TRIBOLOGIE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Définition: La "tribologie" est la science des frottements (notion très intuitive à tout un chacun car nous pouvons ressentir ses effets dans la vie quotidienne) qui interviennent lorsque deux surfaces en contact sont mises en mouvement l'une par rapport à l'autre, produisant une force qui s'oppose au mouvement.

La plupart de ces phénomènes relatifs aux frottements peuvent se comprendre en première approximation sur la base des lois phénoménologiques du frottement énoncées dès le 18ème siècle par Amontons et Coulomb (mais déjà mises en évidence par Léonard de Vinci 200 ans auparavant), à partir de la notion de coefficient de frottement.

Ceux-ci observèrent déjà deux types de frottements à priori distincts:

1. Le "frottement statique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est à la limite du glissement pas alors qu'on lui impose une force de traction equation (tangentielle au plan). Cette opposition à la force de traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle au poids equation de l'objet.

Mais intervient une valeur limite de la force tangentielle de traction à partir de laquelle l'objet commence à glisser. C'est ce que nous notons:

equation   (30.156)

equation est donc la force limite de traction permettant de faire bouger l'objet initialement statique, equation est le "coefficient de frottement statique" sans dimensions et exprime la proportionnalité de la force limite de frottement avec le poids equation de l'objet.

Remarque: Dans la pratique, il est infiniment facile de déterminer ce coefficient avec un simple dynamomètre pour connaître la force limite et une balance pour connaître le poids de l'objet étudié.

Nous observons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la force limite de traction est en première approximation indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol (dans les limites des cas physiques courants évidemment car plus la surface est petite, plus la pression est grande et alors la surface de contact peut devenir plastique aux hautes pressions).

Autrement dit, si un kilo de sucre est posé sur une table. Pour déplacer cet objet, de poids equation (la masse multipliée par la constante de gravité), il faut exercer une force equation parallèlement à la surface de la table. Mais l'expérience montre que cet objet ne déplacera pas tant que la force equation est inférieure à une force minimale equation. Et Amontons et Coulomb ont montré que cette force minimale est directement proportionnelle via un coefficient de frottement statique au poids.

Nous pouvons détailler l'approche de la relation précédente en s'imaginant deux surfaces présentant des rugosités en dents de scie d'un angle equation et imbriquées:

equation
  (30.157)

Si nous appliquons une force normale correspondant au poids equation et une force horizontale equation nous avons à cause des dents de scie dans le cas limite la situation suivante:

equation
  (30.158)

nous voyons alors bien que la pièce mobile commencera à bouger que quand il y aura début de glissement soit lorsque:

equation   (30.159)

Pour simpliste qu'elle soit, cette approche permet de lier le frottement (statique) aux caractéristiques de la rugosité. De plus les valeurs expérimentales typiques des coefficients de frottement statique, de l'ordre de 0.3, correspondent à des pentes de la rugosité de surface de l'ordre de 15-20 degrés, ce qui est tout à fait compatible avec les caractéristiques typiques que l'on peut mesurer pour les rugosités de surfaces!

Cet argument repose cependant sur une hypothèse implicite : l'emboitement parfait entre les rugosités des deux surfaces. Nous parlons dans ce cas de "surfaces commensurables". Ce n'est bien sûr pas le cas en général dans la nature : même à l'échelle atomique, deux surfaces idéales, présentent des légères différences de distance interatomique qui empêchent l'emboîtement. Une légère disparité suffit à rendre très irrégulière la répartition des points de contact entre les deux surfaces contrairement au cas commensurable. Nous parlons alors de "surfaces incommensurables".

Autrement dit, nous aboutissons très vite à la conclusion que le frottement entre deux surfaces commensurables en tout point est non-nul, tandis qu'il s'annule exactement si ces deux surfaces sont en tout point incommensurables. 

