CINÉMATIQUE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Un phénomène est évolutif si, en l'observant, nous constatons un glissement de la valeur concrète d'une ou plusieurs grandeurs. Ces grandeurs ne sont pas des constantes mais des variables. Une évolution implique qu'il y a un début, une infinité d'états intermédiaires et une fin. Un "état" est la description d'un instantané d'un phénomène évolutif (pas forcément au sens temporel du terme).

La relation fonctionnelle entre grandeurs pour un état donné peut être décrite par une équation. Pour un phénomène évolutif, il peut y avoir une infinité d'états que nous pouvons décrire par autant d'équations. Sous cette forme, cela n'a pas d'intérêt. Nous cherchons alors à trouver une équation unique qui met en relation les différentes grandeurs vérifiant tous les états que le phénomène évolutif considéré peut admettre. Par cette équation, nous pouvons ensuite calculer n'importe quel état du phénomène évolutif étudié : c'est "l'équation d'état" (notion tirée de la thermodynamique).

La "cinématique" est donc la partie de la mécanique qui traite des mouvements sans s'occuper de ses causes.

POSITION

Définition: La position d'un objet est définie par son vecteur position dans le cas particulier d'un espace tridimensionnel :

  equation   (30.37)

or chaque coordonnée d'un objet en mouvement peut varie fonction du temps comme:

equation   (30.38)

Plutôt que cette notation un peu lourde en parenthèses... les physiciens notent fréquemment le vecteur position (ou vecteur d'espace) sous la forme d'un vecteur de 4 dimensions:

- 3 dimensions spatiales

- 1 dimension temporelle

et nous écrivons alors : 

equation    (30.39)

et nous appelons alors ce vecteur un "quadrivecteur d'espace-temps" dont les composantes sont les coordonnées généralisées du système.

VITESSE

Définition: La vitesse, notée v, est par définition la distance parcourue par un objet pendant une certaine quantité de temps :

equation   (30.40)

Lorsqu'un corps est en mouvement uniforme rectiligne, c'est-à-dire qu'il parcourt une distance donnée selon une dimension equation avec equationen un temps toujours égal, le rapport précédent est constant dans le temps:

equation   (30.41)

La vitesse moyenne arithmétique est définie comme étant le rapport de la distance parcourue entre un point de départ donné equation à un instant equation et un point d'arrivée equation à un instant equation:

equation   (30.42)

Remarque: Il faut prendre garde lors de calculs de vitesses moyennes car il existe plusieurs types de moyennes en mathématique... (cf. chapitre de Statistique)!

Ceci représente donc une moyenne (car nous ne nous intéressons pas comment le chemin entre equation et equation a été parcouru)  mais nullement la vitesse instantanée du véhicule à un moment donné. 

Si nous désirons connaître la vitesse dite "vitesse instantanée" du véhicule en un point de sa trajectoire il faut faire passer le delta du temps equation à un différentiel (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) tel que :

equation    (30.43)

avec equation qui tend vers zéro.

Mathématiquement, nous notons cela correctement de la façon suivante:

 equation   (30.44)

Ainsi, pendant une différence de temps infiniment petite, la distance parcourue sera également infiniment petite. Nous aurons donc :

equation   (30.45)

et finalement :

equation   (30.46)

Si le corps étudié n'est pas en mouvement rectiligne dans un repère cartésien à trois dimensions alors sa position sera donnée par le vecteur equation et nous noterons sa vitesse dès lors par:

equation   (30.47)

Remarque: Si toutes les parties d'un corps se déplacent à la même vitesse et dans la même direction, nous avons alors un "mouvement de translation". Par contre, dans un "mouvement de rotation", les vitesses des diverses parties du corps ne sont pas les mêmes, en module et en direction (nous le démontrerons plus loin) et peuvent varier avec le temps.

Attention ! Un mouvement ne peut être décrit que par rapport à un repère fixe : le mouvement absolu n'existe pas. Galilée avait déjà compris que : "Le mouvement est comme rien". Le mouvement n'existe pas en soi, mais relativement à autre chose.

