MOUVEMENTS OSCILLATOIRES



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Le mouvement oscillatoire est le mouvement d'un corps qui va et vient de part et d'autre de sa position d'équilibre. Il existe une quantité incroyable de phénomènes physiques de ce genre. Nous allons traiter dans cette section les grands classiques à partir desquels les développements sur des phénomènes plus complexes s'inspirent.

Nous étudierons dans l'ordre les pendules des plus simples aux plus complexes et utiliserons souvent des résultats antérieurs pour en déterminer de nouveaux.

Nous retreindrons notre étude des mouvements oscillatoires aux pendules. Les autres viendront au fur et à mesure dans leurs chapitres respectifs.

Il existe neufs pendules très connus qui sont les suivants (ordre dans lequel nous les étudierons): pendule de Newton, pendule simple, pendule physique, pendule élastique, pendule conique, pendule de torsion, pendule de Foucault, pendule de Huygens.

PENDULE DE NEWTON

Nous n'allons pas trop nous étendre à décrire le pendule de newton. Une photo suffira:

equation
  (30.43)

Le principe de fonctionnement est le suivant:

Si vous lancez une bille, à l'extrémité une seule et unique bille se déplacera. Cela semble logique et cohérent d'après la conservation de la quantité de mouvement qui découle de la conservation de l'énergie comme nous l'avons déjà vu.

Un peu plus curieux, lorsque vous lancez initialement deux billes, ce sont deux billes qui se déplacement à l'autre extrémité!

La démonstration est simple et le fonctionnement se base sur une condition très simple que nous allons déterminer pour le cas particulier de deux billes (c'est toujours le même principe pour un nombre de billes supérieur) :

Soit equation les quantités de mouvement des deux billes initiales et equation les deux billes se situant à l'autre extrémité. Nous avons donc:

equation   (30.44)

Nous avons pour l'énergie cinétique:

equation   (30.45)

après regroupement et simplification:

equation   (30.46)

Ensuite après division de la deuxième relation ci-dessus par la première, nous déduisons l'expression des vitesses après le choc:

equation   (30.47)

Hypothèse: supposons maintenant qu'en prenant une seule des billes (equation), il y en ait deux qui partent à l'autre extrémité tel que:

equation   (30.48)

Prenons le cas où toutes les billes du pendule de Newton ont la même masse (cas correspondant à celui que l'on trouve dans le commerce). Alors:

equation   (30.49)

Nous voyons que notre hypothèse initiale impossible: si à masses égales, une seule bille est lancée alors, à l'autre extrémité, une seule bille partira (hypothèse des "chocs élastiques").

Par contre, si nous lançons deux billes dans un pendule de Newton composé de masses identiques nous avons après simplification des équations:

equation   (30.50)

deux billes qui partent à l'autre extrémité.

Il suffit de procéder à des raisonnements identiques pour 3, 4, 5, ... billes.

equationC.Q.F.D.

PENDULE SIMPLE

Soit, T la période de temps nécessaire pour qu'un pendule simple (voir figure ci-dessous) parcoure un cycle complet et que l'on peut écrire:

equation   (30.51)

qui est donc l'inverse de la "fréquence propre" du système en l'absence de frottement.

equation
  (30.52)

La variation de l'énergie potentielle du système étant:

equation   (30.53)

Nous savons que equation et que la conservation de l'énergie nous permet de poser:

equation   (30.54)

Après simplification nous obtenons:

equation   (30.55)

Nous pouvons exprimer equation par rapport à la distance parcourue par le pendule:

equation   (30.56)

Si nous dérivons cette expression par rapport au temps... Nous obtenons alors:

equation   (30.57)

Si nous revenons à:

equation   (30.58)

et que nous le dérivons, nous obtenons:

equation   (30.59)

Si l'angle equation est petit, nous pouvons remplacer avec l'aide de la série de Taylor et sans erreur trop grave, equation par le premier terme de son développement en série:

equation   (30.60)

et comme  equation nous obtenons:

equation   (30.61)

Etant donné que dans un cadre périodique:

equation   (30.62)

nous pouvons alors écrire que:

equation   (30.63)

d'où:

equation   (30.64)

Comme equation nous pouvons poser:

equation   (30.65)

Donc la période de balancement est indépendante de l'amplitude ce qui explique pourquoi le nombre de balancements par minute d'un pendule simple est constant, quelle que soit l'ardeur que nous mettions à le faire balancer...

