ÉNERGIE POTENTIELLE GRAVIFIQUE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Si le travail de la force equation entre les points A et B ne dépend pas du chemin suivi, nous disons que cette force dérive d'une énergie potentielle ou bien que le champ de force est un "champ conservatif" (contre-exemple: dans un mouvement avec frottement le travail dépend nécessairement de la voie choisie). Cette indépendance par rapport au chemin suivi implique que:

Soit deux points A et B de l'espace. Il y a plusieurs chemins possibles pour joindre ces deux points. Si nous en choisissons deux au hasard nous avons :

Sur le 1er chemin : equation

Sur le 2ème chemin : equation

equation
  (30.253)

Si le champ est conservatif nous avons : 

equation   (30.254)

ou encore que le travail total sur un chemin fermé (aller et retour) est nul. Nous notons cela (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) : 

equation   (30.255)

Le travail en jeu est donc une fonction du lieu seul (equation) c'est-à-dire dépendant uniquement du point de départ et du point d'arrivée. En effet, si le travail dépendait du chemin, il serait possible de choisir la voie la plus généreuse quand le système fournit du travail et la voie la plus économique quand nous la ramenons à l'état initial. Ce serait donc un mouvement perpétuel et le principe de conservation de l'énergie l'interdit (cf. chapitre de Thermodynamique).

Attachons alors à chaque point equation du champ de force une valeur de la fonction equation (un nombre réel) correspondant au travail effectué par le champ de force lorsque le mobile passe d'un point P à 0, 0 étant un point de référence choisi arbitrairement. Donc par définition:

equation avec equation

equation
  (30.256)

En généralisant cette définition, nous dirons que le travail effectué par une force conservative lorsque le mobile passe de A à B est égal à la diminution d'énergie potentielle entre A et B :

equation

equation
  (30.257)

Par définition equation est l'énergie potentielle et se mesure en Joules.

L'équation précédente s'utilise très souvent sous forme différentielle soit :

equation   (30.258)

Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie est le gradient de la force donnée qui découle simplement de la définition du travail :

equation   (30.259)

Application: Travail de la pesanteur et énergie potentielle gravifique au voisinage de la surface de la Terre. C'est donc un cas particulier où la force est constante...

equation
  (30.260)

Soit un point de masse m se déplaçant selon une trajectoire quelconque AB. Le poids equation effectue le travail:

equation   (30.261)

En exprimant les différents vecteurs en composantes :

 equation, equation, equation   (30.262)

et en calculant le produit scalaire au moyen de ces composantes nous obtenons :

equation   (30.263)

La différence equation représente la différence d'altitude entre les points A et B. Nous constatons bien que le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée. Si, en sens inverse, nous voulons faire passer le point de B à A, le travail, fourni alors par un agent extérieur vaut:

equation   (30.264)

ce qui montre bien que le travail total sur un chemin fermé est nul: 

equation   (30.265)

En comparant les relations:

equation et equation    (30.266)

et en identifiant, nous obtenons ainsi :

equation   (30.267)

qui est l'énergie potentielle gravifique, z étant l'altitude de la masse m. Nous notons plus simplement la plupart du temps cette relation sous la forme :

equation   (30.268)

Remarque: Le choix de zéro de l'énergie potentielle est souvent arbitraire; nous le fixons par commodité. Seules les différences d'énergie potentielle sont généralement intéressantes comme nous allons le voir de suite.

La relation précédente est au fait une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance equationR est le rayon de la terre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable (si equation aussi, d'ailleurs...).

Pour déterminer la relation correcte, considérons deux masses equation. La première est supposée au repos et fixe la deuxième est amenée de l'infinie à une distance donnée de equation (le même raisonnement est applicable pour le champ électrique). Le travail dW de la force gravitationnelle en un point quelconque étant donc :

equation   (30.269)

et l'énergie potentielle du système :

equation   (30.270)

Alors :

equation   (30.271)

d'où simplement (l'énergie potentielle en un point) :

equation   (30.272)

Voyons si cela est cohérent avec equation...

A hauteur nulle de la surface terrestre, equation, nous avons :

equation   (30.273)

Nous élevons l'objet de equation :

equation   (30.274)

Nous utilisons l'approximation grossière :

equation   (30.275)

valable quand equation d'où :

equation   (30.276)

Comme à la surface de la terre nous avons l'habitude de poser en laboratoire equation, nous obtenons bien finalement :

equation   (30.277)

et nous voyons qu'il s'agit effectivement d'une grossière approximation.

Remarque: Nous pourrions appliquer le même développement dans l'étude de la force de Coulomb et du champ électrique mais jusqu'à maintenant nous n'avons jamais mis de laboratoire à la surface d'une charge... (sic!)

