MOMENT CINÉTIQUE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Définition: Le "moment cinétique" ou "moment angulaire" equation par rapport à un point O d'une particule de masse m se déplaçant à la vitesse equation en equation est défini par :

equation   (30.84)

avec equationétant la quantité de mouvement (voir la définition plus loin) donnée par :

equation   (30.85)

Par sa définition, le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les vecteurs equation et equationet si la particule se déplace dans un plan, la direction de equation est constante mais pas nécessairement de même direction.

Un cas particulier mais important en mécanique et astronomie du calcul du moment cinétique est le mouvement circulaire (plan) de rayon r. Dans cette situation, le "rayon-vecteur" equation est alors toujours perpendiculaire à la direction du vecteur-vitesse equation et donc:

equation   (30.86)

Nous voyons apparaître ici la définition du "vecteur rotation" equation également noté parfois (à tort) equation.

Pour un mouvement plan mais non circulaire (comme une conique par exemple!), nous introduisons les composantes normale et tangentielle de la vitesse:

equation   (30.87)

pour obtenir (de par les propriétés du produit vectoriel):

equation   (30.88)

et sous forme scalaire:

equation   (30.89)

r est dès lors appelé le "rayon de courbure" de la trajectoire.

Etudions maintenant la dérivée du moment cinétique:

equation   (30.90)

Dans le membre de droite, nous avons de par la définition du produit vectoriel:

equation   (30.91)

et d'autre part:

equation   (30.92)

Ce qui nous donne finalement:

equation   (30.93)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un mobile ponctuel est donc égal à ce que nous définissons par le "moment de force" equation sur lequel nous reviendrons plus loin et qui a comme unités celle de l'énergie et est un vecteur perpendiculaire au plan formé par equation et equation(par construction du produit vectoriel!).

Remarques:

R1. Cette dernière relation fait que nous appelons parfois le moment cinétique aussi "moment de la quantité de mouvement".

R2. Il faut bien sûr prendre garde au fait que (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) equation.

Ce qui est fortement impressionnant dans ce résultat (variation instantanée du moment cinétique), est que tout corps ayant un moment cinétique non nul et soumis à aucun moment de force, conserve l'orientation et la norme de equation dans l'espace et le temps. Ce résultat nous permet de comprendre la dynamique du gyroscope et tous les autres corps ayant des propriétés similaires (comme la Terre qui tourne sur elle-même et qui pointe toujours sur l'étoile polaire ce qui est à l'origine des saisons!). Nous étudierons plus loin le gyroscope et ses propriétés, car son comportement est fascinant et les résultats théoriques en découlant trouvent des applications en astrophysique et physique atomique.

Nous avons également :

 equation   (30.94)

où l'intégrale s'appelle "l'impulsion de rotation" et la relation précédente porte quelquefois le nom de "théorème du moment cinétique" (nous verrons une généralisation de ce théorème lors de la démonstration du théorème de König). Il s'énonce ainsi :

L'impulsion de rotation fournie par un moment de force entre les instants equation et equation est égale à la variation du moment cinétique durant cet intervalle de temps.

En dynamique du solide ce théorème joue un rôle fondamental, analogue à l'équation de Newton equation en dynamique du point.

L'utilisation du moment cinétique permet de montrer facilement la loi des aires (deuxième loi de Kepler), qui joue un rôle important dans la compréhension du mouvement des planètes (cf. chapitre d'Astronomie) ou encore de montrer que dans un système Terre-Lune isolé, le moment cinétique totale devant être conservé, si la Terre ralenti sa rotation et la lune la garde constante, cela oblige la Lune à augmenter sa distance par rapport à la Terre.

Voyons cela:

Imaginons une particule en mouvement sous l'action d'une force equation constamment parallèle à equation. Nous dirons que cette force est une "force centrale" si sa direction passe constamment par un même point fixe, appelé le "centre de force". La grandeur de la force ne peut donc plus dépendre que de la distance au centre de la force (dans le cas d'un champ de force).

Dès lors:

equation   (30.95)

Donc le moment cinétique par rapport au centre de force est constant si la force est centrale. La réciproque est aussi vraie: si le moment cinétique est constant, sa dérivée par rapport au temps est nulle et la direction de la force est toujours colinéaire à equation donc la force est centrale.

Par exemple, dans le cadre du mouvement d'une planète autour du Soleil ou d'un électron autour du noyau de l'atome (dans le cadre du modèle de Bohr) le moment de cette force par rapport au centre est évidemment nul puisque qu'aucun élément extérieur n'agit sur le système, c'est-à-dire en se basant sur le schéma ci-dessous :

equation
  (30.96)

nous avons alors :

equation   (30.97)

donc:

  equation   (30.98)

D'autre part, l'élément de surface equation décrit par le mouvement du rayon equation vaut (selon la figure ci-dessus et la propriété du produit vectoriel):

equation    (30.99)

donc:

  equation   (30.100)

En utilisant la relation equation nous obtenons:

equation   (30.101)

Conséquences:

1. La vitesse aréolaire est constante, c'est-à-dire que les aires balayées en des temps égaux sont égales. C'est la loi des aires de Kepler (cf. chapitre d'Astronomie)!

2. Le plan equation est fixe car equation. Donc la trajectoire, d'une planète dans un cadre idéal par exemple, est plane.

MOMENT DE FORCE

Nous venons de voir que le "moment de force" se définissait par la relation (variation temporelle du moment cinétique) :

equation   (30.102)

equation est donc le moment de la force equation par rapport au point d'origine du vecteur equation. Il est important de remarquer que le moment de force à les unités d'une énergie est donc perpendiculaire à equation et equation par construction!