Si:

equation   (30.66)

equation est la position du centre de masse de l'objet et P le nombre éventuels de maillons que l'on aurait pris pour la longueur  L de la chaîne et  P étant le pas de la chaîne.

Ce qui nous donne finalement:

equation   (30.67)

PENDULE PHYSIQUE

Nous appelons "pendule physique" un solide quelconque pouvant osciller librement dans la pesanteur, autour d'un axe A, avec une petite amplitude (equation).

Son mouvement est déterminé par l'équation suivante:

equation   (30.68)

est le moment de rappel et equation le moment d'inertie du pendule par rapport à son axe d'appui A.

En faisant une analyse des forces sur notre pendule nous obtenons une autre relation pour M:

equation   (30.69)

pour equation et où d est la distance de l'axe d'appui du pendule à son centre de masse. Le terme négatif apparaît ici pour exprimer le fait que la période diminue avec le temps. Comme l'angle equation est petit, nous avons remplacé equation et sans erreur trop grave par le premier terme de son développement en série de Taylor:

equation   (30.70)

Donc le moment de rappel peut s'écrire:

equation   (30.71)

d'où l'équation différentielle du mouvement:

equation   (30.72)

Nous avons vu dans les mouvements harmoniques oscillants que nous obtenions la position angulaire d'une masse par la relation:

equation   (30.73)

ce qui nous permet d'écrire:

equation
  (30.74)

et par simplification nous obtenons:

equation   (30.75)

d'où:

equation   (30.76)

En exprimant le moment d'inertie equation au moyen du théorème de Steiner en déduisons que:

equation   (30.77)

et en introduisant encore le rayon de giration k:

equation   (30.78)

d'où:

equation   (30.79)

Soit x la position de l'axe de rotation A mesurée par rapport à une origine quelconque et a la position du centre de gravité par rapport à la même origine nous avons:

equation   (30.80)

tel que représenté ci-dessous:

equation
  (30.81)

d'où:

equation   (30.82)

ce qui nous donne aussi pour la période:

equation   (30.83)

comme la racine nous gêne nous élevons le tout au carré, ce qui nous donne finalement

equation   (30.84)

Comme nous connaissons x et T, cette relation nous permettrait à partir du tracer un graphique permettant de déterminer la position de G et k.

Ainsi, en portant sur un graphique equation en fonction de x:

equation   (30.85)

La courbe obtenue présente une asymptote verticale (equation) pour equation et deux minima.

En dérivant equation par rapport à x et en annulant les dérivées, nous trouvons la position des minima :

equation   (30.86)

PENDULE ÉLASTIQUE

Étudions maintenant les oscillations propres d'un solide suspendu à un ressort élastique tel qu'il oscille. Après l'écart du solide de la position d'équilibre, il accomplira des oscillations harmoniques dans le sens vertical, si le ressort élastique subit des déformations proportionnelles à l'allongement du ressort.

Nous aurons souvent dans ce site à faire avec de petits mouvements autour d'une position d'équilibre. Ce type de mouvement caractéristique de ce que nous appelons un "oscillateur harmonique" est très fréquent. Il se généralise à toutes sortes de situations physiques, telles que les circuits RLC (cf. chapitre de Génie Électrique), le modèle quantique corpusculaire et ondulatoire de l'atome, les résonateurs à quartz ou toute autre structure vibrante faiblement autour de son point d'équilibre.

Nous savons que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle et opposée à la déformation telle que (voir le chapitre de Génie Civil pour la démonstration):

equation   (30.87)

L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique peut donc s'écrire:

equation   (30.88)

Nous prendrons la démarche très simple qui consiste à essayer une solution, en l'occurrence:

equation   (30.89)

C'est une solution, car en effet:

equation   (30.90)

pour autant que nous prenions la fréquence propre:

equation   (30.91)

Nous avons aussi le "mode propre": 

equation   (30.92)

comme solution.

Une solution générale est donc:

equation   (30.93)

Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple:

equation   (30.94)

à equation.

