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TRAVAIL ET ÉNERGIE

Si un point de masse m subit un déplacement élémentaire  sous l'effet d'une force , cette force effectue un travail élémentaire valant par définition:

  (30.143)

Si cette masse m est déplacée d'un endroit A à un endroit B, le travail total est:

  (30.144)

Pour les unités, nous avons :  (Joules)

ÉNERGIE CINÉTIQUE

La loi de Newton  est applicable le long du chemin A-B. En l'utilisant dans l'expression du travail il vient:

  (30.146)

et, en développant le produit scalaire au moyen des composantes, nous aurons :

  (30.147)

Lorsqu'un corps se déplace sous l'action d'une force résultante  quelconque, le travail de cette force d'accélération sur un chemin quelconque A, B est égal à la variation d'énergie cinétique du corps:

Par définition, la relation :

  (30.148)

est appelée "l'énergie cinétique" et elle se mesure en "Joules" (ou d'autres unités dérivées exotiques dont les physiciens théoriciens abusent parfois un petit peu trop...) et est toujours positive en mécanique ou n'importe quel autre domaine de la physique.

L'équation :

  (30.149)

porte quelquefois le nom de "théorème de l'énergie cinétique".

MOMENT D'INERTIE

Pour un solide rigide tournant autour d'un axe à la vitesse angulaire . L'énergie cinétique élémentaire d'un point quelconque de masse dm, situé hors de l'axe, vaut:

  (30.150)

puisque  et  sont perpendiculaires. L'énergie cinétique totale est alors :

  (30.151)

Nous avons pris l'habitude en physique de noter cette dernière relation:

  (30.152)

où par définition, le "moment d'inertie" est:

  (30.153)

Exemple:

Calculons la vitesse d'une boule finale d'une boule chutant sur un plan incliné de frottement non nul (elle va donc tourner) dans un champ de potentiel gravifique.

La réponse du néophyte en physique sera souvent obtenue en considérant que l'énergie cinétique mais pas la vitesse de rotation de la boule. Or, nous devons prendre celle-ci en compte via son moment d'inertie.

Nous avons donc l'énergie cinétique totale étant l'énergie cinétique de translation de centre de masse plus l'énergie de rotation autour de ce même centre de masse:

  (30.154)

en égalant cette valeur à l'énergie potentielle gravifique et en supposant une vitesse initiale nulle de la chute, nous avons:

  (30.155)

Soit la vitesse acquise au bas du plan (frottement de roulement non-compris...):

  (30.156)

et nous avons démontré dans le chapitre sur les Formes Géométriques que le moment d'inertie d'une boule pleine était:

  (30.157)

Il vient alors:

  (30.158)

Nous voyons dans le cas particulier de la boule, que la vitesse finale de chute est (sans frottements de l'air ni de roulement) indépendante de sa masse et de son rayon  (qu'elle soit creuse ou pleine) ce qui est relativement contre intuitif.

Nous avons vu lors de notre étude du moment cinétique que:

  (30.159)

et le moment d'inertie étant donné par:

  (30.160)

Nous avons donc:

  (30.161)

d'où:

  (30.162)

Nous obtenons finalement:

  (30.163)

c'est l'expression donnant le moment cinétique d'un corps tournant sur lui-même (sur un de ses axes possibles de rotation).

Etant donné que nous avons démontré lors de notre étude du moment cinétique que:

  (30.164)

il vient alors dans l'hypothèse que la masse et la géométrie du solide restent constantes... que le moment de force est alors:

  (30.165)

et bien évidemment, si nous étudions un système dans lequel le moment cinétique est conservatif, il va de soi que:

  (30.166)

Cette conservation du moment cinétique trouve une application dans une multitude d'expériences telle que celle connue qui consiste à se faire tourner sur une chaise et à écarter les mains ou les jambes ce qui fera diminuer la vitesse de rotation (et inversement).