2. Le "frottement dynamique" est celui qui oppose une résistance lorsqu'un objet posé sur un plan est déjà en glissement. Cette opposition à la traction est par ailleurs expérimentalement proportionnelle encore une fois au poids de l'objet tel que:

equation   (30.160)

mais avec le "coefficient de frottement dynamique" (qui existe en plusieurs sous-familles: coefficient de roulement, de glissement, ....) qui est en général beaucoup plus petit que le coefficient de frottement statique:

equation   (30.161)

Donc le frottement n'est pas le même au départ de notre objet que lors de son glissement. Cela correspond très bien à notre expérience quotidienne du frottement (lors de déplacements de meubles dans nos habitations par exemples).

A nouveau, nous remarquons expérimentalement que contrairement à l'intuition, la  force de traction est indépendante de la surface de contact entre l'objet et le sol.

Ainsi, que l'on pose le kilo de sucre bien à plat ou sur la tranche, la force de frottement est la même (si la qualité de surface est la même de tous les côtés du paquet de sucre)!

Un autre fait étonnant concerne la valeur typique de ces coefficients de frottement, qui s'écarte assez peu de equation, pour des surfaces très différentes les unes des autres. La technologie permet toutefois de concevoir des surfaces avec des coefficients de frottement soit bien plus petits (equation) soit plus grand (equation).

Ces deux lois, sont appelées "lois de Coulomb":

equation   (30.162)

L'origine simpliste du frottement entre deux solides est donc dû au fait que:

- Tout solide n'est jamais lisse mais possède des aspérités qui rendent la surface de contact rugueuse (les aspérités s'imbriquent partiellement ou non et provoquent plus ou moins de frottement).

- Les impuretés entre les deux surfaces de contact sont souvent plus importantes au niveau des sources de frottement que les imbrications des aspérités de surface.

- Le frottement est faiblement dépendant de la surface car la rugosité à l'échelle atomique est telle que seulement un très faible pourcentage de la surface totale des deux objets sont réellement en contacts (surface de contact réelle est donc beaucoup plus petite que la surface de contacta apparente) ce qui explique que la force de traction tangentielle soit proportionnelle au poids car cela force la surface de contact réelle à augmenter.

La complexité sous-jacente du frottement est donc extrême. L'origine du frottement fait dans la réalité intervenir une multitude d'ingrédients, couvrant un spectre très large de phénomènes physiques : rugosité des surfaces, élasticité, plasticité, adhésion, lubrification, thermique, usure, chimie des surfaces, humidité, etc.

Nous allons ici faire une analyse scolaire des quelques frottements courants dans les cas d'études simples de la physique cinétique (du mouvement). Il faut bien prendre garde que ces modèles sont simplifiés à l'extrême afin de montrer seulement la démarche intellectuelle.

FROTTEMENT VISQUEUX HORIZONTAL

Nous avons donc vu qu'en première approximation, la force de frottement dans le cas de glissement est proportionnelle au poids d'un corps par un coefficient de frottement dont la valeur dépend de la nature et de l'état des surfaces de contact mais indépendant de l'aire de contact. Cependant nous n'avons pas dit que l'expérience montre que dans des cas réels typiques la force de frottement est aussi indépendante de la vitesse communiquée au corps.

En lubrifiant par un fluide visqueux les surfaces en contact, la force de frottement est réduite et dépend de la vitesse (c'est typiquement le cas des pneus de voiture qui sont visqueux).

Remarque: Pour rappel, le terme "visqueux" ne signifie par forcément que ça coule et que ça bave. Cela signifie que la loi de comportement dépend de la vitesse de déformation (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus).

Considérons alors un mobile en contact avec un sol plan via un fluide ou matériau visqueux. Nous savons qu'il y aura frottement et supposons que celui-ci soit proportionnel à la vitesse:

equation   (30.163)

k est le "coefficient de frottement visqueux".