Nous avons alors:

equation   (30.95)

Calculons maintenant le travail (énergie) nécessaire pour déformer l'oscillateur harmonique. Nous avons :

equation   (30.96)

Ainsi, l'énergie potentielle élastique dans un ressort de constante k, ayant subi une déformation x est donc donnée par :

equation   (30.97)

Pour une description plus réaliste, une meilleure modélisation, nous allons supposer que l'oscillateur est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. Il arrive souvent que l'approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et opposée à la vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est pas la seule possible, et ce n'est pas toujours la meilleure. Nous parlerons des forces de frottement plus tard.

Ainsi nous considérons une force de friction de la forme (ne pas confondre avec la notation du moment cinétique qui n'a absolument aucun rapport):

equation   (30.98)

Pour notre système de coordonnées:

equation   (30.99)

La deuxième loi de Newton impose:

equation   (30.100)

Pour se conformer à une notation usuelle dans le cadre de l'oscillateur, nous notons:

equation   (30.101)

d'où l'équation différentielle:

equation   (30.102)

Nous prenons la fonction d'essai:

equation   (30.103)

En substituant, nous trouvons:

equation   (30.104)

Comme nous cherchons des solutions non nulles (equation) il faut que:

equation   (30.105)

d'où:

equation   (30.106)

et la solution générale est:

equation   (30.107)

où deux constantes sont déterminées par les conditions initiales.

Nous verrons qu'il correspond à un amortissement faible. En effet, nous pouvons écrire avec des racines carrées réelles:

equation   (30.108)

et la solution générale peut alors s'écrire:

equation   (30.109)

En utilisant les propriétés complexes des exponentielles et en particulier la "formule d'Euler" (cf. chapitre sur les Nombres) :

equation
  (30.110)

Choisissons equation et rappelons que equation (cf. chapitre de Trigonométrie). Ainsi :

equation   (30.111)

et comme nous avons aussi equation. Alors :

equation   (30.112)

posons equation et comme la fonction trigonométrique est périodique à equation avec equation alors :

equation   (30.113)

L'allure générale de la equation normalisée à l'unité est la suivante:

equation
  (30.114)

Quand equation nous disons qu'il y a "amortissement critique", quand equation, qu'il y a "amortissement sur-critique".

Le rapport :

equation   (30.115)

est quant à lui appelé "facteur de qualité".

PENDULE CONIQUE

Le pendule conique consiste à prendre une masse m considérée comme ponctuelle et suspendue en A d'un fil equation fixé en O.

La masse étant écartée d'un angle equation de la verticale, l'objectif de ce pendue est fréquemment (car c'est le cas le plus simple) de déterminer la dépendance entre l'angle et la vitesse si l'on considère que les trajectoires sont circulaires.

equation
  (30.116)

La masse m se déplace autour de la verticale OC, en décrivant un cercle de rayon:

equation   (30.117)

Les forces suivantes agissent sur la masse m:

equation   (30.118)

D'après la figure, nous voyons que:

equation   (30.119)

ou, comme:

equation   (30.120)

alors:

equation   (30.121)

L'angle equation est donc d'autant plus grand que la vitesse angulaire equation est élevée, ce que confirme l'expérience. Pour cette raison, le pendule conique fut longtemps utilisé comme régulateur de vitesse sur les machines à vapeur (il ferme l'arrivée de vapeur quand la vitesse dépasse une limite fixée à l'avance et l'ouvre quand elle tombe au-dessous de cette valeur).

Nous avons aussi:

equation   (30.122)

d'où après simplification:

equation   (30.123)

PENDULE DE TORSION

Le pendule de torsion est un système qui fut utilisé par Coulomb pour mesure de la charge électrique élémentaire et par Cavendish pour la mesure de la constante gravitationnelle G.

Le pendule de torsions consiste en un solide rigide suspendu à fil de torsion vertical. Lors des oscillations le fil exerce un moment de rappel que l'on supposera proportionnel à l'angle de torsion equation:

equation   (30.124)

k est la "constante de torsion" de ce fil particulier (cf. chapitre de Génie Mécanique).

Nous avons donc:

equation   (30.125)

soit l'équation différentielle:

equation   (30.126)

Par analogie avec le pendule physique où nous avions une équation différentielle identique à un facteur près, il vient:

equation   (30.127)

PENDULE DE FOUCAULT

Le pendule de Foucault est une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la Terre. Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser le comportement du pendule de Foucault. Nous avons choisi de présenter la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.

D'abord un petit texte explicatif peut s'avérer pertinent tellement cette expérience est importante.

