FORMALISME LAGRANGIEN



MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Formalisme Lagrangien

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus courante est la formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mécanique Classique). Elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problème concret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter des problèmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des démonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique.

La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentes formulations très mathématisées de la mécanique classique, notamment les mécaniques de Hamilton et de Lagrange (toutes ces formulations sont équivalentes!).

Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bien l'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peu plus élevé que les méthodes normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieuse dans l'élaboration de théories (physique fondamentale, physique quantique, relativité générale, théorie quantique des champs, théorie des supercordes), il en découle rarement de nouvelles solutions (mais plutôt une réduction et une méthode de validation utile et très puissante).

Commençons donc notre travail :

COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES ET RÉFÉRENTIELS

Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace à la seule connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z. Cette attitude est d'ailleurs le plus souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situations rencontrées dans la pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plus élaborées ou de passer dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il est nécessaire dans un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un "repère" est un système (physique concret) de repérage dans l'espace associé au référentiel.

Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des bases d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientés et où chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par ses valeurs d'affixes (la valeur à l'ordoonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur à l'abscisse (projection sur l'axe horizontal).

Voici quelques exemples triviaux:

equation

equation
(ou plan d'Argand-Cauchy)

equation
  (29.1)
Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle, la distance entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée simplement "abscisse".

Définitions:

D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare que nous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si :

- Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvement du système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel lui même immobile.

Donc si on néglige le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, alors le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil, alors le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de la Terre sur elle même, alors le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen. Dans beaucoup d'expériences de mécanique à la surface de la Terre, nous constatons que le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen avec une très bonne précision. Heureusement qu'il y a quand même un tas de phénomène où il faut tenir compte de la rotation de la Terre (déviation vers l'est, pendule de Foucault...etc.)

- Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées (cf. chapitre de Mécanique Classique)

D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique) du corps étudié.

Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du système solaire, le "repère héliocentrique" appelé aussi "repère de Kepler" au centre d'inertie du Soleil.

D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre. Les axes, parallèles à ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce référentiel la Terre tourne sur elle même en 24 [h.].

D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre et qui à un mouvement de rotation uniforme correspondant à la vitesse de rotation de la Terre. Traditionnellement un des axes est dirigé vers l'étoile polaire. C'est le référentiel auquel nous nous référons le plus dans la vie courante il n'est donc pas galiléen en toute rigueur! Ceci va induire des effets particuliers sur les mouvements dans l'atmosphère tels que nous les ressentons.

Remarque: Dire qu'un repère orthonormé equation est un "repère direct" signifie que l'angle orienté equation a pour mesure principale equation (dans le sens horaire). Dire qu'un repère orthonormé equation est un "repère indirect" signifie que l'angle orienté a pour mesure principale equation. Dans tout ce qui suit, si nous ne spécifions pas l'orientation, cela sous-entend que equation est direct.

Il est bien exact que les trois paramètres x, y, z suffisent parfaitement à repérer un point matériel dans l'espace usuel comme nous en avons déjà fait mention dans notre étude des espaces ponctuels (cf. chapitre sur les Principes), mais il n'en demeure pas moins qu'il est parfois inévitable, ou même tout simplement plus avantageux, d'utiliser un nombre de paramètres supérieur à trois. Nous pouvons évidemment envisager toutes sortes de paramétrages pour atteindre les coordonnées d'un point dans l'espace, de telle sorte que, d'une façon plus généralisée nous serons amenés à prendre en considération des relations du type (nous ne gardons plus la même écriture que celle que nous avions lors de notre étude des espace ponctuels par cohérence avec les nombreuses références déjà existant sur le sujet):

equation   (29.2)

Les paramètres equation portent le nom de "coordonnées généralisées", paramètres auxquels un problème sera le plus souvent référé. Connaître leur expression en fonction du temps est le problème fondamental de la dynamique. Cela signifie que nous serons parvenus à une solution quand nous disposerons des relations indépendantes :

equation   (29.3)

Il est donc important de retenir que le nombre de paramètres equation définissant le repérage d'un point dans l'espace est au moins égal à trois, sans être nécessairement différent de trois. C'est finalement la nature des situations envisagées qui suggèrent le choix du nombre des paramètres à utiliser (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques,...).

Dans une vision plus générale, la configuration instantanée d'un système, quelle qu'en soit la nature, sera déterminée par la connaissance, en fonction du temps, de n paramètres, n définissant le nombre de "degrés de liberté" du système (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est tout naturel, mathématiquement, d'associer la manipulation des n paramètres equation au recours à un hyper-espace à n dimensions, dans lequel les equation apparaîtraient comme les coordonnées d'un point P représentatif de la configuration d'un système quelconque. Nous donnons à cet espace à n dimensions equation, le nom "d'espace de configuration".

