MOUVEMENTS RELATIFS ET FORCES D'INERTIES



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Voyons maintenant des développements qui vous nous permette d'introduite un élément très important et utile en mécanique des fluides (cf. chapitre de Mécanique Statistique) et en météorologie (cf. chapitre de Génie Marin & Météo).

Considérons un référentiel fixe X, Y, Z et un référentiel mobile x, y, z. Ils sont donc en mouvement relatif et nous envisageons une rotation possible du référentiel mobile. Il s'agit d'exprimer, la vitesse, l'accélération d'un point P de l'espace au moyen des coordonnées du référentiel fixe (coordonnées absolues) à partir de celles attachées au référentiel mobile (coordonnées relatives) et du mouvement d'entraînement du référentiel mobile.

Nous définissons dans notre étude:

equation vecteur de position de P par rapport au référentiel mobile

equationvecteur de position de P par rapport au référentiel fixe

equation vecteur de position de P par rapport à l'origine du référentiel fixe

equation vitesse absolue de P par rapport au référentiel fixe (supposé inconnu)

equation accélération absolue de P par rapport au référentiel fixe (supposé inconnu)

equation vitesse relative de P par rapport au référentiel mobile (supposé connu)

equation accélération relative de P par rapport au référentiel mobile (supposé connu)

equation vitesse d'entraînement au point P du mouvement relatif du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe (supposé connu)

equation accélération d'entraînement du référentiel mobile (supposé connu)

equation vitesse angulaire du référentiel mobile

equation
  (30.1)

la position du point P est donc donnée par la "relation de composition des positions":

equation   (30.2)

La vitesse absolue se calcule comme:

equation   (30.3)

Le dernier terme est la contribution due à la rotation du référentiel mobile. Il s'agit maintenant d'exprimer la valeur de cette contribution en envisageant des rotations d'angle equation autour de chacun des axes, successivement:

 

equation

equation
  (30.4)

Nous obtenons ainsi les vecteurs élémentaires equationfigurant les déplacements des extrémités des vecteurs-unités equation. Nous les introduisons dans l'expression ci-dessous qui devient, après réarrangement des termes:

equation  (30.5)

par définition du produit vectoriel. La vitesse absolue du point P s'exprime donc selon la "loi de composition des vitesses":

equation   (30.6)

nous constatons que dans le cas particulier où le référentiel mobile ne subit qu'une translation equation, nous trouvons l'équation equation caractéristique de la transformation de Galilée et nous disons alors que les référentiels sont en "translation relatives".

Remarque: Si nous nous concentrons uniquement sur les termes de vitesse d'entraînement et de rotation du référentiel mobile nous obtenons alors ce que nous appelons la "formule de Bour".

En procédant de la même façon que pour la recherche de la vitesse absolue il vient, en dérivant la relation précédente nous avons :

equation   (30.7)

avec :

equation   (30.8)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.9)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.10)

Si nous regroupons les termes:

equation   (30.11)

et nous avons : 

equation   (30.12)

Donc:

equation   (30.13)

Finalement:

equation   (30.14)

mais (!) rappelons-nous que :

 equation   (30.15)

ainsi:

 equation   (30.16)

L'accélération absolue ou la "loi de composition des accélérations" s'exprime alors comme:

equation   (30.17)

Le terme:

equation   (30.18)

est appelé "accélération de Coriolis" et le terme equation est simplement l'expression de l'accélération centripète dans ce cas particulier.

La loi de Newton equationdoit comporter tous les termes contenus dans l'équation générale ci-dessus. Pour un observateur situé dans le système fixe, cette loi s'écrit alors:

equation   (30.19)

où l'on a en premier terme à droite de l'égalité la force d'entraînement, en troisième la force de Coriolis et en dernier la force centripète.

Si le point P est lié rigidement au référentiel mobile, un observateur dans ce système ne perçoit aucun mouvement, par conséquent aucune accélération equation. Nous avons donc affaire à un système de forces en équilibre. Le problème de dynamique est alors ramené à un problème de statique. C'est le "principe d'Alembert".

exempleExemple:

Etant donné que pratiquement toutes nos observations sont faites sur Terre, c'est-à-dire dans un référentiel mobile dans l'Univers, la force de Coriolis peut y être mise en évidence.

L'étude du mouvement d'un corps par rapport à la Terre est l'une des applications les plus intéressantes de l'équation démontrée précédemment. La Terre a une vitesse angulaire (supposée constante!) dont la direction est celle de l'axe de rotation de la Terre. Appelons equation l'accélération de la pesanteur mesurée en un point A à la surface de la Terre si celle-ci ne tournait pas. equation correspond alors à equation.  En tirant l'accélération d'entraînement et relative nous obtenons l'accélération mesurée par un observateur en mouvement avec la Terre:

equation   (30.20)

equation est négligé dans le cas de la rotation de la Terre.

Nous considérons d'abord le cas d'un corps initialement au repos, ou se déplaçant très lentement de sorte que le terme de Coriolis est nul ou négligeable comparé au dernier terme. L'accélération que nous mesurons dans ce cas est appelée "accélération effective" de la pesanteur, et nous la désigne par equation

Par suite:

equation   (30.21)

En supposant que la Terre est une sphère (en fait sa forme s'en écarte légèrement) et qu'il n'y a pas d'anomalies locales, nous pouvons estimer que equation est dirigé vers le centre de la Terre. Le deuxième terme equation étant l'accélération centrifuge elle est dirigée vers l'extérieur.