Une autre expérience curieuse (mais mathématiquement correcte) consiste à se poser sur un plateau tournant avec une roue en rotation  tenue à l'horizontale (le moment cinétique vertical est donc nul) et de mettre celle-ci ensuite à la verticale. Comme le moment cinétique vertical doit rester nul, pour contrecarrer cela, le plateau sur lequel est posé l'expérimentateur se mettra à tourner dans le sens inverse de rotation de la roue.

Les déplacements de masses importantes à la surface de la Terre (icebergs, crues des fleuves, plaques tectoniques, etc.) provoquent des variations du moment d'inertie de la Terre. Il s'ensuit des fluctuations de la vitesse angulaire donc une imperfection de l'étalon astronomique de temps (quelques millièmes par jour).

Revenons maintenant aux méthodes de calcul des moments d'inertie. L'énergie cinétique d'un corps étant la somme de l'énergie cinétique de chaque élément de ce corps, nous avons :

  (30.167)

Dans le cadre d'un corps solide rigide en rotation autour d'un axe, nous avons :

  (30.168)

Ainsi, pour un corps composé d'un ensemble de corps de géométrie différentes, le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie par rapport à l'axe de rotation tel que :

  (30.169)

Lorsque nous calculons le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe donné, il peut être intéressant de savoir qu'elle est la distance à l'axe où nous pouvons placer fictivement toute la masse de ce corps pour avoir le même moment d'inertie. Par définition, cette distance notée k et appelée le "rayon de giration" est trivialement donnée par :

  (30.170)

où est le moment d'inertie connu du corps de masse M par rapport à une axe .

Par définition, le "moment d'inertie polaire" (ou également "moment d'inertie quadratique") est le moment d'inertie défini par rapport à un point (le pôle) et non plus par rapport à un axe et noté :

  (30.171)

Cette grandeur n'intervient en fait que pour les rotations libres et n'a d'intérêt, pour les rotations autour d'un axe fixe, que parce qu'elle facilite quelquefois le calcul des moments d'inertie axiaux en vertu de la relation suivante (en coordonnées cartésiennes) :

  (30.172)

Démonstration:

Lemme 1 : Le moment d'inertie par rapport à un plan xOy est donné trivialement par :

  (30.173)

Lemme 2 : Le moment d'inertie par rapport à un axe est donné par :

  (30.174)

En sommant ces relations, nous en déduisons :

  (30.175)

Le moment d'inertie polaire est alors donnée par :

  (30.176)

En comparant avec le lemme 2 il vient :

  (30.177)

C.Q.F.D.

Si le corps en question à une symétrie sphérique, il vient de suite puisque que :

  (30.178)

Un exemple est donné avec la boule (sphère pleine) dans le chapitre traitant des Formes Géométriques dans la section de géométrie.

Supposons maintenant connaître le moment d'inertie d'un corps solide rigide quelconque par rapport à un axe (cet axe n'étant pas nécessairement uniquement assimilé à l'axe z commun) passant par le centre de masse G. Calculons ensuite le moment d'inertie , par rapport à un autre axe z ', parallèle à z et distant de a , et faisons apparaître la liaison existant entre ces deux moment d'inertie différents :

Dans un référentiel cartésien, nous avons pour tout point (x,y) :

et   (30.179)

Nous avons alors :

  (30.180)

Le terme :

  (30.181)

est nul car si le moment d'inertie est calculé par rapport au centre de masse G comme nous l'avons imposé dès le début, alors :

  (30.182)

En définitive, nous obtenons finalement le théorème d'Huygens-Steiner :

  (30.183)

Comme nous le verrons dans le chapitre des Formes Géométriques dans la section de géométrie du site, il devient alors facile de pouvoir calculer le moment d'inertie d'un triangle équilatéral en connaissant celui d'un plaque carrée et en déplaçant l'axe d'inertie au point où se situe le centre de gravité du triangle (soit au tiers de la médiane située entre le centre du rectangle et un des sommets du rectangle).

