Cours de mécanique classique ou rationnelle

MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

1. Lois de Newton

1.1. Loi d'inertie

1.2. Principe fondamental de la mécanique

1.3. Loi d'action/réaction

2. Conditions d'équilibre

3. Centre de masse et masse réduite

3.1. Théorème du centre de masse

3.2. Théorème de Guldin

4. Cinématique

4.1. Position

4.2. Vitesse

4.3. Accélération

4.3.1. Plan osculateur

5. Principe de relativité galiléen

6. Moment cinétique

6.1. Théorème du moment cinétique

6.2. Moment de force

6.3. Statique des forces

7. Balistique

8. Mouvements circulaires

9. Travail et Energie

9.1. Energie cinétique

9.1.1. Moment d'inertie :

(Rayon de giration - Moment d'inertie polaire - Théorème d'Huygens-Steiner - Tenseur d'inertie - Théorème d'Huygens-Steiner généralisé - Ellipsoïde d'inertie)

9.1.2. Gyroscope :

(Gyroscope symétrique pesant - Gyroscope de Foucault - Toupie)

9.2. Energie potentielle gravifique

9.2.1. Energie potentielle d'une sphère de matière

9.3. Conservation de l'énergie mécanique totale

9.4. Conservation de la quantité de mouvement

9.5. Loi de Newton généralisée

9.5.1. Action lagrangienne (hamiltonienne)

9.5.2. Lagrangien mécanique

10. Puissance

10.1. Puissance d'une machine tournante

10.2. Rendement

11. Mouvements relatifs et forces d'inerties

11.1. Force de Coriolis

12. Mouvements oscillatoires

12.1. Pendule de Newton

12.2. Pendule simple

12.3. Pendule physique

12.4. Pendule élastique

12.5. Pendule conique

12.6. Pendule de torsion

12.7. Pendule de Foucault

12.8. Pendule de Huygens

13. Tribologie

13.1. Frottement statique

13.2. Frottement dynamique

13.3. Lois de Coulomb

13.4. Frottement visqueux horizontal

13.5. Frottement visqueux vertical

13.6. Frottement visqueux de Stokes vertical

13.7. Frottement visqueux de Stokes horizontal

Avant d'aborder l'étude des corps solides en mouvement dans le cadre de la mécanique classique (à l'opposé de la mécanique relativiste) appelée également "mécanique rationnelle" ou "mécanique newtonienne", il peut sembler être dans l'ordre logique des choses de définir et d'étudier les propriétés relativement à leur état statique.

Définitions:

D1. Un phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsqu'il ne subit aucune dynamique (accélération ou in extenso : force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre comme un état statique, bien qu'il ne soit qu'apparent car il peut être le résultat de deux dynamiques opposées qui se compensent ! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène statique sont des constantes, les valeurs concrètes de ces grandeurs sont calculables.

De manière plus technique cette définition est érigée au rang de principe appelé le "principe fondamental de la statique" qui énonce que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que la résultante générale et le moment résultant des forces extérieures soit équivalent à zéro par rapport à son centre de masse ou de gravité. (la condition est suffisante pour les problèmes de mécanique qui traitent des solides indéformables).

D2. La "statique" est l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à des forces en équilibre

D3. Toute cause capable d'accélérer (concept défini plus loin) ou de déformer un corps est appelé "force" (concept introduit rigoureusement par Newton et sur lequel nous reviendrons en détail plus loin lors de l'énoncé des trois lois de Newton).

Remarque: En mécanique classique nous ne nous posons naturellement pas la question d'une transformation du temps. Les changements envisagés concernent la grandeur position et ses dérivées. En effet, en mécanique classique, nous postulons le "temps de Newton" : le temps s'écoule de façon identique d'un référentiel à l'autre.

D4. Un système matériel S (ensemble de points matériels ) est dit "solide indéformable" (rigide), ou simplement "solide", si les distances mutuelles des points matériels le constituant ne varient pas au cours du temps :

(30.1)

LOIS DE NEWTON

Les trois lois de Newton sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations et découlent donc de notre expérience quotidienne.

Cependant, les développements de la physique moderne et qui se basent sur les conséquences de ces trois lois sont en tel accord avec les conditions théoriques qu'impose le principe de moindre action et les expériences y relatives, que leur validité pourrait ne plus être mise en doute (...)

PREMIÈRE LOI (LOI D'INERTIE)

Définition: Tout corps ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (décrit par le centre de masse), sauf si des "forces imprimées" le contraignent d'en changer.