ÉNERGIE POTENTIELLE D'UNE SPHÈRE DE MATIÈRE

Nous allons calculer ici l'énergie potentielle d'une sphère de matière. Cet exercice de style va nous être très utile en astrophysique pour déterminer la température interne des étoiles et dans la chapitre de Cosmologie pour le départ du modèle de Friedmann.

L'expression d'une énergie potentielle d'un système de deux masses mises en présence est donnée par:

equation   (30.278)

Soit une sphère de masse M, de densité massique equation et de rayon r et entourée d'un anneau sphérique de rayon intérieur r, de même densité massique equationet d'épaisseur dr

L'énergie potentielle de l'anneau sphérique de rayon interne r et d'épaisseur dr se calcule comme suit:

La masse de la sphère de rayon r et de densité massique equation est:

equation   (30.279)

La masse de l'anneau entourant la sphère de rayon r, d'épaisseur dr et de densité massique equation est:

equation   (30.280)

En introduisant les deux dernières expressions dans celle de l'énergie potentielle:

equation   (30.281)

En intégrant l'expression précédente entre 0 et R, cela revient à ajouter successivement une suite d'anneaux d'épaisseur dr pour obtenir la sphère entière de rayon R et donc l'énergie potentielle de la sphère entière.

equation   (30.282)

Ce qui s'écrit encore:

equation   (30.283)

Soit finalement:

equation   (30.284)

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE MÉCANIQUE TOTALE

Comparons maintenant les équations:

equation   (30.285)

puisqu'il s'agit du même travail.

Ce qui entraîne:

equation   (30.286)

somme des deux formes d'énergie en chaque point ou encore, les lieux A et B. étant quelconques, en écrivant l'équation sous une forme générale:

equation   (30.287)

Remarque: Nous nommons souvent l'énergie totale d'un système "l'hamiltonien du système" comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Mécanique Analytique.

En l'absence de frottement s'il s'agit d'énergie mécanique, nous écrivons aussi la variation tel que :

equation   (30.288)

Une augmentation d'énergie cinétique entraîne donc une diminution d'énergie potentielle (et réciproquement) puisque la somme des deux reste constante.

Contre-exemple: S'il y a frottement, donc dégagement de chaleur, l'énergie mécanique totale n'est plus constante! (l'énergie mécanique seulement).

Par ailleurs reprenons la relation :

equation   (30.289)

et donc:

equation   (30.290)

D'autre part, equation étant une fonction scalaire dépendant des coordonnées d'espace formons sa différentielle totale:

equation   (30.291)

en comparant avec l'équation précédente et en identifiant terme à terme, nous avons :

equation   (30.292)

d'où l'expression affirmant que la force dérive d'une énergie potentielle si le travail en jeu est indépendant du chemin suivi. Si nous exprimons la force equation en termes de vecteurs-unités, nous obtenons :

equation   (30.293)

En définitive, l'affirmation que la force dérive d'une énergie potentielle equation peut se résumer ainsi:

equation   (30.294)

Dans le cas de la gravitation :

equation   (30.295)

Le champ de gravitation est donc caractérisé par l'ensemble des vecteurs equation.

CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

Un mobile, lors d'une interaction avec un autre point matériel, peut transmettre tout ou partie de son mouvement (énergie cinétique ou/et potentielle). C'est le cas lors d'un choc, par exemple (ceci dit le calcul de la force d'un choc est extrêmement difficile à calculer sans de nombreuses simplifications). La grandeur ainsi échangée est la quantité de mouvement equation. Elle vaut par définition (nous l'avons déjà vu lorsque nous avons parlé de la deuxième loi de Newton):

equation   (30.296)

Evidemment, nous avons : 

equation   (30.297)

La quantité : 

equation 

est parfois appelée "impulsion", et l'équation précédente porte quelque fois le nom de "théorème de la quantité de mouvement".

Il s'énonce ainsi: L'impulsion fournie par une force entre les instants equation et equation est égale à la variation de la quantité de mouvement durant cet intervalle de temps.

Mais revenons en à notre conservation de la quantité de mouvement (et donc de l'énergie et réciproquement...). L'intérêt de la grandeur de quantité de mouvement résulte du fait qu'elle est conservée dans les interactions (en première approximation..). En effet, soient deux mobiles en collision, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton) nous avons :

equation   (30.298)

et en utilisant le théorème de la quantité de mouvement nous pouvons écrire:

equation   (30.299)

En additionnant membre à membre ces deux équations, nous déduisons :

equation car equation   (30.300)

et donc:

equation   (30.301)

La quantité de mouvement totale est constante, elle se conserve donc.


page suivante : 9.5. Loi de Newton généralisée