Il faut aussi remarquer qu'augmenter le rayon d'application en diminuant ainsi la force pour garder un moment de force constant dans un système mécanique permet certes de diminuer l'effort (la force) mais au final pas l'énergie dépensée puisque la distance parcourue est alors plus grande.

Si nous exprimons le module de equation, de part la définition du produit vectoriel, nous obtenons :

equation   (30.103)

Il apparaît une grandeur :

equation   (30.104)

qui est par définition le "bras de levier" de la force equation et dont l'emplacement est donné par l'axe de rotation du corps du au moment de force résultant. 

exempleExemples:

equationequation
  (30.105)

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces equation soit en équilibre, il faut ainsi que la résultante de ces forces soit nulle (pas de translation) et que la résultante des moments soit nul aussi (pas de rotation). Soit :

equation et  equation   (30.106)

Par définition, un "couple" est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale mais de direction opposée, agissant suivant deux droites parallèles sur un même corps étendu. La résultante des forces est bien évidemment nulle, indique que le couple ne produit aucun effet de translation. Mais la somme des moments étant non nulle, le corps subit une rotation tel que :

equation   (30.107)

Maintenant que nous avons convenablement défini ce qu'était une force et un moment de force, nous pouvons aborder l'étude de la statique des forces de suite :

STATIQUE DES FORCES

La statique des forces est un domaine difficile à généraliser. La plupart des ouvrages se servent de nombreux exemples (comme les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres, les frottements, etc.) afin d'amener le lecteur à assimiler la méthode d'analyse qu'il faut pour résoudre les problèmes relatifs à ce domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre cette méthode, nous n'avons pas souhaité nous restreindre ou nous étendre (suivant les points de vue) à des exemples particuliers, mais à proposer une méthode d'analyse qui fonctionnerait à coup sûr.

Définitions:

D1. La "statique des forces" est le domaine de la physique qui étudie l'effet de la résultante de forces (ou moments de force) constantes au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel ou étendu.

D2. Quand la somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est nul, il n'y a aucun mouvement.  Nous parlons alors d'un "équilibre statique" (mais les forces existent tout de même à l'intérieur du système) tel que les forces et moments de forces se compensent mutuellement :

equation ou/et equation   (30.108)

Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce n'est pas parce qu'un système est à l'équilibre statique qu'il n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces peut s'annuler mais les forces sont non nulles).

Corollaires : 

C1. Lors de l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours (!!!) travailler avec les composantes vectorielles des forces et moments de forces (de par la première loi de Newton). 

C2. Il faut donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimés toutes les composantes de forces :

- Dans le cas d'un corps ponctuel sur lequel sont appliqué des forces, il faut assimiler l'origine du repère à la position du point.

- Si les lignes de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu sont toutes concurrentes en un point donné, le système peut être considéré comme un corps ponctuel ramené à ce point

- Si le corps est étendu et plongé dans un champ de forces (gravitationnel, électrostatique, magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le temps, l'ensemble des forces imprimées peut se rapporter au centre de gravité

Démonstration:

Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que la somme des vecteurs d'un même ensemble, mis bout à bout (au niveau de la représentation imagée) ou additionnés  algébriquement constitue ce que nous appelons la "résultante" du système de forces ou de moments de force :

equation ou/et  equation   (30.109)

Il est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état statique si la résultante des forces concurrentes est nulle. Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle) si la grandeur equation est nulle (voir les lois de Newton plus loin).

Cette condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu (non ponctuel) : celui-ci peut ne pas se déplacer (pas de mouvement par translation), mais tourner sur lui même par application de forces en dehors de son centre de gravité (les forces sont alors des moments de forces agissant sur des points du corps en question).

Imaginons maintenant un ensemble de forces equation, chacune d'elles appliquée en un point de vecteur-position equation d'un mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune donnée, repérée par un vecteur unitaire equation. La résultante des ces forces est alors :

equation   (30.110)

Remarque: La norme de la résultante est donc :

equation   (30.111)

De manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles s'écrit :

equation   (30.112)

Recherchons maintenant, la position equation d'un point fictif C, appelé le "centre des forces" tel que le moment de la résultante equation appliquée au point C soit égal au moment total equation. En d'autres termes, equation doit être la solution de l'équation vectorielle :

equation   (30.113)

S'il est possible de trouver un tel point C, nous ne devons donc plus, en principe, calculer le moment individuel de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit plutôt, de déterminer la résultante equation et d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.

En combinant les relations précédentes, nous avons :

equation   (30.114)

À son tour, le vecteur equation peut être substitué tel que :

equation   (30.115)

d'où nous tirons finalement :

equation   (30.116)

comme equation (deuxième loi de newton) supposons maintenant (car particulier) que equation nous pouvons alors écrire ce résultat très important :

equation   (30.117)

equationC.Q.F.D.

C3. De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide en équilibre stable, en contact avec un ensemble de corps solides rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une force égale identique en chaque point de contact (identiquement répartie) mais opposée par ces derniers (assimilable et passant par leur centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs isotrope et constant qui est à l'origine du contact). Ainsi :

-  les repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur les différents points de contact lorsque ce sont une quantité dénombrable de forces qui en sont à l'origine.

- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés le centre de masse ou de gravité si les forces à l'origine du contact (in extenso : de l'accélération) sont à l'origine d'un champ vectoriel gravifique, respectivement électrostatique/magnétique. 


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