BALISTIQUE



MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Le mouvement parabolique est le mouvement d'un mobile animé, dans le champ de la pesanteur, d'une vitesse de translation equation non parallèle à l'accélération de la pesanteur equation. Par  exemple un projectile possédant au départ une vitesse equation inclinée d'un angle equation par rapport à l'horizontale.

equation
  (30.118)

En l'absence de pesanteur et de frottement le mobile P suivrait la ligne de visée equation indéfiniment. L'action de la pesanteur est de le redescendre, au temps t, de la valeur connue equation

Nous posons la projection sur les axes :

equation   (30.119)

combinaison d'un déplacement régulier selon x et d'un mouvement de chute avec vitesse initiale equation selon y. Ce qui correspond aux équations suivantes:

equation et equation   (30.120)

en éliminant le temps entre ces deux équations nous obtenons la trajectoire

equation   (30.121)

Nous calculons ainsi la portée equation du projectile en posant equation dans l'équation ci-dessus et nous obtenons facilement:

equation   (30.122)

la solution equation n'a aucun intérêt.

L'hauteur maximale equation peut être calculée en annulant la dérivée de l'équation de la trajectoire. Ainsi nous obtenons facilement :

equation   (30.123)

Nous remarquons pour la portée maximale que pour une vitesse initiale donnée, nous obtient pour equation:

A) aucune valeur si equation. Nous nous sommes donné une portée inaccessible.

B) Deux valeurs equation et equation complémentaires pour atteindre la même portée.

C) Une seule valeur equation donnant la portée maximale possible

La courbe enveloppant toutes les paraboles, tracée pour une vitesse equation donnée dans toutes les directions possibles, est encore une parabole, appelée "parabole de sûreté". Sa rotation autour de l'axe y engendre un paraboloïde qui circonscrit (contient) la région de l'espace seule accessible aux projectiles.

equation
  (30.124)

Ainsi, il n'est pas trop difficile de trouver l'équation de cette parabole de sûreté:

Le tir à la verticale equation nous est connu et est donné par

equation   (30.125)

La portée maximale est quant à elle donnée par:

equation   (30.126)

Donc quant equation tel que:

equation   (30.127)

qui est l'équation de la parabole de sûreté.

MOUVEMENTS CIRCULAIRES

De tels mouvements décrivent la rotation d'un objet autour d'un axe. L'usage veut qu'on le définisse par les données suivantes:

- la direction de l'axe dans l'espace

- le sens de rotation autour de cet axe

- la vitesse de rotation

Nous résumons ces trois indications par la donnée d'un vecteur "vitesse angulaire" instantanée:

equation   (30.128)

Le sens de rotation est dit positif lorsque, le pouce dressé dans la direction de equation, nous saisissons l'axe de la main droit et voit tourner l'objet dans le sens des quatre autres doigts.

La norme de la vitesse angulaire instantanée, représente l'angle parcouru par unité de temps, par l'objet qui se déplace dans le plan perpendiculaire à equation:

equation   (30.129)

Remarques:

R1 Dans le cas général du mouvement circulaire, la vitesse angulaire de l'objet étudié varie au cours du temps: equation

R2. Lorsque la direction de l'axe change, les composantes du vecteur unitaire equation sont également des fonctions du temps. C'est le cas d'une roue de moto dans un virage.

En tournant d'un angle equation, un point de l'objet situé à une distance R de l'axe de rotation décrit un arc de cercle de longueur:

equation   (30.130)

Donc dans le cas des petits angles:

equation   (30.131)

Si dt est le temps nécessaire à ce mouvement, la vitesse curviligne du point est:

equation   (30.132)

Si nous nous donnons un repère euclidien orthonormé tel que:

equation
  (30.133)

Nous voyons bien sur cette figure que : 

equation   (30.134)

Donc finalement nous avons :

equation   (30.135)

Nous voyons alors que nous avons affaire à un produit vectoriel et tel que:

equation   (30.136)

Nous avons donc: 

equation   (30.137)

que nous écrivons également:

equation   (30.138)

L'accélération du mouvement circulaire est formée dans le cas général, de deux termes, le premier étant "l'accélération tangentielle" exprimant toujours la variation de la vitesse sur la trajectoire et le deuxième l'accélération perpendiculaire le long du rayon appelée également "accélération centripète" (centripète signifiant: "qui tend à rapprocher du centre").

Remarque: Si nous exprimons le mouvement circulaire du point P  à partir d'un système d'axes situés dans le plan de la trajectoire, pour simplifier, alors, la position du point P est donnée par:

equation   (30.139)

Ce qui montre que le mouvement circulaire peut être considéré comme la superposition de deux mouvements sinusoïdaux déphasés de equation.

Si l'on écrit: equation   (30.140)

ce qui est tout à fait envisageable pour une trajectoire imparfaitement circulaire et que l'on regarde les différentes caractéristiques paramétriques:

equation   (30.141)

en faisant varier le déphasage equation et le rapport equation nous obtenons des courbes que nous appelons des "figures de Lissajous" :

equation
  (30.142)


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