L'expérience de Foucault a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même. Vous lancez un balancier (ne bille de plomb au bout d'un fil). Il a un mouvement de va-et-vient régulier dans la même direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne tournez pas trop brusquement, le pendule se moque des virages : il continue à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements de son support.

C'est pourquoi le physicien français Léon Foucault eut l'idée d'attacher un lourd balancier de 67 mètres de long sous le dôme du Panthéon, en présence de Napoléon III et de quelques savants. A chacune de ses allées et venues, le pendule venait écorner un tas de sable où il laissait une marque. Or, la trace n'était jamais à la même place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart entre un balancement et le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris, la Terre tournaient!

Soit la figure ci-dessous:

equation
  (30.128)

Nous considérons que c'est la vue d'un référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan qui contient l'axe de rotation.

La taille du pendule est bien évidemment exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand même dans un plan méridien, entre A et B (un observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport au sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective, dans le sens rétrograde).

Soit T la période de rotation de A (ou B).

La vitesse de A (equation) , sur ce cercle, est due au fait que, dans le référentiel géocentrique, le point M, à la verticale du point de suspension, et le point du sol Terrestre coïncidant avec A à un instant donné, n'ont pas la même vitesse dans le référentiel géocentrique: le point  M étant plus éloigné de l'axe de rotation Terrestre: la distance MM' étant plus grande que B (de même la vitesse de B étant supérieure à la vitesse de M).

La différence de ces vitesses se calcule aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme en raisonnant sur une période d'une journée (sidérale) equation.

Nous savons que:

equation   (30.129)

De ceci il découle facilement que:

equation   (30.130)

étant donné que dans le triangle AHM :

equation   (30.131)

alors:

equation   (30.132)

Or, equation n'est autre que:

equation   (30.133)

Donc:

equation   (30.134)

Nous avons donc obtenu l'expression de la période du pendule de Foucault.

exempleExemple:

La période du pendule du Panthéon (aller et retour) est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6 mètres et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer un déplacement de plusieurs millimètres par aller et retour du pendule.

Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre, pour un observateur placé au dessus du pendule, dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire du sens de rotation des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Sud.

Aux pôles (où l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période du pendule égale celle de la Terre et est donc de 24h. A l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul), la période de rotation du plan d'oscillation est infinie : le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre. A Paris (où l'angle est de 48°52' et le sinus 0.75), la période de rotation est de 31 heures et 57 minutes.

Cependant, l'importance du pendule de Foucault est autre...

Le plan d'oscillation du pendule est en réalité fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui donne lieu à une rotation apparente. Mais finalement... que est le système de référence ?

En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose. Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est fixe.

La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long, par révéler une dérive.

Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se stabilise.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Une conclusion similaire fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à la fin du XIXe siècle (nous retrouverons le "principe de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).

D'après la physique de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la force qui s'exerce sur lui. Par conséquent, pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son accélération est faible. De ce point de vue, la masse est donc une mesure de l'inertie du corps, c'est-à-dire de sa faculté à résister à une force.

Supposons maintenant que toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté pour ce corps. Ce dernier est alors complètement isolé et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après la physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération est égal à zéro. Or l'accélération ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière de l'Univers a disparu, il n'y a plus de système de référence par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération. Cette dernière est donc indéfinie et non pas nulle. D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une seule possibilité, que la masse du corps soit nulle.

Ce raisonnement montre que la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés de l'objet lui-même, mais plutôt le résultat d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le pendule de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister une sorte de connexion entre les propriétés locales d'un corps et les propriétés globales de l'Univers. Comme dans le cas précédent, la nature de cette connexion mystérieuse reste à déterminer.

PENDULE DE HUYGENS

Nous cherchons à construire un pendule dont la période soit indépendante de l'amplitude. Pour cela nous disposons deux lamelles de forme cycloïdale à des positions symétriques et déterminées telles que représentées sur la figure ci-dessous:

equation
  (30.135)

Le choix de la cycloïde est du au fait qu'il s'agit d'une courbe "brachistochrone" (voir la définition plus bas) et depuis les travaux de Huygens en 1659, nous savons aussi qu'il s'agit d'une courbe "tautochrone" (les balanciers dans les montres modernes ont par tradition cette forme). C'est-à-dire que les corps qui tombent dans une cycloïde renversée arrivent au point le plus bas dans le même temps, de quelque hauteur qu'ils commencent à tomber.

