FORMALISME CANONIQUE



MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Formalisme Lagrangien

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

Le formalisme canonique n'introduit pas une nouvelle physique mais propose une nouvelle gamme d'outils pour étudier les phénomènes physiques. Son élément central, le "Hamiltonien", joue un grand rôle en physique quantique. 

Comme dans le formalisme de Lagrange nous travaillerons avec des quantités comme l'énergie, T et V plutôt qu'avec des quantités vectorielles comme la force de Newton.

Dans le formalisme de Lagrange, la description d'un système mécanique à n degrés de liberté décrits par les coordonnées générales equation indépendantes (non contraintes) nous mène à n équations d'Euler-Lagrange:

equation   (29.43)

qui sont des équations différentielles du 2ème ordre.

Dans le formalisme canonique (ou de Hamilton), un système mécanique à n degrés de liberté toujours décrits par des equation indépendants nous mènera à 2n équations du premier ordre (plus simple à résoudre).

Chez Lagrange nous comparons principalement des trajectoires et par conséquent les equation et les equation sont tous indépendants. Chez Hamilton nous devrons d'abord apprendre à définir les "moments généralisés", notés  equation, pour remplacer les coordonnées généralisées equation et equation qui sont aussi tous indépendants.

Remarque: L'origine des moments conjugués sera triviale dès que nous aurons vu un premier exemple concret.

TRANSFORMATION DE LEGENDRE

Cette transformation est souvent utilisée en thermodynamique où elle permet de relier entre eux les différents potentiels thermodynamiques. En mécanique ou en géométrie elle permet de définir le hamiltonien à partir du lagrangien et inversement. Nous en donnons une description simplifiée et suffisante.

Soit une fonction f(u,v) où u,v sont les deux variables indépendantes dont dépend f

Définissons:

equation   (29.44)

La transformation de Legendre permet de définir une fonction equation qui peut remplacer equation:

equation   (29.45)

Soit maintenant la différentielle totale de f (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (29.46)

De la définition de g nous calculons:

equation   (29.47)

et nous avons donc:

equation   (29.48)

HAMILTONIEN

Soit un lagrangien equation que nous traiterons comme la fonction f ci-dessus avec les equation jouant le rôle de u et les equation le rôle de v. A la place de w, nous définissons les moments généralisés également appelés "moments canoniques":

equation   (29.49)

avec equation.

Avant de continuer voyons ce que nous permet de faire cette définition :

Nous définissons donc, en analogie avec g, une fonction des equation et des equation que nous noterons equation:

equation   (29.50)

Attention! La relation obtenue :

equation   (29.51)

appelée "fonction de Hamilton" ou "Hamiltonien" est plus qu'importante (comme tout le reste d'ailleurs). Nous la retrouverons, entre autres, en physique quantique relativiste ou encore en physique quantique des champs. Par ailleurs, un très joli exemple de tout ce que nous avons vu maintenant est donné dans le chapitre de Relativité Restreinte où nous calculons le lagrangien et hamiltonien d'une particule libre. Les résultats sont assez pertinents et leur utilité et justesse en électrodynamique plus que étonnante.

exempleExemple:

Une autre application importante et très connue de la mécanique analytique est le calcul des surfaces minimales (physique et architecture). Si nous nous intéressons à la détermination d'une telle surface en imposant qu'elle soit une surface de révolution, nous allons voir que nous trouvons une caténoïde (soit la forme prend un film de savon ente deux anneaux).

Nous nous donnons les rayons equation et equation de deux cercles et l'écartement l entre les deux cercles. Nous cherchons une fonction y de classe equation telle que:

equation et equation   (29.52)

et que la surface de révolution sous forme paramétrique:

equation   (29.53)

possède une surface minimale.

Nous savons que la surface d'un volume de révolution peut s'écrire (cf. chapitre Formes Géométriques):

equation   (29.54)

Soit en faisant varier la fonction:

equation   (29.55)

Puisque equation l'intégration par parties du deuxième terme donne:

equation   (29.56)

Comme les bornes d'intégration sont fixes, le premier terme sera nul. Il reste alors:

equation   (29.57)

et donc:

equation   (29.58)

Le minimum cherché correspond à equation quelque soit equation ce qui impose la condition:

equation   (29.59)

nous retrouvons l'équation d'Euler-Lagrange.