Autrement dit: Tout corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soit imprimé par un nombre de forces nulles, soit la somme des forces imprimées est nulle (c'est le principe fondamental de la statique appelé aussi "principe d'inertie").

Corollaire: Lorsque la trajectoire d'un corps n'est pas une droite ou lorsque la vitesse de ce corps n'est pas constante, on peut en conclure d'après le Principe d'inertie que les forces qui s'exercent sur ce corps ne se compensent pas.

Remarque: Nous avons démontré ce corollaire lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes de la physique.

Après la virgule de la première phrase du corollaire, jaillit en pleine lumière le mot "force". Questionnons donc ce mot : le langage courant regorge de significations différentes: la force du poignet, la force de l'âme... Aussi, la force peut-elle être aveugle ou majeure, selon le cas... Quoi qu'il en soit, elle a le pouvoir de changer le cours (le mouvement) et la forme (géométrie) des choses. Sans ignorer ce halo qui entoure le mot et qui a embarrassé plus d'un physicien avant lui, Newton donne à la force une signification très précise, qui se démarque de l'idée intuitive d'un effort physique.

Propriétés :

P1. La force est une grandeur vectorielle

P2. L'effet d'une force, ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite d'action.

Une force est donc une grandeur physique qui se manifeste par ses effets :

E1. Effet dynamique : une force est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement ou la forme (géométrie) d'un corps

E2. Effet statique : une force est une cause capable de produire une déformation d'un corps.

Toute force peut être représentée par un vecteur dont les quatre propriétés sont :

P1. Direction : droite selon laquelle l'action s'exerce

P2. Sens : sens selon lequel l'action s'exerce sur la droite

P3. Point d'application : point où l'action s'exerce sur le corps

P4. Intensité : la valeur (norme) de la force

Il est possible de ranger la plupart des forces par famille telles que :

F1. Les "forces de réaction" : chaque corps exerce une force sur un autre corps qui est en contact avec lui. Par exemple, si un objet repose sur une table, cette table exerce une force égale et opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfonce pas dans la table - ce sont des mécanismes quantiques qui sont à l'origine de cette force de réaction). Cette force est toujours à la verticale du point de contact.

F2. Les "forces de frottement" : la force de frottement existe lorsque deux corps sont en contact. Elle s'oppose toujours au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au mouvement n'a pas seulement un effet négatif, elle est indispensable pour assurer aussi le contact entre deux surfaces (par exemple : contact des pneus sur la route, freinage, ...).

F3. Les "forces de tension" exercées sur un corps : c'est une force qui tire sur un élément d'un corps comme par exemple, la tension exercée par un fil, par un ressort (cf. chapitre de Génie Mécanique).

F4. Les "forces à distance" : ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs vectoriels comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique, le champ gravitationnel. Ce dernier a comme particularité s'il est isotrope (nous le démontrerons lors de notre étude de la statique des forces) de pouvoir se réduire à l'étude du centre de gravité du corps.

DEUXIÈME LOI (PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE)

Définition: Le changement de mouvement est proportionnel à la "force motrice imprimée", et s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.

Une force, nous le savons, est dans le langage de Newton ce qui provoque le "changement du mouvement" et pas autre chose... Mais, supplément au programme, les mots "changement du mouvement" de cette loi cachent une signification mathématique, différente de l'intuition "changement de vitesse". Pour Newton, nous avons vu qu'un corps au repos était caractérisé par sa quantité de matière, sa masse. S'inspirant de certains prédécesseurs, Newton pose qu'un corps en mouvement "transporte une certaine quantité", appelée sans fioritures : la "quantité de mouvement". C'est en fait cette quantité qui, sous le simple mot "mouvement" est contenue dans l'énoncé de la seconde loi. La quantité d'un mouvement est la mesure que nous tirons à la fois de sa vitesse (concept que nous définirons plus loin lors de notre étude de la cinématique) et de sa quantité de matière, autrement dit, par définition, le produit de sa masse par sa vitesse.

