui subissent une déformation de equation.

Typiquement pour un tremblement de terre du typa Sumatra (2004), nous avions:

equation   (34.17)

Dès lors il vient:

equation   (34.18)

en d'autres termes... mille fois l'énergie de la bombe nucléaire d'Hiroshima.

Soit en notant M la magnitude sur l'échelle de Richter:

equation   (34.19)

alors que les estimations donnent un intervalle de 6.2 à 8.5... donc nous ne sommes pas trop mauvais dans l'approche théorique.

Voilà pour un exemple non appliqué à l'industrie...

D3. Nous définissons le "module de compressibilité omnidirectionnel", comme le rapport de la contrainte volumique à la déformation volumique (nous démontrerons plus loin les développements mathématiques qui amènent au dernier terme de la relation):

equation   (34.20)

Nous pourrions encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion, de flexion pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons certains d'entre eux plus loin.

Pour chacune des différentes définitions de modules que nous pouvons envisager, nous pouvons définir une loi de Hooke qui lui est adapté. Cependant, tout cela peut paraître assez arbitraire mais au fait il n'en est rien car toutes les définitions de modules que nous avons vues précédemment sont un cas particulier d'une relation mathématique généralisée qui sera démontrée sur ce site dans un proche avenir.


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