Puisque equationest la somme de equation et de l'accélération centrifuge, la direction de equation, appelée la "direction verticale", s'écarte légèrement de la direction radiale; elle est expérimentalement déterminée par un fil à plomb. Les liquides se maintiennent toujours en équilibre avec leur surface perpendiculaire à equation.

L'ordre de grandeur de l'accélération centrifuge est: 

  equation   (30.22)

r est le rayon de la Terre. L'accélération centrifuge décroît de l'équateur aux pôles car le rayon de la Terre n'est pas constante (la Terre est aplatie aux pôles). Cette variation de l'accélération est toujours très petite quand nous la comparons avec la pesanteur equationmais elle explique cependant la plupart des variations observées de la valeur de la pesanteur avec la latitude. 

Le gradient de l'accélération centrifuge a pour effet de déplacer légèrement la direction radiale d'un corps qui tombe en chute libre: le déplacement est vers le Sud dans l'hémisphère Nord et vers le Nord dans l'hémisphère Sud.

Considérons ensuite le terme de Coriolis. Dans le cas de la chute d'un corps, la vitesse equation est dirigée vers le bas. D'autre part, comme equation se trouve le long de l'axe de la Terre , equationest dirigé vers l'Ouest. Le terme de Coriolis equation est donc dirigé vers l'Est; le corps qui tombe sera dévié dans cette direction.

Pour un corps tombant dans un plan parallèle et tangent à la surface de la Terre, nous avons :

equation
  (30.23)

C'est exactement ce phénomène que l'on observe dans le cas des cyclones (nous y reviendrons plus en détail dans notre étude de la météorologie dans le chapitre de Génie Météo). Une zone atmosphérique dépressionnaire (de faible pression relative) donnerait des courants atmosphériques (vents) convergents vers la dépression si la Terre ne tournait pas autour de son axe.

equationequation
  (30.24)

La force de Coriolis due à la rotation de la Terre dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraires des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur equation dans cette partie de l'hémisphère).

Comme second exemple, considérons les oscillations d'un pendule. Pour des oscillations de faible amplitude, nous pouvons supposer que le mouvement du pendule se fait selon une trajectoire horizontale. Si l'on fait osciller le pendule initialement dans la direction Nord-Sud, la force de Coriolis va dévier le mouvement du pendule vers la droite pour un observateur situé au Pôle Nord. En d'autres termes, le pendule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et dans le sens contraire dans l'hémisphère Sud. Cet effet observable est nul dans à l'équateur (parallélisme parfait entre equation et equation) et maximale aux Pôles.

Cet effet fut démontré de façon spectaculaire par le physicien français Jean Léon Foucault, quand en 1851 il suspendit un pendule de 67 mètres de long à l'intérieur du Dôme des Invalides. A chaque oscillation, le pendule faisait tomber du sable sur un cercle, ce qui démontrait expérimentalement que son plan d'oscillation de equation par heure. L'expérience de Foucault est une preuve frappante de la rotation de la Terre. Même si la Terre était toujours couverte de nuages, cette expérience aurait montré aux physiciens que la Terre tournait.

Comme troisième exemple parlons des tourbillons que l'on peut observer dans la baignoire ou le lavabo. Ce n'est qu'une légende que ce dernier tourne différemment en fonction des hémisphères. Car la vitesse et la masse mises en jeu sont beaucoup trop faibles pour êtres observables dans de tels objets. Au fait, le sens de rotation est dû aux imperfections (aspérités) du siphon. Par contre, si vous allez en équateur, il y a des étudiants qui se font un plaisir de vous montrer que l'effet existe avec une petite expérience mise en place avec une allumette. En se déplaçant de dix mètres, ils vous montreront le sens de rotation du siphon change en fonction de l'hémisphère dans laquelle on se trouve!

THÉORÈMES DE KÖNIG

Nous avons vu jusqu'à maintenant, comment calculer le moment cinétique ou l'énergie cinétique d'un système dynamique par rapport à un unique référentiel (soit galiléen, soit barycentrique)

Les théorèmes de König donnent eux les moments cinétiques et l'énergie cinétique totale d'un système dynamique par rapport à un référentiel galiléen equation et barycentrique equation

PREMIER THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème le moment cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément equation du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen equation (noté : equation par la suite) :

equation   (30.25)

Exprimons le moment cinétique dans equation par rapport à son centre de masse G (noté : equation) :

equation   (30.26)

Le référentiel equation étant en translation par rapport à equation, nous avons :

equation   (30.27)

Sans oublier que :

equation   (30.28)

que nous insérons dans l'expression du moment cinétique :

equation   (30.29)

De par la propriété du produit vectoriel, nous avons :

equation   (30.30)

Étudions maintenant la valeur que prend chacun des quatre termes de la relation précédente. Nous savons que par la définition du centre de masse que (dans un cadre non relativiste) :

equation   (30.31)

d'où :

equation   (30.32)

et également :

equation   (30.33)

Finalement, il vient :

equation
  (30.34)

Donc finalement :

equation   (30.35)

Ce théorème qui se rapporte à un point fixe permet l'application plus aisée du théorème du moment cinétique.

DEUXIÈME THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème l'énergie cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément equation du corps solide par rapport à l'origine O du référentiel galiléen equation (noté : equation par la suite) :

equation   (30.36)

Exprimons l'énergie cinétique dans equation par rapport à son centre de masse G (noté : equation) :

equation   (30.37)

Avec de même que précédemment :

equation   (30.38)

Il vient dès lors :

equation   (30.39)

et donc :

equation
  (30.40)

et comme pour le moment cinétique, de par la définition du centre de masse, nous avons :

equation   (30.41)

d'où le deuxième théorème de König :

 equation   (30.42)


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