ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE



MÉCANIQUE ANALYTIQUE

1. Formalisme Lagrangien

1.1. Coordonnées généralisées et référentiels

1.2. Principe variationnel

1.3. Équation d'Euler-Lagrange

1.3.1. Théorème du calcul variationnel

1.4. Formalisme canonique

1.4.1. Transformation de Legendre

1.4.2. Hamiltonien

1.4.3. Crochets de Poisson

1.4.4. Transformations canoniques

Le principe de moindre action énonce donc que (l'intégrale) S est extrêmale si:

 equation   (29.9)

est la trajectoire naturelle effectivement suivie par le système physique. 

Considérons alors une trajectoire très voisine à la précédente, que nous noterons:

equation   (29.10)

Remarque: Nous avons omis maintenant l'écriture des arguments t des fonctions du temps afin d'alléger les écritures.

Si equation est bien l'évolution d'un système évoluant selon le principe de moindre action, alors l'action donné par la variation :

equation   (29.11)

est nulle pour equationet equation tendant vers zéro (sous-entendu que tout système physique revient à son état initial sans intervention extérieure).

Ce qui nous amène à écrire :

equation   (29.12)

Ce qui nous permet de justifier la dénomination de "principe variationnel" (aussi appelée parfois le "principe de stationnarité de l'action"):

equation   (29.13)

Ce principe stipule donc que la trajectoire d'une particule (ou d'un système plus général) s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soit stationnaire par rapport à une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nous effectuons une variation infiniment petite de la trajectoire, la variation doit être nulle.

Pour un système mécanique simple l'action est alors évidemment de par le principe de conservation de l'énergie égale à l'intégrale sur la trajectoire de (par définition du lagrangien) la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Dès lors, dans une théorie pour laquelle les forces dérivent d'un potentiel V, nous sommes naturellement amenés à définir le "Lagrangien" par la relation (il faudra s'en souvenir !) :

equation   (29.14)

T et V sont la notation traditionnelle dans le formalisme Lagrangien de l'énergie cinétique et de l'énergie potentiel données par :

equation et  equation   (29.15)

Remarque: Pour l'étude de la relativité générale, nous ne chercherons pas à ce que la variation de la différence des énergies soit minimale tel que c'est le cas pour les systèmes mécaniques, mais la variation de la longueur d'un arc ds (non dépendant du temps contrairement à l'exemple précédent) dans un espace quelconque lors d'une trajectoire d'un système libre. Ce qui nous amènera à écrire simplement (rappelez-vous en aussi car ce sera très important) l'action:

equation   (29.16)

pour un masse unitaire et en prenant les unités naturelles.

Pour revenir à notre application du principe variationnel dans le cas du lagrangien généralisé, nous pouvons alors écrire la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de dL et nous obtenons alors la relation :

equation   (29.17)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le deuxième terme de la somme de l'intégrale précédente :

equation   (29.18)

Le premier terme de la dernière égalité est nul puisque 

equation   (29.19)

Effectivement, par définition, les equation ont exactement le même ordre de grandeur.

L'expression de l'intégrale de moindre action peut finalement s'écrire :

equation   (29.20)

Mais les equationet equation tendent vers 0 d'une infinité de manières différentes et nous devons cependant avoir néanmoins equation. Cela veut dire alors que chaque terme sommé de l'intégrale peut être pris indépendamment et doit satisfaire :

equation   (29.21)

Mais comme les fonctions equationet equation  peuvent toujours tendre vers zéro de multiple façon, et que cette intégrale doit être quand même nulle, nous en déduisons que ce sont les intégrandes qui sont nuls :

equation   (29.22)

Ces n équations, satisfaites par le lagrangien généralisé du système pour le mouvement effectivement suivi, sont appelées "équations d'Euler-Lagrange", ou plus brièvement (mais plus rarement) "équations de Lagrange". Ce sont, comme nous allons le voir, les équations du mouvement du système: résolues, elles donnent l'évolution effective du système dans le temps.

 equation   (29.23)

Remarque: C'est en étudiant la physique (les chapitres suivants du site) que l'on comprend mieux les applications de cette équation (obtenue quasiment que par des développements purement mathématiques !!!) et qu'il devient alors possible de comprendre sa signification. A notre niveau du discours, il est inutile de dire quoi que ce soit. Il faut faire de la physique, et encore de la physique pour la comprendre et la voir apparaître.

Donc dans l'approche lagrangienne, nous apprenons à raisonner à partir des concepts d'énergie potentielle et cinétique, au lieu des concepts de force. Les deux approches sont évidemment équivalentes physiquement, mais les énergies n'étant pas des quantités vectorielles, elles sont conceptuellement plus faciles à utiliser dans une vaste gamme de problèmes. En physique quantique par exemple, la notion de force n'a aucune signification mais les notions d'énergie demeurent valables. C'est une raison de plus pour se familiariser avec leur utilisation. De plus, la force au sens de Newton est une action instantanée à distance. En relativité, une telle chose est impossible. La notion de force est donc une création purement classique et macroscopique contrairement à notre intuition, son intérêt est limité.