ACCÉLÉRATION

Définition: L'accélération, notée a, est par définition, la variation de la vitesse pendant un une certaine quantité de temps tel que (nous passons directement à la limite) :

equation   (30.48)

À nouveau, si le corps n'est pas en mouvement uniforme rectiligne nous aurons :

equation   (30.49)

Si le corps est en mouvement rectiligne et uniforme (nous pouvons toujours généraliser à un mouvement non rectiligne) nous avons alors:

equation   (30.50)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

equation   (30.51)

ce qui nous donne la distance parcourue par un corps pendant un laps de temps donné.

Si le corps est en mouvement rectiligne et accélère constamment nous avons alors:

equation   (30.52)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

equation   (30.53)

Nous voyons plus fréquemment cette relation sous la forme :

equationou equation   (30.54)

mais nous avons :

equation   (30.55)

si nous intégrons cette relation, nous obtenons :

equation   (30.56)

que nous retrouvons dans les écoles le plus fréquemment sous la forme :

equation   (30.57)

Cette relation donne la position d'un mobile en mouvement rectiligne et uniformément accéléré. De cette dernière, nous déduisons une énorme quantité de relations qui sont très intéressantes en physique aussi bien en considérant des cas idéaux que des cas réels.

Le premier cas que nous considérons comme le plus connu, est la vitesse de chute à accélération constante d'un corps dans un milieu exempt de tout frottement (cas traité plus loin lors de notre étude de la tribologie).

Comme nous l'avons déjà démontré précédemment, nous avons:

equation et equation   (30.58)

Les deux relations combinées donnent:

equation   (30.59)

Nous pouvons tirer de cette relation la vitesse de libération d'un astre (relation pratique quand nous étudierons le chapitre d'Astrophysique et intéressant pour comparaison lorsque nous étudierons la relativité générale):

Supposons que vous savez déjà que deux corps s'attirent mutuellement avec une accélération selon le modèle classique de Newton (que nous démontrerons plus loin):

equation   (30.60)

Mis dans la relation de chute d'un corps equation, nous obtenons :

equation   (30.61)

à la surface du corps attracteur principal nous avons donc la "vitesse de libération" :

equation   (30.62)

Nous pouvons répondre à partir de cette équation, pourquoi certaines planètes du système solaire ont un atmoshpère et d'autres pas (il faut prendre en compte l'agitation moléculaire) comme nous le verrons dans le chapitre d'Astronomie.

Ce qui est aussi intéressant dans cette relation c'est que nous pouvons calculer quelle doit être le rayon R d'un corps de masse m pour que sa vitesse de libération soit égale à celle de la lumière (allusion aux Trous Noirs).

Nous avons dès lors: 

equation   (30.63)

Nous verrons lors de notre étude de le relativité générale qu'après de relativement longs calculs dans un champ gravitationnel isotrope (métrique de Schwarzschild) nous retomberons sur cette relation.

PLAN OSCULATEUR

Les vecteurs equation et equation liés à un point P en mouvement forment, à chaque instant t un plan appelé "plan osculateur" de la trajectoire (généralement curviligne sinon quoi le plan se réduit à une droite).

Il est souvent utile de décomposer le vecteur accélération dans le plan osculateur suivant respectivement la tangente et la normale à la trajectoire :

equation   (30.64)

où le premier terme du membre de droite est un vecteur parallèle à la vitesse et le deuxième un vecteur perpendiculaire à la vitesse et situé du côté concave de la trajectoire.

Exprimons ces deux vecteurs (un exemple plus général est donné dans le chapitre de Géométrie Différentielle) :

Nous pouvons écrire que :

equation   (30.65)

ds est un élément courbe (l'abscisse curviligne) de la trajectoire et equation un vecteur unité tangent à la trajectoire lié au point P.

L'accélération s'écrit alors: 

equation   (30.66)

Le premier terme à droite de l'égalité est l'accélération tangentielle quand au second terme, même si la vitesse est constante ce dernier apparaît dans l'expression de l'accélération pour exprimer le changement de direction de la vitesse.