Comme il existe autant de moment d'inertie que d'axe de rotation et que ces derniers sont souvent dans les cas d'études assimilés aux axes principaux d'inertie (axe assimilés aux axes de révolutions ou aux plans de symétrie - voir plus loin), il peut être utile d'introduire un être mathématique utile dans le cadre de représentation des moments d'inertie qui n'est autre que la "matrice d'inertie" ou appelé encore (formulation plus moderne) "tenseur d'inertie".

La démarche pour déterminer rigoureusement l'expression de ce tenseur est la suivante : soit un point donné d'un solide dont nous cherchons à calculer le moment d'inertie et l'axe d'origine O et de vecteur unité par rapport auquel nous souhaitons calculer le moment d'inertie. Tout point du solide peut être projeté (projection orthogonale) sur un point à partir de la connaissance de l'angle entre et tel que :

  (30.184)

Dès lors :

  (30.185)

D'après les propriétés du produit mixte (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) et du produit scalaire :

et   (30.186)

nous avons :

  (30.187)

et donc :

  (30.188)

Comme est un vecteur de direction constante quelque soit le point d'intégration, nous pouvons le sortir de l'intégrale tel que :

  (30.189)

Nous pouvons vérifier que si nous remplaçons par , nous obtiendrons un résultat de par la propriété de linéarité du produit vectoriel (cf. le chapitre de Calcul Vectoriel). Ainsi, l'application qui à associe est donc une application linéaire qui peut être représentée, dans une base B donne, par une matrice :

  (30.190)

La matrice est le donc "tenseur d'inertie" du système par rapport au point O, dans la base B.

Le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe quelconque de vecteur unitaire est donné par :

  (30.191)

Le problème est donc maintenant de pouvoir calculer les éléments du tenseur , pour une base B donnée. Soit un repère tel que . Nous posons :

et   (30.192)

En utilisant le fait qu'un produit vectoriel puisse être représente par une matrice antisymétrique (vérifiez c'est facile) :

  (30.193)

nous avons :

  (30.194)

et donc :

  (30.195)

Dans l'expression ci-dessus de la matrice d'inertie, nous reconnaissons les éléments diagonaux : il s'agit tout simplement des moments d'inertie du système par rapport aux différents axes de la base. Nous appelons "produit d'inertie" les éléments non-diagonaux de la matrice et nous les notons :

  (30.196)

Nous avons donc :

  (30.197)

Si O est assimilé au centre de masse du solide considéré, nous notons simplement :

  (30.198)

Nous pouvons également généraliser le théorème d'Huygens en faisant usage de ce tenseur de symétrie. Pour ce faire, appelons (x', y', z') les coordonnées d'un point A quelconque dans R' et (x, y, z) ses coordonnées dans R. Nous appelons (a,b,c) les coordonnes de l'origine O' de R' dans R:

  (30.199)

puisque :

  (30.200)

Nous avons alors :

  (30.201)

Or, si O' coïncide avec le centre de masse G, alors selon la définition du centre de masse :

  (30.202)

Nous en déduisons alors :

  (30.203)

et de même :

,   (30.204)

avec :

  (30.205)

Nous retombons sur le théorème d'Huyghens classique puisque n'est d'autre que la distance au carré entre l'axe Oz et Gz et de même pour qui est la distance au carré entre Ox et Gx et qui est la distance entre Oy et Gy.

Si nous nous intéressons maintenant aux produits d'inertie, il vient :

  (30.206)

d'où, si O' coïncide avec G :

  (30.207)

En résumé, le théorème d'Huygens généralisé, s'écrit :

  (30.208)

Le tenseur d'inertie étant réel et symétrique, nous avons dans le chapitre d'Algèbre Linéaire (théorème spectral) qu'il est toujours possible de trouver trois directions perpendiculaires de vecteurs telles que le tenseur (matrice) symétrique soit diagonalisable :

  (30.209)

Le trièdre formée par les vecteurs est appelé "trièdre principal d'inertie" et ses axes sont appelés "axes principaux d'inertie". Dans ce repère prend le nom de "tenseur principal d'inertie". Si de plus O est assimilé à G, nous parlons de "tenseur central d'inertie".