Mais la rigueur de la mathématique-physique, nous amène à disposer d'une description plus précise des phénomènes en ajoutant cette variable importante qu'est le temps, considérée souvent comme variable indépendante, aux equation. Nous en arriverons donc fatalement à utiliser un autre hyper-espace equationauquel nous avons donné le nom "d'espace des événements". 

Ce dernier espace de référence revêt un intérêt capital pour un grand nombre de problèmes de la science moderne et se trouve particulièrement bien adapté aux raisonnements de nature relativiste. Les variables indépendantes constituant les coordonnées spatiales et temporelle forment alors ce que nous appelons les "variables d'Euler".

Dans la mesure où les paramètres equation sont simplement présentés comme des fonctions explicites du temps, le point P décrit une courbe paramétrée, définie par equation, avec equation. Cela revient à exploiter simultanément les équations:

equation   (29.4)

Il arrivera fréquemment que, pour des raisons d'opportunité, nous souhaitions changer de système de coordonnées généralisées, et utiliser un autre ensemble plus compatible avec les spécificités du problème envisagé. Nous substituerons alors au jeu des equation un nouveau jeu de coordonnées equation. Il est alors évident que nous devrons, avant toute chose, nous doter des relations de dépendance existant entre les deux ensembles de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (29.5)

Les fonctions equation seront maintenant supposées définies, continues, de classe equation (pour travailler avec l'accélération) par rapport aux equation et devront conduire à un jacobien différent de zéro (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). 

Dans ces conditions, à chaque point equation de l'espace des configurations des x, noté equation, correspondra un point equation de l'espace de configuration des q , noté equation. Nous avons ainsi effectué une transformation ponctuelle, autrement dit une application de l'espace sur lui-même.

Pour étudier des milieux continus (concept radicalement différent du point matériel), nous aurons cependant deux approches différentes:

1. Méthode de Lagrange: nous cherchons à caractériser le mouvement du milieu décrit par une formulation Lagrangienne consistant donc à le caractériser en se donnant un système d'équations au sens newtonien. Par dérivations, nous avons alors la vitesse et l'accélération du milieu.

2. Méthode d'Euler: Au lieu de suivre le parcours d'un point, nous portons notre attention sur l'évolution des caractéristiques physiques en un point donné comme la vitesse, l'accélération la température, la pression ou autre. Nous parlons alors fréquemment de "système Eulérien".

PRINCIPE VARIATIONNEL

Le "principe variationnel" n'est donc que la forme mathématique contemporaine du principe de moindre action qui est, comme nous en avons déjà fait mention, à la base du formalisme lagrangien.

Rappelons que selon l'énoncé du principe variationnel nous devons trouver dans tout phénomène physique, une certaine quantité qui est naturellement optimisée (minimisée ou maximisée) et qui décrit toutes les variables du système étudié et ainsi son issue.

Voici la démarche que nous allons suivre, une fois cette démarche présentée, nous nous attaquerons à sa formalisation mathématique.

Les propositions sont les suivantes:

P1. Nous supposons donc le principe variationnel et le principe de conservation de l'énergie comme justes.

P2. L'énergie totale d'un système fermé est constante et constituée de la sommation de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Si nous ne considérons que l'énergie cinétique, alors le système est dit "système libre", si les deux énergies sont considérées, nous disons alors que le système est un "système généralisé".

P3. Nous définissons une fonction mathématique (dont les variables sont les coordonnées généralisées) appelée "Lagrangien" qui est donnée par la différence entre les deux énergies précitées.

P4. Sur l'évolution d'un système entre deux états, nous cherchons les propriétés de la fonction (du langrangien) qui donne la minimisation de la variation de la différence des deux énergies sur l'évolution temporelle ou métrique du système.

Enfin, une fois cette propriété déterminée (mise sous la forme que nous appelons "équation d'Euler-Lagrange") nous chercherons toutes les autres propriétés possibles afin d'avoir les outils nécessaires pour la physique théorique et vous allez voir cela marche terriblement bien...

Donc, pour mettre cela sous forme mathématique, nous commençons par poser qu'il existe une fonction réelle de 2n variables:

equation   (29.6)

que nous appellerons "Lagrangien généralisé" du système, dont l'intégrale satisfait à l'énoncé suivant :

Dans un mouvement naturel partant d'un point equation à l'instant equation, arrivant au point equation à l'instant equation, l'intégrale suivante appelée "intégrale d'action" ou simplement "action":

equation   (29.7)

qui peut aussi être notée dans une écriture plus abrégée :

equation   (29.8)

doit être un extrémum (en fait, "un minimum" ou "un maximum", puisque nous aurions pu tout aussi bien prendre -L au lieu de +L dans le choix de la définition du Lagrangien généralisé).

L'action S est ce que nous appelons communément en physique une "fonctionnelle" et a les unités de l'énergie multiplié par le temps puisque L est une énergie.


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