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Loi de lorentz

En électrostatique, nous avons calculé la force exercée par une ou un ensemble de charges au repos sur une charge immobile ou en mouvement. La force exercée s'écrivait alors de la manière suivante:

  (36.83)

Dans le cas le plus général, où les charges agissantes sont en mouvement, la force qu'elles exercent sur une charge ponctuelle q placée en un point de l'espace est la somme de deux termes : l'un qui est indépendant de la vitesse  de cette charge, l'autre qui en dépend. Voici comment s'écrit cette relation :

  (36.84)

qui n'est d'autre que la "loi de Lorentz" ou "force de Lorentz".

Pour démontrer cette relation, nous allons poser deux hypothèses mais avant il est important d'informer le lecteur que cette démonstration nécessite des outils mathématique non nécessairement évidents (il faut avoir lu le chapitre de Mécanique Analytique et de Physique Quantique Ondulatoire pour comprendre) :

H1. Soit une particule ponctuelle non-relativiste de masse m, de position  et de vitesse ; nous supposons qu'elle est soumise à une force et qu'elle satisfait les équations de Newton:

  (36.85)

avec les relations de commutations suivantes (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (36.86)

Il faut bien voir que la dernière relation est une hypothèse et qu'elle n'est pas équivalente aux règles de commutation que nous avons vues en physique quantique entre positions et impulsions!

H2. Il existe des champs  et , ne dépendant pas des vitesses, tels que:

  (36.87)

et qui vérifient les équations de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

  (36.88)

A un niveau classique, nous exprimons les hypothèses de commutation en utilisant la correspondance commutateurs-crochet de Poisson (cf. chapitre de Mécanique Analytique), soit:

  (36.89)

avec (rappel):

  (36.90)

Maintenant, nous définissons un potentiel vecteur  (cf. chapitre d'Électrodynamique) tel que:

  (36.91)

alors l'hypothèse () de commutation peut s'écrire:

  (36.92)

donc nous pouvons dire que ne dépend que de  et t puisqu'il commute identiquement à .

De plus, nous savons que la mécanique classique admet une formulation lagrangienne (équivalent aux équations de Newton) pour laquelle les équations de la mécanique deviennent (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

  (36.93)

où L désigne le lagrangien du système. Dès lors, avec:

  (36.94)

nous pouvons intégrer la relation : 

  (36.95)

et nous obtenons:

  (36.96)

Le signe "-" de la constante d'intégration du potentiel vecteur se justifie pour être en cohérence avec ce que nous avons vu en théorie de Jauge (cf. chapitre d'Électrodynamique).

La seconde équation de Lagrange  nous donne alors:

  (36.97)

En développant un peu:

 et   (36.98)

Pour l'ensemble des coordonnées, cela donne sous forme condensée et en utilisant les outils de l'analyse vectorielle:

  (36.99)

Donc:

  (36.100)

ou autrement écrit:

  (36.101)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la force de Lorentz où  et sont donnés par:

  (36.102)

comme nous l'avons vu en théorie de Jauges. Certes la démonstration est loin d'être évident mais elle est possible.

Arrêtons-nous un instant sur l'expression de la force de Lorentz. Nous voyons avec cette relation, qu'une charge immobile (ou non) dans un champ électrique subira une force qui lui donnera l'impulsion nécessaire à faire varier son énergie cinétique (nulle ou non nulle au départ). Cette constatation n'est cependant pas valable pour le champ magnétique. Effectivement, lorsque nous plaçons une charge immobile dans un champ magnétique, cette dernière ne subira aucune force du champ magnétique et donc ne verra pas son énergie cinétique varier. Si la particule chargée à une vitesse initiale non nulle, il s'ensuit que le champ magnétique va changer les composantes du vecteur vitesse mais pas la norme. Ainsi, nous avons pour habitude de dire que : "le champ magnétique ne travaille pas".

Démonstration:

  (36.103)

Donc :

  (36.104)

L'énergie cinétique de la particule ne change donc effectivement pas à cause du champ magnétique.