(30.2)

En utilisant les symboles mathématiques modernes, la première partie de cette deuxième loi peut alors se reformuler :

La force est égale à la variation en fonction du temps de la quantité de mouvement, soit dans un cadre non relativiste :

(30.3)

Cette relation est donc valable tant que la vitesse est très inférieure à celle de la lumière comme nous le verrons en lors de notre étude de la mécanique relativiste bien plus tard, car Newton supposa que la masse ne variait pas (ou ne semblait pas varier...) en fonction de la vitesse. Ainsi, la "relation fondamentale de la dynamique" (R.F.D.) est donnée par :

(30.4)

et peut s'énoncer ainsi : Soit un corps de masse m constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Rappel : La "masse" est une mesure pour la quantité de matière contenue dans le corps (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique). La masse est une constante indépendante de l'endroit où elle se trouve (unité S.I. kilogramme : [kg]). Le "poids", correspond lui à la force (unité S.I. newton : N) qu'un objet exerce sur une autre par l'intermédiaire d'un champ gravitationnel. Il dépend de l'endroit où nous nous trouvons (voir ci-dessous l'équation de la force gravitationnelle de Newton).

Nous verrons (démontrerons) que dans le cadre d'un corps tombant dans un champ gravitationnel à symétrie sphérique, nous avons :

equation (30.5)

dans le cadre de notre vieille Terre, nous avons pour habitude de poser:

(30.6)

Dans le système Eulérien et en coordonnées cartésiennes, une grandeur donné d'un milieu continu aura une distribution en fonction des quatre variables indépendantes x, y, z, t. Pour de petites variations dx, dy, dz et dt, la variation totale de s'exprimant par (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(30.7)

En suivant une particule dans son mouvement, nous observons pendant un temps dt des déplacements dx, dy, dz. Nous pouvons donc exprimer à partir de l'expression précédente la variation totale de pendant le temps dt. Nous obtenons ainsi l'expression d'une dérivée très importante en physique théorique dite "dérivée particulaire":

(30.8)

En mécanique nous allons particulièrement travailler avec le champ gravitationnel Newtonien. Dès lors, la relation reliant la force à l'accélération prend une forme plus générale:

Soit la dérivée particulaire de la vitesse (pour les trois coordonnées spatiales):

(30.9)

Ce qui s'écrit aussi :

(30.10)

Ce qui peut s'écrire aussi sous forme condensée:

(30.11)

La deuxième loi de Newton s'écrit alors:

(30.12)

Cette formulation de la deuxième loi de Newton est de la plus haute importance en physique. Elle rend compte explicitement de la force subie par un point matériel dans un champ vectoriel en fonction de la vitesse et non plus de la position. Nous retrouverons cette formulation en mécanique des milieux continus dans notre étude des fluides et plasmas, en électromagnétisme ainsi qu'en Relativité Générale.

TROISIÈME LOI (LOI D'ACTION ET RÉACTION)

Énoncé : la réaction d'un corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée et d'intensité et de direction égale à la force imprimée.

Cette troisième loi est plus connue sous le nom de : "principe d'action/réaction" et découle de la première loi de Newton selon le raisonnement mathématique lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes de la physique.

Nous pouvons également dire encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en contact exercent l'un sur l'autre toujours des forces opposées en sens mais égales en intensité et en direction

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces soit en équilibre statique, il faut que la résultante de ces forces soit nulle. Soit :

(30.13)

Définitions:

D1. Un solide rigide est un ensemble de points rigidement liés.

D2. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un corps sont dans un même plan, le système de forces est dit "système coplanaire".

Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme le résultat macroscopique de phénomènes microscopiques complexes, à savoir des interactions à distance entre particules. Ces interactions sont au nombre de quatre et je désire nullement en parler maintenant car elles font appel à des outils mathématiques qui sont hors contexte dans cette section du site.

Remarque: La relation précédente, qui définit donc tout corps à l'équilibre, ouvre l'étude a de très nombreux cas pratiques et constitue à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques que nous appelons la "statique des forces" et que nous développerons après avoir introduit le concept de moment de force.

CENTRE DE MASSE ET MASSE RÉDUITE

Il s'agit du cas particulier du barycentre avec toutes ses propriétés que nous avons déjà largement développé dans le chapitre de Géométrie Euclidienne (donc nous vous conseillons fortement de vous y référer) mais rapporté à la physique :

Soit un solide formé de n points de masse et repérés par leurs vecteurs de position respectifs.

Définition: Nous appelons "centre de masse" (ou "centre d'inertie" s'il y a égalité stricte entre masse grave et masse inerte comme nous en avons fait mention dans le chapitre traitant des Principes de la mécanique) un point G auquel nous pouvons rattacher tout la masse du système (et donc son analyse!!) et tel que, l'origine étant arbitrairement choisie il soit donné par (nous démontrerons cette relation lors de l'étude de la statique des forces) :

equation (30.14)

De façon identique, nous définissons la masse réduite du système par la relation :

equation (30.15)

Si nous considérons le solide comme continu (vrai seulement à l'échelle macroscopique en première approximation) alors il vient :

equation (30.16)

Intégrales étendues au volume du solide en entier.