En fait, pour trouver les moments d'inertie relativement aux axes principaux il n'est pratiquement jamais nécessaire de diagonaliser le tenseur d'inertie, car il suffit souvent de se laisser guider par la symétrie du système. Nous allons voir avec les théorèmes suivants que s'il existe des axes ou des plans de symétrie pour la distribution de masse, les axes d'inertie sont faciles à trouver. De plus, le système est en général suffisamment simple (ou décomposable en éléments suffisamment simples...) pour que ces axes soient évident.

Premier théorème : Si le système possède un plan de symétrie matérielle (in extenso : si A symétrique de A' par rapport au plan) alors tout axe perpendiculaire à ce plan est axe principal d'inertie.

Démonstration:

Choisissons un repère xOy dans le plan par rapport auquel le système a une distribution de masse symétrique et un axe Oz perpendiculaire à ce plan. Pour calculer ou , groupons les points par deux, symétriques par rapport à xOy. c'est-à-dire tels que . Nous aurons alors:

  (30.210)

et de même :

  (30.211)

c'est-à-dire, puis (symétrie matérielle!) :

  (30.212)

que toutes les contributions de paires de points symétriques sont nulles, ce qui implique : , c'est-à-dire que l'axe des z est direction principale d'inertie.

C.Q.F.D.

Deuxième théorème : Choisissons comme axe Oz l'axe de symétrie. De même que ci-dessus, nous avons :

  (30.213)

Démonstration:

Effectivement, car si nous groupons les points par paire A' et A' symétriques par rapport à Oz, nous avons :

  (30.214)

mais donc toujours :

  (30.215)

et de même :

  (30.216)

C.Q.F.D.

Troisième théorème : Si un système admet un axe de révolution pour sa distribution de masse, alors tout trièdre orthogonal incluant l'axe de révolution, est trièdre principal d'inertie. Le système matériel est alors dit "système cylindrique" et dans le trièdre principal d'inertie son tenseur prend la forme (en supposant que l'axe de révolution est le 3ème axe du trièdre) :

  (30.217)

Démonstration:

Si Oz est un axe de révolution, tout plan comprenant Oz est plan de symétrie et toute droite perpendiculaire à Oz est donc axe principal d'inertie (premier théorème). De plus, toutes ces droites perpendiculaires à Oz sont équivalentes.

C.Q.F.D.

Définition: Si la matrice d'inertie en O d'un système matériel est du type :

  (30.218)

nous disons alors que le système est un "système sphérique" (ou un "système à symétrie sphérique").

Lorsque les moments d'inertie d'un solide sont connus dans les directions des axes principaux d'inertie, nous pouvons facilement déterminer le moment d'inertie J par rapport à n'importe quel autre axe passant par le centre de gravité en utilisant que ce nous nommons un "ellipsoïde d'inertie" (à ne pas confondre avec le moment d'inertie d'une ellipsoïde - démontré dans le chapitre traitant des Formes Géométriques).

Démonstration:

Soient trois axes, centrés sur G, parallèles aux axes principaux. Dans leurs directions, portons des longueurs proportionnelles à :

  (30.219)

Dans cet espace des phases des moments d'inertie, tout point désigne un moment d'inertie J tel que :

  (30.220)

Pour déterminer J en fonction des , sans devoir calculer x, y, z, nous identifions les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de l'axe de rotation à ceux de la droite .