Maintenant, si nous nous intéressons uniquement au second terme de cette relation, nous pouvons arriver à démontrer la loi de Laplace :

Nous avons:

  (36.105)

où  est la densité volumique de charge. Si  et sont supposés parallèles nous pouvons écrire que:

  (36.106)

Une densité de courant nous permet de calculer la vitesse d'entraînement des porteurs de charges dans un conducteur. Le nombre d'électrons de conduction dans un fil est égal à:

  (36.107)

où n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et  le volume du fil.

Une quantité de charges  traverse un fil en un temps t donné par:

  (36.108)

L'intensité I du courant étant définie par:

  (36.109)

nous obtenons que:

  (36.110)

De:

  (36.111)

Nous pouvons maintenant tirer que:

  (36.112)

Enfin, nous trouvons que:

  (36.113)

qui est la "loi de Laplace" ou "force de Laplace".

Voyons quelques cas importants d'application de la loi de Lorentz :

EFFET HALL CLASSIQUE

Précédemment, nous avons étudié l'action d'une induction magnétique sur un circuit filiforme en ayant pour but de trouver l'expression des forces magnétiques appliquées à la matière même de ce circuit.

Portons maintenant notre attention sur les électrons de conductivité eux-mêmes, en nous plaçant dans le cas de la figure ci-dessous:

  (36.114)

où un ruban métallique est parcouru par un courant continu . Le vecteur densité de courant  est constant et parallèle aux grands côtés PQ ou RS du ruban.

Imaginons alors que le ruban soit plongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire aux plans PQ et RS (selon l'axe Z). Les charges mobiles de densité volumique  contenues dans un élément de volume dV sont donc soumises à la force magnétique :

  (36.115)

Cette force modifie les trajectoires des électrons mobiles et, au cours d'un régime transitoire, provoque leur accumulation sur le bord avant du ruban tandis qu'un excès de charges positives apparaît sur le bord arrière.

Ce phénomène produit un champ électrique supplémentaire parallèle à RP qui exerce sur les charges mobiles du volume une force électrique:

  (36.116)

Les deux forces s'opposent donc l'une à l'autre et la force coulombienne tend à ramener les trajectoires électroniques dans leur position initiale. Un régime permanent s'établit peu à peu. 

Quand ce régime est atteint, la densité de courant est à nouveau parallèle à PQ et les forces électriques et magnétiques ci-dessus sont vectoriellement opposées. Nous avons donc :

  (36.117)

avec :

  (36.118)

Dans certains ouvrages cette égalité est notée sous forme de ses composantes telle que :

  (36.119)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre d'Électrocinétique:

  (36.120)

dès lors :

  (36.121)

Nous définissons alors le "coefficient de Hall" par :

  (36.122)

peut être aussi bien utilisé à l'équilibre pour la mesure de que par extension si nous supposons alors donc à la mesure de la densité de porteurs dans l'échantillon.

Dans un semi-conducteur à deux dimensions, l'effet Hall est également mesurable. Par contre, à suffisamment basse température, nous observons une série de plateaux pour la résistance Hall en fonction du champ magnétique. Ces plateaux apparaissent à des valeurs précises de résistance, et ce, indépendamment de l'échantillon utilisé. Ceci fait l'étude de "l'effet Hall quantique" que nous n'étudierons pas dans ce chapitre.

Sous forme scalaire la relation de "l'effet Hall", encadrée ci-dessus, s'écrit:

  (36.123)

Nous pouvons aussi l'exprimer en explicitant la différence de potentiel qui correspond par définition au champ électrique.

Si l est la largeur du ruban, nous avons:

  (36.124)

Si e est son épaisseur, le courant  I qui le parcourt est:

  (36.125)

Compte tenu des positions relatives des divers vecteurs, la relation exprimant l'effet Hall équivaut donc à:

  (36.126)

Plus esthétiquement et sous une forme traditionnelle, la tension de l'effet Hall est donnée par:

  (36.127)

avec:

  (36.128)

qui est la "constante de Hall". Elle est inversement proportionnelle à la densité des porteurs libres et dans le cadre des métaux elle est négative.