Nous avons alors en appliquant la première loi de Newton:

equation   (30.164)

Dès lors il vient:

equation   (30.165)

En intégrant il vient:

equation   (30.166)

Soit:

equation   (30.167)

En prenant l'exponentielle:

equation   (30.168)

Ainsi, la vitesse décroit exponentiellement de vitesse initiale jusqu'à une valeur nulle asymptotique sous l'hypothèse de proportionnalité du frottement avec la vitesse.

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent s'arrêter de manière naturelle. Il faut simplement bien choisir la valeur de k.

Nous observons une chose intéressante c'est qu'un corps mobile lourd décélère moins vite à cause des forces de frottement qu'un corps mobile léger!

Montrons comment nous calculons la puissance perdue par frottement. Nous savons que:

equation   (30.169)

si la variation de la force est négligeable par rapport à la variation de vitesse nous avons alors:

equation   (30.170)

et donc dans le cas du frottement (en valeur absolue):

equation   (30.171)

Ainsi, la puissance dissipée lors d'un mouvement est proportionnelle à la vitesse en cas de frottement coulombien et proportionnelle au carré de la vitesse en cas de frottement visqueux.

FROTTEMENT VISQUEUX VERTICAL

Soit un solide indéformable chutant à la verticale dans un champ de gravité. Nous assumons que la forme de la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse (comportement visqueux aux faibles vitesses):

equation   (30.172)

et utilisant le principe fondamental de la dynamique:

equation   (30.173)

Soit autrement écrit (plus traditionnel):

equation   (30.174)

La solution de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre est (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (30.175)

que nous pouvons détailler si besoin (sur demande).

En posant qu'à l'instant nul nous avions une vitesse initiale donnée il vient:

equation   (30.176)

Ainsi:

equation   (30.177)

Ainsi, nous voyons que lorsque le temps tend vers l'infini (suffisamment grand quoi...) alors la vitesse tend vers:

equation   (30.178)

donc k peut être déterminé expérimentalement!

C'est une relation très souvent utilisée dans les animations faites par ordinateur représentant des objets qui semblent freiner jusqu'à une vitesse constante de manière naturelle.

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES VERTICAL

C'est typiquement le cas du parachutiste effectuant une chute libre. Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que la force visqueuse de Stokes était donnée par (comportement visqueux aux vitesses moyennes et élevées):

equation   (30.179)

lorsque la vitesse est subsonique (modeste en d'autres termes...).

L'équation différentielle est la même qu'avant dans le cas de la présence du champ de gravitation à la différence que la vitesse est cette fois-ci au carré:

equation   (30.180)

Soit:

equation   (30.181)

mais nous n'allons pas chercher à la résoudre, seulement à déterminer la valeur limite de la vitesse et justement vitesse limite est atteinte lorsque celle-ci.... ne varie plus (ben oui forcément...). Donc à ce moment:

equation   (30.182)

et l'équation différentielle devient:

equation   (30.183)

Ainsi, il est possible de changer sa vitesse de chute limite en fonction de son facteur de forme, et de sa surface d'exposition apparente et de sa masse (dans le cas d'étude ci-dessus nous négligeons la force d'Archimède qui s'applique sur la parachutiste et qui freine aussi sa chute).

exempleExemple:

Considérons une sphère de rayon R, de masse volumique equation lâchée sans vitesse dans un liquide de masse volumique equation, de viscosité equation. La sphère est soumise à son propre poids, à une force de frottement visqueux et à la poussée d'Archimède.

Nous avons donc globalement selon la première loi de Newton:

equation   (30.184)

où les deux derniers termes (force visqueuse de Stokes aux faibles vitesses et force d'Archimède) ont été démontrés dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus.