Ainsi, nous avons :

  (30.221)

Soit :

  (30.222)

Nous pouvons maintenant calculer les conditions de normalisation de cette relation. Ainsi, si et , nous avons :

  (30.223)

Respectivement nous aurons :

  (30.224)

Puisque :

et   (30.225)

Ce qui nous amène à écrire :

  (30.226)

Par substitution, nous obtenons :

  (30.227)

Donc finalement :

  (30.228)

Ainsi, en connaissant les moment d'inertie d'un corps par rapport à ses axes principaux nous pouvons connaître son moment d'inertie par rapport à n'importe quel axe ayant un angle par rapport aux axes principaux.

C.Q.F.D.

GYROSCOPE

Un solide (de révolution pour simplifier...), pouvant s'orienter librement autour d'un point fixe et tournant rapidement sur lui-même forme par définition un "gyroscope".

Outre leur usage ludique... car ils permettent d'avoir des configurations considérées comme pédagogiquement exceptionnelles... les gyroscopes constituent une part importante des systèmes de navigation par inertie (avant l'apparition des GPS...) dans l'aviation, l'aérospatiale, la marine (stabilisation des bateaux), le cinéma/télévision (stabilisation des caméras) et encore bien d'autres. Les instruments de guidage par inertie de ces systèmes sont constitués de gyroscopes et d'accéléromètres, qui calculent à tout instant la vitesse exacte et la direction de l'appareil en mouvement. Les signaux recueillis sont communiqués à un ordinateur qui les enregistre et qui corrige alors les aberrations éventuelles de la trajectoire.

Les planètes constituent un autre exemple fameux de gyroscopes. L'exemple le plus connu étant notre Terre qui tournant relativement vite autour d'elle-même et étant très massive son moment cinétique fait que son pôle Nord est toujours (à l'échelle du temps d'un humain ...) orientée vers l'étoile Polaire quelque soit sa position sur son orbite.

La figure suivante est un exemple de gyroscope connu dans les laboratoires des écoles et appelé "gyroscope symétrique pesant". Il s'agit bien évidemment d'un cas particulier  et simplifié mais qui permet de comprendre le principe de base du gyroscope:

  (30.229)

Se composant d'un moteur électrique dont le rotor, le volant principal, forme la masse principale en rotation angulaire rapide. Le stator du moteur est fixé à une tige sur laquelle est positionné un contrepoids à l'opposé. L'ensemble est posé sur un pied de support à l'extrémité duquel se trouve un cardan monté sur un roulement horizontal qui autorise les orientations du gyroscope presque sans limitations dans toutes les directions.

Dans ce schéma nous avons  qui est la vitesse angulaire instantanée du disque amovible de rayon R,  est la vitesse de précession du gyroscope (rotation autour du pied de support),  est la force de la masse m complémentaire attachée au contrepoids et qui déséquilibre le gyroscope, r est la distance du cardan du gyroscope au contrepoids et finalement a est l'angle d'inclinaison que prend l'axe du gyroscope lorsqu'on le déséquilibre en attachant le poids supplémentaire au contrepoids.

Pour débuter l'étude théorique de ce système, rappelons que avons démontré plus haut que le moment cinétique pour un solide ayant un moment d'inertie J s'exprime par la relation suivante:

  (30.230)

et nous avons vu que tout solide en rotation autour d'un axe quelconque a aussi un moment cinétique qu'il est alors d'usage de noter conformément avec ce que nous avons vu plus haut:

  (30.231)

Nous avons aussi démontré plus haut que le rotor, comme toute masse en rotation rapide, produit alors un moment de force donné par:

  (30.232)

qui est vectoriellement colinéaire à  et passe donc par son axe de symétrie. Comme nous le savons déjà, c'est cette dernière relation qui met le mieux en évidence que le gyroscope maintient toujours une direction identique dans l'espace même lorsque nous déplaçons son support.

En d'autres termes un gyroscope libre animé d'une grande vitesse de rotation a pour propriété fondamentale de conserver son axe de rotation selon une orientation fixe par rapport à l'espace absolu. C'est ce que nous appelons la "première loi gyroscopique" ou "loi de fixité".