Donc contrairement à une idée reçue, le chemin le plus rapide pour un corps en mouvement non horizontal tombant sur un support solide n'est pas la ligne droite.

En effet, l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques est le problème du brachistochrone qui consiste donc à trouver la courbe le long de laquelle une particule glisserait d'un point à un autre en un minimum de temps en étant soumis à un champ uniforme de pesanteur. Ce problème a été posé par Jean Bernoulli en 1696 comme un challenge pour les mathématiciens de son époque (et s'en fut un !!!). La solution fut trouvée par Jean Bernoulli lui-même ainsi que par son frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz et le marquis de l'Hospital. Le problème brachistochrone est important dans le développement des mathématiques et s'avère être une des applications principales de la méthode du calcul des variations.

Nous considérons dans le champ de la pesanteur deux points a et  b et un point matériel m se déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités a et b. Déterminer la courbe, appelée brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point m part du point  avec une vitesse nulle.

Considérons le schéma ci-dessous:

equation
  (30.136)

A l'abscisse x sur le graphe, l'énergie potentielle perdue est equation, équivalente à l'énergie cinétique acquise par le point matériel depuis le départ telle que:

equation   (30.137)

D'où sans trop de surprises:

equation   (30.138)

La vitesse v est mesurée le long de la courbe si bien que nous devons réécrire l'expression en composantes horizontales et verticales:

Nous allons poser que s représente l'abscisse curviligne et ds l'accroissement de cette distance le long de la courbe. dx et dy représentent les composantes horizontales et verticales de ds.

Ainsi:

- ds/dt représente la vitesse le long de la courbe

- dx/dt représente la composante x de la vitesse

- dx et dy sont données par le théorème de Pythagore exactement de la même façon que nous l'avions fait dans notre cadre d'étude du formalisme lagrangien.

equation   (30.139)

En insérant l'équation obtenue d'après les principes de la dynamique:

equation   (30.140)

Une simple intégration nous donne alors l'expression de t à minimiser:

equation   (30.141)

Nous nous retrouvons avec une fonction similaire à celle que nous avions lors de notre étude d'un cas pratique du formalisme lagrangien.

Il s'agit maintenant de trouver le minimum atteint par t parmi toutes les fonctions y(x) satisfaisant:

equation   (30.142)

Le problème fondamental dit du "calcul des variations" consiste à chercher, parmi les fonctions equation continûment dérivables sur un intervalle donné [a,b] et pour lesquelles les fonctions f(a) et f(b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale précédente.

Pour appliquer cette méthode, nous partons de l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

equation   (30.143)

qui donne les extremums de l'intégrale.

Identiquement à ce que nous avons vu dans notre exemple dans le cadre de notre étude du formalisme lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) nous avons dans notre cas:

equation   (30.144)

Donc:

equation   (30.145)

En remplaçant dans l'équation différentielle d'Euler-Lagrange, nous trouvons:

equation   (30.146)

ou autrement écrit:

equation   (30.147)

Il faut donc résoudre cette équation différentielle pour trouver la fonction qui donne le chemin le plus rapide.

Il existe une fonction paramétrique qui satisfait cette équation différentielle (dont je ne possède pas la démonstration formelle mais uniquement avec Maple...). C'est l'équation paramétrique de la cycloïde justement ! Donnée par:

equation   (30.148)

En posant equation nous avons dans Maple:

>plot([theta-sin(theta),1-cos(theta),theta=0..6*Pi]);

equation
  (30.149)

Soit les dérivées:

equation   (30.150)

Ainsi:

equation   (30.151)

La conservation de l'énergie:

equation   (30.152)

s'écrit donc:

equation   (30.153)

d'où:

equation   (30.154)

Donc le temps requis pour aller du haut au bas de la cycloïde que décrit le pendule de Huygens est :

equation   (30.155)

Cette durée ne dépend donc que de paramètres fixes.

L'énoncé en 1696 du problème brachistochrone peut être considéré comme l'authentique acte de naissance du calcul des variations, car c'est ce problème qui suscite la recherche de méthodes générales progressivement élaborées au cours d'une véritable compétition.

Remarque: Une ligne brachistochrone d'une surface est une courbe sur laquelle doit glisser sans frottement un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, ce sont les lignes les plus courtes en temps, alors que les géodésiques (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les lignes les plus courtes en distance.

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