Décomposons le vecteur equationdans la base orthonormée euclidienne equationgénérée par la famille de vecteur equation:

equation   (30.67)

Ensuite, en dérivant par rapport au temps:

equation   (30.68)

En comparant avec l'expression initiale du vecteur equation, nous voyons  que les termes entre crochets ci-dessus sont les composantes d'un nouveau vecteur unité equation perpendiculaire au vecteur equation, donc perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers le centre de courbure.

De plus par la définition du radian, nous avons : 

equation   (30.69)

R est le rayon de courbure de la trajectoire. 

L'expression equation devient alors:

equation   (30.70)

et le second terme de l'expression générale de l'accélération devient alors:

equation   (30.71)

Nous avons donc finalement (relation démontrée avec une autre approche dans le chapitre de Géométrie Différentielle):

equation   (30.72)

où "l'accélération tangentielle" donnée par : 

equation   (30.73)

est un terme qui exprime la modification de l'intensité de la vitesse sur la trajectoire du point P et où "l'accélération normale" :

equation   (30.74)

est un terme qui exprime le changement de direction du point P sans que nécessairement ce dernier change donc de vitesse! Communément cette dernière relation est assimilée à la "force centrifuge"!!

Remarque: La force centrifuge est considérée en physique comme une force fictive car au fait il ne s'agit pas d'une force qui tend à nous éloigner d'un centre de rotation mais c'est juste qu'il y a une force qui n'est plus suffisante ( la force de frottement dans le cadre d'un manège ou gravitationnelle pour des planètes) pour nous empêcher de suivre une trajectoire en ligne droite par simple inertie. Raison pour laquelle lorsque nous sommes éjectés d'un manège nous partons tangentiellement à sa rotation et non pas perdendiculairement à celle-ci.

Nous constatons immédiatement que si equation le mouvement est forcément rectiligne, accéléré ou non, tandis que si equation la trajectoire est nécessairement incurvée.

PRINCIPE DE RELATIVITÉ GALILÉEN


Définition: Il est impossible pour un observateur animé d'un mouvement uniforme de savoir s'il se meut par rapport à son environnement ou bien à l'inverse si l'environnement se déplace par rapport à lui (nous ne pouvons pas distinguer le repos et le mouvement à vitesse et direction constantes). Dès lors, il ne peut exister de référentiel absolu (ou privilégié) qui puisse être considéré comme fixe vis-à-vis de toutes les autres repères galiléens ce qui signifie clairement que tous les repères galiléens doivent jouir du même statut en mécanique puisqu'ils ne peuvent être distingués les uns des autres. Ce principe est nommé le "principe de relativité galiléen".

Ce principe, (à ne pas confondre avec le principe de relativité restreinte car les hypothèses de départ diffèrent un tant soit peu...) découle directement de l'étude de ce que nous nommons la "transformation de Galilée".

Définition: Une "transformation de Galilée" est une suite d'opérations mathématiques sur une loi physique qui permet de déterminer les propriétés d'un ou plusieurs "observables" (vitesse, force quantité de mouvement, etc.) lorsque nous passons lors de l'étude d'un phénomène physique d'un référentiel à un autre référentiel : l'un supposé au repos, et l'autre en mouvement uniforme.

La question à l'origine historique était de répondre s'il est plus légitime d'étudier un phénomène dans un référentiel ou un autre. Plus exactement, nous souhaitons déterminer si la forme des lois physiques gardent les mêmes formes algébrique quelque soient les référentiels dans lequel nous les étudions.

Voyons cela d'un peu plus près :

Soient deux référentiels en mouvements l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante equation. Pour un certain référentiel cartésien equation au repos (ou supposé tel quel) nous allons poser le deuxième référentiel equationde façon à ce qu'il soit aligné avec l'axe des equation afin de simplifier les calculs avec equation:

equation
  (30.75)

Nous allons également mettre dans le deuxième référentiel en mouvement, un point matériel equation de coordonnées equation.