En réarrangeant, nous avons:

equation   (30.185)

et encore:

equation   (30.186)

Il nous reste donc:

equation   (30.187)

Nous posons:

equation   (30.188)

qui sera assimilée à une constante de temps. Nous avons alors:

equation   (30.189)

Or lorsque la vitesse de chute deviendra constante, nous aurons:

equation   (30.190)

ce qui donne:

equation   (30.191)

Résolvons ceci dit l'équation différentielle en commençant par celle sans second membre (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (30.192)

Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la solution homogène était alors donnée par:

equation   (30.193)

Nous pouvons ajouter la solution particulière qui est logiquement lorsque t tend vers l'infini:

equation   (30.194)

Nous avons alors:

equation   (30.195)

Il nous reste à déterminer C qui s'obtient lors t tend vers 0 car nous avons alors:

equation   (30.196)

Donc:

equation   (30.197)

Nous avons alors:

equation   (30.198)

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES HORIZONTAL

C'est une première approximation où l'on s'intéresse par exemple à la distance d'arrêt sans freinage d'un mobile sans prendre en compte le coefficient de frottement avec le sol mais seulement avec l'air ambiant (vitesse subsonique toujours...).

Nous avons alors selon la première loi de Newton:

equation   (30.199)

Supposons que nous souhaitions savoir en quel temps T le mobile qui avait une vitesse initiale equation aura décéléré à une vitesse donnée equation.

Nous avons alors:

equation   (30.200)

Donc:

equation   (30.201)

où nous observons déjà un premier problème avec ce modèle c'est que à l'arrêt, la vitesse finale étant nulle, il faudra un temps infini pour y arriver... mais continuons, nous reviendrons plus loin sur ce constat.

La loi d'évolution de la vitesse de détermine de façon analogue puisque:

equation   (30.202)

Alors:

equation   (30.203)

Notons la constante de temps:

equation   (30.204)

Alors:

equation   (30.205)

soit:

equation   (30.206)

La distance parcourue à l'instant t en laissant le mobile ralentir que par les forces de frottement donc:

equation   (30.207)

Le résultat est joli mais on se rend bien compte que c'est pas vraiment juste car à un temps infini, la voiture aura parcourue une distance infinie ce qui est manifestement irréaliste. Cela provient du modèle qui est trop simpliste donc améliorons-le.

L'idéal, objectivement parlant, serait de prendre en compte le frottement visqueux pneu/sol plus le frottement de l'air. Nous aurions alors:

equation   (30.208)

mais le problème avec cette équation différentielle, c'est qu'elle va nous amener à une singularité si nous continuons les calculs. Elle n'est donc pas exploitable...

Nous essayons alors avec la forme suivante:

equation   (30.209)

qui exprime donc qu'il y a une force de frottement proportionnelle au poids du véhicule ce qui est simplement la forme suivante de la deuxième loi de Coulomb:

equation   (30.210)

et le deuxième terme étant le frottement visqueux de Stokes dont nous avons sorti le terme de masse compris dans la densité se trouvant implicitement dans la constante k de equation.

Nous avons alors en simplifiant les termes de masse:

equation   (30.211)

Donc on voit déjà que dans ce modèle nous allons perdre l'effet de la masse qui a normalement pour implication de rallonger le trajet d'arrêt (dans la réalité!). Mais continuons quand même...

Nous avons donc à intégrer:

equation   (30.212)

Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que:

equation   (30.213)

Donc en posant:

equation   (30.214)

Soit:

equation   (30.215)

Un peu réarrangé cela donne:

equation   (30.216)

Donc on tombe maintenant déjà sur un temps fini... ce qui est plus rassurant comme résultat.

Cherchons maintenant la distance d'arrêt. Nous avons en utilisant le fait que:

equation   (30.217)

la possibilité d'écrire:

equation   (30.218)

Soit:

equation   (30.219)

Ce qui nous amène à:

equation   (30.220)

Ce qui donne déjà:

equation   (30.221)

Nous avons donc:

equation   (30.222)

Soit:

equation   (30.223)

Nous avons donc notre résultat final. Meilleur que le précédent mais indépendant de la masse... mais en attendant c'est mieux que rien...

Remarque: Avec un freinage sec l'essieu avant d'une petite voiture à une force de freinage de 2.8 [kN].