Typiquement le "gyroscope de Foucault" représenté ci-dessous, excellent exemple pratique de la loi de fixité, garde son orientation quelque soit la manière dont nous manipulons le socle sur lequel il est posé:

  (30.233)

Si nous posons le gyroscope de Foucault toute une journée sur une table avec un moteur qui maintient la rotation du disque massif central constante, nous observons alors la rotation de la Terre car le gyroscope tourne alors très lentement sur lui-même en 24 heures!

Pour revenir à nos considérations mathématiques... intéressons nous maintenant au moment de force du contrepoids qui déséquilibre notre gyroscope symétrique alors que le disque est en rotation et qui génère une rotation générale du gyroscope comme le permet de constater l'expérience. Nous avons alors pour le moment de force faisant tourner le gyroscope autour de son axe (tige de soutient) :

  (30.234)

Puisque le gyroscope ne précesse pas lorsque le système est équilibré c'est que le moment de force du poids supplémentaire qui déséquilibre le gyroscope génère un moment cinétique selon la relation démontrée plus haut tel que:

  (30.235)

Ce qui schématiquement peut être représenté de la manière suivante (il s'agit de notre gyroscope vu d'en haut):

  (30.236)

Nous avons alors dès que le gyroscope se met à tourner (dans un mouvement circulaire):

  (30.237)

En prenant l'approximation de Taylor au premier ordre de la tangente pour les petits angles:

  (30.238)

Faisons l'hypothèse, pour simplifier l'étude du problème, que la variation du moment cinétique total par rapport à l'axe de rotation du gyroscope (la tige de soutien donc!) peut être assimilée au moment cinétique du rotor seuil si ce dernier tourne suffisamment vite et que sa masse est suffisamment grande. C'est-à-dire que:

  (30.239)

nous avons alors:

  (30.240)

et dès lors puisque de par cette approximation tout le moment de force est assigné à la variation du moment cinétique du rotor seul:

  (30.241)

Il vient enfin:

  (30.242)

Donc lorsque le gyroscope symétrique pesant est équilibré (lorsque M est nul au numérateur de la fraction), son moment cinétique garde donc une orientation fixe quelque soit la valeur du dénominateur puisque  sera alors toujours nul.

Le mouvement de rotation résultant d'un déséquilibrage du gyroscope est donc dit "mouvement de précession" lorsqu'il est provoqué volontairement, et "dérive" lorsqu'il est dû à un élément perturbateur.

Indiquons pour finir les gyroscopes ludiques pour petits enfants comme la toupie ci-dessous:

  (30.243)

Nous pouvons grossièrement la représenter ainsi (vue de côté et vu du dessus) pour en faire une analyse mathématique:

  (30.244)

où nous faisons l'hypothèse que l'extrémité de l'axe de la toupie est posée sur le sol sans possibilité de glissement et que celle-ci à une vitesse angulaire constante et suffisamment grande pour ne pas avoir son inclinaison  qui varie dans le temps.

En utilisant la même technique que pour le gyroscope symétrique pesant nous avons (bon nous aurions pu utiliser plus simplement la relation  vue dans le chapitre de Trigonométrie...):

  (30.245)

Nous avons aussi pour le moment de force:

  (30.246)

Par contre le moment cinétique change! Effectivement, nous avons donc dans ce cas particulier:

  (30.247)

il s'ensuite que sous les mêmes hypothèses que le gyroscope pesant que:

  (30.248)

d'où sous forme vectorielle:

  (30.249)

et nous savons que cette dernière relation (démonstration faite plus haut) peut être complétée en écrivant:

  (30.250)

Il vient alors:

  (30.251)

Soit:

  (30.252)

Nous voyons que la différence avec le gyroscope symétrique pesant est que la vitesse de précession est alors indépendante de l'angle.

page suivante : 9.2. Energie potentielle gravifique