Exemple d'application (les autres exemples seront vus pendant notre étude des lois de Newton, de l'électrodynamique, de la relativité restreinte, de la relativité générale, de la physique quantique des champs, etc..):

Dans un premier temps, posons sous une forme mathématique conventionnelle l'équation d'Euler-Lagrange (la notation des coordonnées généralisées n'est pas identique en mathématiques à celle de la physique...):

equation   (29.24)

Prenons un exemple mathématique pratique simple mondialement connu et très important (nous réutiliserons les développements effectués ici pour l'étude du pendule de Huygens).

L'énoncé du problème est le suivant : déterminer quel est le plus court chemin entre deux points d'un plan (nous devinons que c'est la droite mais il faut le démontrer!).

Ce problème consiste à trouver la courbe paramétrée la plus courte equation qui relie deux points (attention la variable t n'a rien à voir avec le temps!) :

equation   (29.25)

Ainsi la longueur infinitésimale par application de Pythagore est :

equation   (29.26)

Ainsi, la longueur de la courbe paramétrée est donnée par :

equation   (29.27)

Il s'agit d'une relation que nous retrouverons souvent en physique et en mathématiques!!

Ainsi, ce problème, dont la solution géométrique est très simple, se formule sous forme de problème de calcul variationnel de la manière suivante :

equation   (29.28)

Ecrivons l'équation d'Euler-Lagrange que la solution de ce problème, si elle existe, doit vérifier.

Nous avons :

equation   (29.29)

L'équation d'Euler-Lagrange dans ce cas particulier devient alors :

equation   (29.30)

Donc :

equation   (29.31)

C est une constante d'intégration (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Cette dernière égalité implique que :

equation   (29.32)

En revenant aux notations utilisées au début :

equation   (29.33)

donc nous avons par intégration :

equation   (29.34)

ce qui est bien l'équation d'une droite. Autrement écrite :

equation   (29.35)

THÉORÈME DU CALCUL VARIATIONNEL

Le théorème du calcul variationnel consiste à montrer qu'en considérant f une fonction continue sur equation à valeurs réelles et H l'ensemble des fonctions continues sur equation indéfiniment dérivables surequation et qui s'annulent en a et b alors pour toute fonction equation :

equation   (29.36)

f est nulle sur equation.

Pourquoi s'intéresser à ce théorème? Parce que nous le rencontrerons très souvent lors de l'application du principe variationnel ayant une configuration de ce type. Effectivement, rappelons que le principe variationnel amène à avoir :

equation   (29.37)

et l'expression intégrée est rarement une fonction simple comme le lecteur s'en apercevra au cours de sa lecture des différentes chapitres du site. Il est donc important de connaître une propriété qui simplifie parfois l'analyse du problème.

Remarque: Certains penseront que le cas avec equation avec equation et equation contredit l'énoncé du théorème! Au fait ce n'est pas vraiment ça... le théorème se doit d'être valable pour equation et non juste pour l'exemple cité. D'où le fait que f devra bien être nul comme nous allons le démontrer.

Démonstration:

Pour simplifier nous prendrons le cas equation, equation. A quelques détails techniques près la preuve par l'absurde ci-dessous peut être adaptée au cas a, b quelconques.

Supposons que f ne soit pas nulle sur equation. Alors il existe equation tel que equation. Nous pouvons supposer equation (même raisonnement si equation).

Par l'hypothèse initiale de continuité et de non nullité de f il existe alors un petit intervalle autour de equation sur lequel f  est strictement positive. C'est-à-dire, qu'il existe equation tel que equation et equation.

Considérons à présent la fonction equation définie par

equation   (29.38)

Nous vérifions assez facilement que equation est continue (positive) sur equation et indéfiniment dérivable sur equation (cf. chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Différentiel Et Intégral).

De plus, equation. Et donc, equation. Voici une représentation graphique de equation :

equation
  (29.39)

A partir de equation nous voulons obtenir une fonction continue sur equation, indéfiniment dérivable sur equation positive sur equationet nulle en dehors de equation afin de montrer l'absurde de l'hypothèse de non nullité de f pour que le théorème soit vérifié (rappelons que nous sommes en train de faire un démonstration par l'absurde!) .

Pour ceci, il suffit de centrer equation en equation et de la contracter.

La fonction equation définie par :

equation   (29.40)

répond aux critères exigés. De plus, equation et donc, equation.

Ainsi, la fonction equation sera continue sur equation positive sur equation et nulle ailleurs.

Nous avons :

equation   (29.41)

Or, si une fonction equation est continue et positive et :

equation   (29.42)

cela entraîne forcément (nous supposerons cela comme trop intuitif pour avoir besoin d'être démontré) equation sur equation.

Par conséquent equation sur equation or equation selon notre hypothèse absurde initiale, ce qui est contradictoire.

L'hypothèse de départ est donc bien fausse et f doit être nulle sur equation

equationC.Q.F.D.


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