De plus, si le solide est homogène (cas particulier), de masse volumique , alors , dV étant l'élément de volume. L'équation peur alors s'écrire (la notation de la triple intégrale est réduite à une seule par souci de condensation d'écriture):

equation (30.17)

Soit en composantes :

equation (30.18)

Propriétés :

P1. Si le solide possède un axe de symétrie, alors G est sur cet axe

P2. Si le solide possède un plan de symétrie, alors G est sur ce plan

P3. Si le solide possède plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur intersection

Remarques:

R1. Le centre de masse G peut se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un boomerang, etc.)

R2. Il ne faut pas confondre "centre masse" et "centre de gravité" (dit également "barycentre" - voir le chapitre traitant de la Géométrie Euclidienne) qui se confondent si et seulement si la masse du corps étudié est homogène.

Il n'est pas évident de calculer le centre de masse d'un corps donné relativement simple. Ce n'est pas que les outils mathématiques à manipuler soient complexes loin de là (simple intégrale, Pythagore et quelques multiplications et intégrations par parties) mais il faut aborder le problème d'une façon élégante et si nous n'avons pas tout de suite la bonne approche nous nous casserons très vide les dents. Nous conseillons donc aux professeurs qui abordent ce sujet et les exercices y relatifs, de les faire avec les élèves (donc en classe) mais en laissant ces derniers débattre de la façon dont le professeur doit attaquer le problème au tableau noir (cela marche très bien).

THÉORÈME DU CENTRE DE MASSE

Sous l'action des forces extérieures , agissant en chaque point du solide, chacun de ces points prend l'accélération correspondant à la force appliquée . En utilisant la loi de Newton (voir la définition de cette loi plus loin) pour chaque point et en sommant les effets nous aurons (dans un cas non relativiste) :

(30.19)

en vertu de la position du centre de masse donnée par la relation :

equation (30.20)

il vient si le référentiel est posé sur le centre de masse :

où (30.21)

soit:

(30.22)

C'est le théorème du centre de masse, que nous pouvons énoncer ainsi:

Le centre de masse d'un solide se meut comme un point matériel de masse égale à celle du solide et auquel serait appliqué la somme des forces extérieures. Un exemple simple est celui d'un projectile explosif décrivant en absence de pesanteur une trajectoire courbe. Si le projectile explose et se fragmente, le centre de masse des éclats continue à décrire la trajectoire courbe qu'il avait entamée.

Remarque: Dans le cas particulier du solide (ensemble de points) soumis au champ de la pesanteur,

est le poids du solide et G s'appelle alors "centre de gravité" (d'où l'origine de cette appellation).

Reprenons l'équation :

equation (30.23)

donnant la position du centre de masse. Sa vitesse vaut:

(30.24)

en posant :

(30.25)

où est la quantité de mouvement du système, il vient:

(30.26)

Cette relation montre que si la somme des forces extérieures est nulle alors:

(30.27)

Donc la quantité de mouvement du système entier est conservée et le mouvement du centre de masse du système est inaltéré. Ceci justifie les remarques faites lors de l'étude de la conservation de la quantité de mouvement.

Dans l'étude des interactions entre particules, il est souvent commode d'utiliser un système de référence lié au centre de masse de l'ensemble des particules. Ce centre de masse étant au repos dans ce référentiel sa vitesse y est nul ainsi que la quantité de mouvement totale, comme le montrent les équations ci-dessus. Cette propriété constitue le puissant avantage de cette description.

Remarque: En mécanique, l'usage du centre de masse (point matériel) est particulièrement aisé car le système de forces est régi seulement par la loi de Newton. Avec des particules électrisées (charges), il en va tout autrement. Les effets électromagnétiques sont dominants lors de leurs accélérations, ce qui induit des phénomènes ondulatoires interactifs nettement plus complexes. C'est la raison pour laquelle nous ne verrons jamais une étude sur ce site du "centre de charge" lorsque nous aborderons l'électrostatique dans le chapitre d'Électrodynamique...

THÉORÈME DE GULDIN

Le théorème de Guldin permet dans certains cas, de simplifier le calcul du centre de masse de certains corps.

Premier théorème : Soit une plaque plane, homogène, d'épaisseur constante e, de masse volumique placé dans un plan cartésien xOy. Nous avons alors par rapport à l'axe y: