Cours de mécanique analytique



MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Formalisme Lagrangien

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

Nous devons la forme actuelle de la mécanique analytique appelée aussi parfois "mécanique lagrangienne" aux travaux des frères Bernoulli et particulièrement d'Euler et Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraie physique théorique.

Au fait, l'événement de départ de la mécanique analytique provient de l'observation suivante (énoncée au 17ème siècle) : Tout système semble évoluer d'un état à un autre toujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur constante entre les deux états.

Remarques:

R1. Les moyens précités peuvent êtres : le chemin le plus court, le chemin le plus rapide (les trajectoires spatio-temporelles à plus faibles amplitudes en gros...).

R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante est choisie comme étant l'énergie.

Cet énoncé est appelé dans le cadre de la mécanique "principe de moindre action (de Maupertuis)" ou dans le cadre de la physique générale "principe variationnel" ou encore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'économie" ou "principe de Fermat". Dans le cadre mathématique faisant purement abstraction des concepts physiques, nous parlons de "principe de Hamilton".

Plus techniquement, il est aussi formulé de la manière suivante : Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la variation de l'action (voir plus loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle.

Au fait, bien que cet énoncé puisse paraître comme cohérent, il peut faire douter mais... nous verrons :

1. Qu'en mécanique classique, nous pouvons démontrer la première loi de Newton en admettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation de l'énergie et nous pouvons expliquer le mouvement de nutation presque tout solide simple.

2. En électromagnétisme, nous retrouverons toutes les équations de Maxwell (in extenso la loi de Biot-Savart, Faraday, force de Lorentz, loi de Laplace, etc.) à partir des propriétés du principe de moindre action et de conservation de l'énergie.

3. En optique, nous démontrerons que le chemin suivi par la lumière est toujours la plus courte et nous permettra donc de démontrer le principe de Fermat à la base de toute l'optique géométrique.

4. En physique atomique, les propriétés du principe de moindre action nous permettront de déterminer certaines propriétés mathématique des atomes et autres particules (les fermions et les bosons en physique quantique des champs).

5. Le principe de moindre action nous permettra également de démontrer que tout corps, avec ou sans masse, est dévié par un champ d'accélération et... permet donc de déterminer l'équation d'Einstein des champs qui est à la base de tout le chapitre sur la relativité générale.

6. Ce principe s'applique également pour obtenir des résultats puissants en géométrie comme nous allons le voir un peu plus loin. Ainsi, les techniques de la mécanique analytique est très intiment liée à la mathématique pure.

Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phénoménales de ce principe!!

Historiquement, il est intéressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau de Maupertuis qui a énoncé le premier le principe de moindre action sous forme peu scientifique. L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a été de mettre sous forme mathématique ce principe et de démontrer (tenez-vous bien...) qu'il découle d'une simple propriété mathématique des optima des fonctions continues. Il va sans dire, que sachant que cela a permis de redémontrer toutes les lois de la physique en a dérangé plus d'un...

Ce principe a eu (et a toujours) des répercussions inimaginables et le problème fut d'appliquer l'expression mathématique de ce dernier à tous les phénomènes physiques qui avaient déjà étés démontrés de façon expérimentale et empirique à l'époque. Effectuer cette démonstration revenait ainsi à expliquer pourquoi tel phénomène ou tel loi était ainsi plutôt qu'autrement. Imaginez !

Ainsi, le premier à s'attaquer au problème fût donc le Bâlois (Suisse) Léonhard Euler. Mais nous avons également gardé le nom de Lagrange (d'où l'appellation : "formalisme lagrangien") pour définir toute la méthode et le formalisme mathématique construit autour du principe de moindre action.


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