LOI DE NEWTON GENERALISÉE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Revenons maintenant un petit peu à notre principe de moindre action dont nous avons parlé au tout début de cette section:

Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est-ce qui distingue cette courbe - la trajectoire physique - de toutes les autres? A cette question nous pourrions, très justement, répondre que cette courbe se distingue des autres par le fait qu'elle est solution de l'équation différentielle de la trajectoire ... avec les conditions initiales appropriées. Mais dans le cas où nous ignorons les conditions initiales ou lorsque le problème ne peut être ramené à une équation différentielle, par quel moyen pouvons-nous alors distinguer la trajectoire physique de tous les chemins possibles?

Le principe de moindre action s'exprime dans ce contexte par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru.

En fait de vitesse, il convient mieux en mécanique de considérer la quantité de mouvement car cette dernière grandeur est directement liée aux propriétés inertielles des corps. Mathématiquement Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit.

Si nous considérons le mouvement d'un corps entre deux points A en equation et B en equation, pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle la grandeur equation suivante est minimale:

equation

equation
  (30.302)

La trajectoire physique entre deux points A et B aux instants equation et equationest celle pour laquelle l'action est minimale.

En sachant que :

equation   (30.303)

nous obtenons alors:

equation    (30.304)

T est l'énergie cinétique du corps.

Nous le voyons, l'action prend une forme étonnamment simple et s'exprime directement en fonction de l'énergie cinétique. Quelques années plus tard, à partir d'une intuition semblable à celle de Maupertuis, Euler parvint à un énoncé très similaire de l'action mais en partant du constat que les corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle au lieu de l'énergie cinétique. Qui de Maupertuis ou d'Euler avait tort et raison?

En fait, leurs énoncés respectifs de l'action étaient équivalents. Nous savons que dans un champ conservatif, si nous appelons U l'énergie potentielle alors l'énergie totale E vaut T + U et cette énergie est une constante. Nous en tirons que T = E - U et que donc :

2T = T + E - U   (30.305)

D'où:

equation   (30.306)

Cette relation est vraie quel que soit le chemin d'énergie totale initiale E. Nous en concluons que la valeur de la constante E ne permet pas de discriminer les différentes trajectoires et peut donc être éliminée de la formulation de l'action. L'action de Maupertuis peut alors se réduire à une nouvelle grandeur notée S:

equation   (30.307)

Cette nouvelle formulation de l'action fut donnée par Lagrange en 1788. S s'appelle "l'action lagrangienne" ou "action hamiltonienne" et la fonction : 

equation   (30.308)

porte le nom de "lagrangien mécanique". Ainsi formulé, le principe de moindre action devint l'un des outils les plus puissants de la mécanique.

Nous avons déjà vu comment nous exprimons le principe de moindre action mathématiquement. Dans le cas qui nous intéresse, l'action n'est pas une fonction de variables analytiques mais de trajectoires!

Considérons le cas très simple d'un corps de masse m se mouvant sur une seule dimension (que nous représenterons par un axe Ox) d'un point d'abscisse equationà l'instant equation à un point de coordonnée equation à l'instant equation. Supposons qu'il est soumis à un potentiel U qui ne varie pas avec le temps c'est-à-dire equation. L'action de ce corps sur un chemin C quelconque menant de equation à equation est alors:

equation   (30.309)

Soit equation le chemin physique et equation l'action sur ce chemin. Notons par equation les valeurs de la position x sur le chemin physique. Considérons maintenant un chemin C très proche de equation tel que les positions le long de C aient les valeurs equation que nous écrirons, pour alléger les écritures equation.

Calculons l'action pour ce chemin:

equation   (30.310)

Comme equation est infiniment petit, il est possible de développer le potentiel en développement limité:

equation   (30.311)

Quant au premier terme, il se ramène à:

equation   (30.312)

Comme nous ne considérons que les variations du premier ordre, le dernier terme peut être négligé, ce qui donne pour l'action sur le chemin C :

equation   (30.313)

Posons maintenant que la variation equation de l'action entre le chemin physique equation et C est nulle :

equation   (30.314)

et ainsi:

equation   (30.315)

Le premier terme dans l'intégrale peut s'intégrer par parties comme suit:

equation   (30.316)

Or, tous les chemins partent de equation à l'instant equation et arrivent à equation à l'instant equation. Ceci implique qu'en equation et equation la variation equation est nulle ce que nous écrivons equation. Donc le premier terme de l'intégration par parties est nul. La variation de l'action prend alors la forme:

equation   (30.317)

Cette intégrale doit être nulle pour tous les chemins très proches du chemin physique equation, donc quelle que soit la valeur de equation. Pour qu'une telle condition soit remplie il faut que le terme devant equation soit nul, c'est-à-dire:

equation   (30.318)

Or nous connaissons au fait cette équation: le premier terme n'est rien d'autre que equation où a est l'accélération du corps, et le second - l'opposé du gradient du potentiel - est l'intensité de la force en un point donné. Celle-ci se réduit donc à l'équation:

equation   (30.319)

qui n'est autre que la seconde loi de Newton généralisée! Le principe de moindre action contient donc implicitement la mécanique newtonienne. Ainsi, il est possible de reconstruire toute la mécanique de Newton avec le seul principe de moindre action!!!

Cet échafaudage de calculs peut paraître bien compliqué pour aboutir à un résultat que nous connaissions déjà mais tout l'intérêt du principe de moindre action réside dans le fait qu'il permet de tirer des lois fondamentales à partir de la seule connaissance du lagrangien d'un système.

Les théories les plus récentes comme la théorie quantique des champs, les théories de jauge ou la théorie des supercordes ont toutes pour point de départ l'expression de l'action du système. Les physiciens en dégagent ensuite des lois fondamentales qui régissent le comportement des particules élémentaires.

PUISSANCE

Définition: La puissance est le taux instantané de variation du travail (énergie sous forme quelconque). Nous avons donc la "puissance instantanée" donnée par :

equation   (30.320)

Si le travail est fourni de façon régulière, constant, nous avons alors la "puissance moyenne", constante :

equation   (30.321)

Remarques:

R1. L'unité de la puissance est le "Watt" et se note [W] mais en technique, certains utilisent encore souvent le "cheval" [ch] défini comme suite : equation

R2. En exprimant le travail (énergie) à partir de l'équation equation, où la puissance est donné en [kW] et le temps en heures, il apparaît alors l'unité d'énergie [kWh] (kilowattheure), très utilisée en pratique.

PUISSANCE D'UNE MACHINE TOURNANTE

Le travail élémentaire dW effectué par la force equation faisant tourner le solide (un cylindre dans la cas présenté de suite) autour de son axe d'une angle equation vaut :

equation   (30.322)

La puissance instantanée est alors :

equation   (30.323)

Or, equation moment de la force equation (supposée dans ce cas particulier perpendiculaire à equation), donc "moment de rotation". La puissance est alors donnée par :

equation   (30.324)

RENDEMENT

A cause des frottements, la puissance restituée par une machine appelée aussi "puissance utile", est toujours inférieure à la puissance absorbée. Nous tenons compte de cet effet au moyen du rendement défini par :

equation   (30.325)

Nous y reviendrons beaucoup plus en détail lors de notre étude de la thermodynamique.


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