Cette équation peut aussi s'écrire sous une autre forme. En introduisant le moment canonique pour simplifier:

equation   (29.60)

Nous avons alors immédiatement:

equation   (29.61)

Nous obtenons alors:

equation   (29.62)

Ainsi, en posant l'analogie vue plus haut (méthode de Hamilton):

equation   (29.63)

nous aboutissons à:

equation   (29.64)

Ainsi en se rappelant qu'au début nous avions:

equation   (29.65)

Nous aboutissons à:

equation   (29.66)

Ce que nous pouvons aussi noter (car la constante a un signe indéterminé):

equation   (29.67)

Nous avons alors:

equation   (29.68)

Nous avons déjà intégré ce type d'équation différentielle en détails dans le chapitre de Génie Civil dans l'étude de la chainette. Le résultat est:

equation   (29.69)

la surface de révolution de cette courbe étant une caténoïde:

equation
  (29.70) Source: Wikipédia

Ce qui est un exemple remarquable qui montre l'intime relation entre la mathématique et la physique!

Cette figure peut-être obtenue avec Maple comme suit:

y:=cosh(x);
plot3d([x,y*cos(phi),y*sin(phi)],x=0..2,phi=0..2*Pi)

Maintenant, si L dépend du temps (ce qui est quand même assez souvent le cas..) nous avons comme différentielle totale :

equation   (29.71)

nous calculons aussi la différentielle totale de equation et y substituons le résultat obtenu précédemment :

equation   (29.72)

ce qui montre bien que equation est fonction des equation (et du temps). 

Nous pouvons donc aussi écrire pour sa différentielle totale :

equation   (29.73)

et comme les equation et equation sont indépendants nous identifions, en comparant nos deux expressions que:

equation   (29.74)

Ces relations sont elles extrêmement importantes car nous les retrouverons en magnétostatique, en physique quantique relativiste et aussi en physique quantique des champs sous une forme un peu plus barbare (mais magnifique aussi...).

Considérons maintenant le deuxième terme du premier membre de l'équation d'Euler-Lagrange. Nous avons : 

equation   (29.75)

et ainsi, nous obtenons les 2n équations ci-dessous :

equation   (29.76)

Ces 2n équations sont appelées "équations canoniques du mouvement" et sont des équations différentielles du premier ordre.

Remarque: L'apparition du signe moins " - " entre les équations pour les equation et celles pour leurs moments conjugués, s'appelle une "symétrie symplectique".

De :

equation   (29.77)

nous pouvons, sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, calculer:

equation   (29.78)

Remarque: Si H ne dépend pas du temps nous avons alors equation, alors H (ainsi que L), sont une "constante du mouvement".

Un exemple s'avère indispensable à ce niveau d'avancement de l'étude du formalisme Lagrangien. Nous allons nous restreindre à un cas particulier d'une particule soumis à une force en une dimension. Mais bien que cet exemple et les développements qui y sont liés soient simples nous retrouverons les résultats obtenus ici dans bien d'autres parties du site. Il est donc important de bien l'étudier et de bien le comprendre (ce qui nécessite malheureusement aussi que le contenu du chapitre de Mécanique Classique soit connu par le lecteur).

exempleExemple:

Soit une particule de masse m se déplaçant en une dimension (disons x) et soumise à une force dérivant d'un potentiel tel que:

equation   (29.79)

Nous savons que son lagrangien est:

equation   (29.80)

Nous n'aurons qu'un seul moment (la quantité de mouvement), noté p, conjugué à x et défini par:

equation   (29.81)

équation que nous pouvons (que nous devons !) inverser (de la définition de la quantité de mouvement) :

equation   (29.82)

Nous pouvons noter en ce point le moment p correspond (ô hasard !!) à la composante x de la définition élémentaire equation (ce qui ne sera pas toujours aussi trivialement le cas). 

Selon la définition de l'Hamiltonien il vient alors :

equation   (29.83)

que nous écrivons souvent sous la forme :

equation   (29.84)

T est donc l'énergie cinétique exprimée en fonction des moments.