Remarque: Nous supposerons connu le concept de "quantité de mouvement" p défini plus loin avec rigueur.  Rappelons donc dès lors que la quantité de mouvement du point P animé d'une vitesse v (norme) dans equation est alors donné par :

equation   (30.76)

Nous avons alors en appliquant les relations classiques de la cinématique :

equation
  (30.77)

d'où equation et donc (nous supposons connu le concept de "force" défini plus loin avec rigueur) :

equation   (30.78)

Le résultat obtenu est donc fort intéressant puisque la deuxième loi de Newton garde exactement la même forme, et la même valeur dans les deux référentiels. Le fait que nous nous déplacions ou pas à vitesse constante ou pas n'a donc aucune influence sur notre vision du monde qui reste exactement la même.

Conséquence : Puisque les forces sont identiques, aucune expérience de mécanique ne peut déterminer si un référentiel galiléen est le repère absolu (autrement dit deux observateurs, dans deux référentiels galiléens différents, ne peuvent à l'aide d'une expérience de mécanique déterminer lequel se meut par rapport à l'autre).

Donc, en mécanique classique, il n'existe pas de référentiel galiléen absolu!

Toutefois notons bien que ce résultat est obtenu en supposant que :

equation   (30.79)

c'est-à-dire que nous imposons que la vitesse relative est uniforme (constante) et la masse constante et surtout, que equation.

Mais au fait, cette transformation est fondamentalement fausse comme nous le verrons plus en détail lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Effectivement, soit un objet se déplaçant le long de l'axe avec une vitesse v mesurée dans le repère primé :

equation   (30.80)

quel sera alors sa vitesse w dans le repère non primé? Si la transformation de Galilée est fondamentalement vraie, il suffit de remplacer dans la relation précédente x' et  t' par leurs expressions en fonction de t :

equation ou equation   (30.81)

soit (loi d'addition des vitesses) :

equation  (30.82)

Seul petit hic... une expérience simple impliquant des rayons de lumière fut réalisée au début du siècle, et montra que cette loi était fausse. Cette expérience dite de "expérience Michelson-Morley" bouleversa à tout jamais notre vision du monde... et amena Albert Einstein à développer la théorie de la relativité restreinte en imposant que la vitesse de la lumière quelque soit le référentiel est toujours constante (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

equation   (30.83)

Remarque: Si nous mesurons les vitesses et autres grandeurs vectorielles, nous trouvons que les résultats de mesures des composantes x', y', z', t' ne sont pas identiques à celle obtenues sur x, y, z, t. Elles sont varié avec le système d'axe. Connaissant ces valeurs dans un repère, nous pouvons passer aux valeurs dans l'autre repère : il s'agit de la "covariance" (co-variance : variance avec les coordonnées), ici pour les expressions vectorielles.

Les lois sont des relations entre des observables, relations déduites d'observations nombreuses.
La recherche des lois est régie par ce que nous pourrions appeler un "principe de simplicité" : lois en nombre le plus petit possible, d'expressions les plus simples possibles entre grandeurs en nombre minimal.

Mais la caractéristique d'une bonne loi est la covariance lors d'un changement de repère. Cette invariance lors d'un changement de repère, cette invariance de la forme (de l'expression littérale) de la loi va permettre d'objectiviser au maximum et, en principe totalement, la physique.

La physique (dans le sens de la théorie qui décrit la réalité) ne sera plus liée à l'observateur ni à son espace-temps galiléen associé. Bien sûr cette covariance sera recherchée pour les transformations de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.

Un contre-exemple simple cependant : la force entre deux charges électriques immobiles dans un référentiel ne fait appel dans ce référentiel qu'à la seule théorie de l'électrostatique. Si ce même système est observé d'un référentiel en mouvement par rapport au premier, il faudra décrire l'ensemble à l'aide de la théorie de l'électromagnétisme.

Par construction même la mécanique classique se trouve être covariante par transformation de Galilée (changement de repères galiléens) : le postulat de la dynamique (force) prend en effet la même forme dans les différents référentiels galiléens comme nous venons de le voir.


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