Dans d'autres domaines d'étude comme celui des semi-conducteurs, nous écrivons la tension de Hall sous la forme traditionnelle:

  (36.129)

où q est la charge de l'électron et n la notation traditionnelle (sic!) de la densité de porteurs dans le cadre de l'étude des semi-conducteurs.

Nous avons alors dans ce dernier domaine la constante de Hall qui est définie par:

  (36.130)

Ce qui a fait cependant la renommée de l'effet Hall, outre le fait que ce résultat est utilisé pour fabriquer des sondes de champs magnétiques, c'est que pour certains types de semi-conducteurs cette constante de Hall est positive!!!! Ce qui signifierait avec les modèles standards que nous avons à notre disposition jusqu'à maintenant, qu'il y aurait des charges positives qui feraient office de courant... et à l'époque de la mise en place de cette expérience, ceci était inexplicable.

Or nous verrons plus tard qu'en utilisant la théorique quantique dans le cadre des semi-conducteurs que des charges positives peuvent pourtant sous certaines conditions apparaître et être à l'origine d'un courant!

RAYON DE LARMOR

Un cas très intéressant d'étude de laboratoire est le mouvement d'une charge dans un champ magnétique uniforme. Pour cette étude, considérons une particule de masse m et de charge q placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale .

Nous avons selon la loi de Lorentz :

  (36.131)

Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ, cette direction est privilégiée. Nous allons donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deux composantes, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au champ, . L'équation du mouvement s'écrit alors :

  (36.132)

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ ! Prenons un repère cartésien dont l'axe Z est donné par la direction du champ magnétique tel que . L'équation du mouvement ne s'écrit dès lors que plus que sur deux composantes puisque :

  (36.133)

d'où :

  (36.134)

Une solution très simple à ces deux équations différentielles est dans un cadre non relativiste :

  (36.135)

où nous avons donc choisi une vitesse initiale suivant X. En intégrant, nous obtenons :

  (36.136)

où les constantes d'intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc un cercle de rayon :

  (36.137)

appelé "rayon de Larmor", décrit avec la pulsation :

  (36.138)

dite "pulsation gyro-synchrotron". Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pour des charges négatives.

Le problème d'une telle configuration pour construire un accélérateur, c'est que si nous augmentons l'énergie de la particule (en ajoutant un champ électrique synchronisé sur la pulsation gyro-synchrotron et colinéaire au mouvement), sa vitesse augmente mais le rayon de Larmor aussi. Or, le "cyclotron" qui est basé sur ce système a un rayon limité puisqu'il est difficile de maintenir un champ magnétique constant sur une grande surface.

Plus difficile encore, dans le cas relativiste, la pulsation s'écrit avec le facteur de Fitzgerald-Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (36.139)

Nous voyons alors qu'il faut ajuster la pulsation du champ électrique à la pulsation de rotation lorsque la vitesse augmente: l'accélérateur est maintenant un "synchrocyclotron".

Pour résoudre le problème de l'augmentation du rayon, nous utilisons alors un "synchrotron" constitué d'un tube à vide unique comportant de sections droite contenant des cavités accélératrices et des section cours équipées d'aimants créant à chaque instant le champ magnétique adapté à la vitesse des particules. Cette technique, dont il est facile de parler mais très difficile à mettre en pratique, est la plus utilisée à nos jours. Le LHC du CERN fait partie de la famille des synchrotrons

A partir de cette relation il est inversement aisé d'avoir l'énergie cinétique de la particule:

  (36.140)

C'est sur la base de cette relation que fonctionnent les "spectromètres de masse de Dempster". C'est en utilisant cette technique que les chercheurs ont découvert dans les années 1920 que les atomes d'un même élément chimique n'ont pas nécessairement la même masse. Les différentes variétés d'atomes d'un même élément chimique, variétés qui diffèrent par leur masse, sont les isotopes (cf. chapitre de Physique Nucléaire).

Le rayon de Larmor correspond à la distance la plus grande que peut parcourir une particule dans la direction transverse avant d'être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une sorte de distance de piégeage. A moins de recevoir de l'énergie cinétique supplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que l'énergie cinétique transverse d'une particule est élevée (grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.