CROCHETS DE POISSON

Le crochet de Poisson equation est la façon standard de noter une certaine opération qui implique les quantités equation et equation ainsi que l'ensemble des variables canoniques equation définie par :

equation   (29.85)

qui exprime la manière de parcourir un champ (le crochet étant nul si les deux types de parcours sont égaux).

de cette définition nous pouvons déduire certaines propriétés relativement triviales :

P1. equation

Démonstration:

equation   (29.86)

equationC.Q.F.D.

P2. equation

Démonstration:

equation   (29.87)

equationC.Q.F.D.

P3. equation

Démonstration:

equation   (29.88)

equationC.Q.F.D.

P4. equation

Démonstration (nous allons simplifier la notation pour condenser...):

equation   (29.89)

Bon et ici, histoire de pas avoir un truc illisible, long et ennuyeux on va démontrer la propriété pour equation et nous supposerons (bien évidemment) qu'elle est valable pour tout n :

equation   (29.90)

Nous avons en plus (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sous certaines conditions la propriété equation. Dès lors l'ensemble des termes s'annulent (c'est de l'algèbre élémentaire) pour avoir finalement :

equation   (29.91)

où la dernière expression est appelée "identité de Jacobi".

equationC.Q.F.D.

Au delà d'une simple notation, le calcul des crochets de Poisson est assez facile et permet d'obtenir nombre de résultats intéressants. D'autre part, ils sont intimement reliés aux "commutateurs" de la physique quantique que nous étudierons dans le détail dans le chapitre concerné.

Considérons maintenant une fonction quelconque equationdont la dérivée totale par rapport au temps le long d'une trajectoire s'écrit (vous y reconnaîtrez quelque chose que vous connaissez déjà... ) :

equation   (29.92)

Si cette trajectoire est une trajectoire physique, elle obéit aux équations canoniques de l'hamiltonien H du système:

equation   (29.93)

et alors:

equation   (29.94)

En particulier, cette équation permet un calcul facile des constantes du mouvement, equation. En effet, le calcul de equation est immédiat et le calcul de equation un assez simple exercice.

Il existe une famille de résultats intéressants des crochets de Poisson. Parmi les plus importants, calculons certains de ces crochets entre des variables canoniques, coordonnées et moments :

equation   (29.95)

puisque par définition, les coordonnées et moments ne sont pas directement dépendants :

equation   (29.96)

d'où :

equation   (29.97)

et de manière identique :

equation   (29.98)

Mais :

equation   (29.99)

où rappelons-le, equation est le symbole de Kronecker défini par :

equation   (29.100)

Attention ! equation n'est pas commutatif. Effectivement, le lecteur contrôlera facilement que :

equation   (29.101)

Ce qui implique un résultat assez général que nous retrouverons en physique quantique  :

equation   (29.102)

TRANSFORMATIONS CANONIQUES

Nous disons des equation que ce sont des "variables canoniques généralisées". Ce n'est pas un euphémisme puisqu'il n'y a pratiquement aucune limite à ce qu'elles peuvent représenter physiquement.

Puisque tel est le cas, il doit exister des transformations entre ces différents choix. Nous noterons equation les nouvelles variables canoniques obtenues suite à une telle transformation.

Nous ne sommes pas surpris par contre de constater que ces transformations sont soumises à des conditions assez sévères. En effet, les equation sont généralisés et obéissent à :

equation   (29.103)

et les équations canoniques :

equation   (29.104)

sont invariantes de forme. Ainsi, à la suite d'une transformation des equation vers les equation et définissant un nouvel hamiltonien que nous noterons equation nous devrons avoir :

equation   (29.105)

et les équations canoniques :

equation   (29.106)

Strictement, les équations de transformation peuvent s'écrire :

equation   (29.107)

avec equation et doivent pouvoir s'inverser puisque la physique reste indépendante des variables que nous employons pour la décrire, donc nous pouvons écrire les transformations inverses :

equation   (29.108)

avec equation. Les equation forment 4n variables mais il est évident que seules 2n d'entre elles sont indépendantes.