Loi de Biot-Savart



COURS DE MAGNÉTOSTATIQUE

1. Théorème d'Ampère

1.1. Électro-aimant

1.1.1. Force d'un aimant ou électro-aimant

1.2. Bobine solonoïdale infinie

1.3. Bobine toroïdale

2. Relation de Maxwell-Ampère

2.1. Potentiel Vecteur

3. Loi de Biot-Savart

3.1. Dipôle magnétique

4. Loi de Lorentz

4.1. Loi de Laplace

4.2. Effet Hall classique

4.3. Rayon de Larmor

Du dernier développement, nous tirons donc :

equation   (36.37)

Rappelez-vous qu'à la dernière étape de notre développement précédent (nous l'avons précisé implicitement) que le chemin d'intégration est perpendiculaire au courant ! Mais le champ magnétique ne peut pas être nul en tout point de la ligne du courant. Dès lors, nous sommes amenés à écrire ce qui est caché :

equation   (36.38)

La relation ci-dessus nous permet donc, par extension, d'écrire sous une forme plus générale :

  equation   (36.39)

qui n'est d'autre que la "loi de Biot-Savart" souvent présentée en premier dans les classes scolaire comme début d'étude du magnétisme.

Cette dernière forme peut  tout aussi bien s'écrire (forme très importante) :

equation   (36.40)

Donc :

equation   (36.41)

Nous retrouvons ici l'approximation non relativiste du champ magnétique tel que nous l'avons déterminé lors de notre étude de la mécanique relativiste, où nous avons démontré que :

equation   (36.42)

Une autre forme importante de l'expression du champ magnétique est :

equation   (36.43)

Comme J est colinéaire à equation, nous pouvons écrire :

equation   (36.44)

Donc : 

equation   (36.45)

Une remarque importante s'impose à notre niveau du discours : dans le cadre des études scolaires pré-universitaires, les formulations mathématiques des champs magnétique et  électrique sont considérées comme des lois indémontrables d'où l'on tire plus tard les équations de Maxwell (de plus les développements ne sont pas des plus esthétiques et rigoureux). L'aspect totalement expérimental de relations aussi importantes peut avoir une image néfaste de la physique théorique sur les étudiants. Il convient dès lors de préciser que lors des études universitaire, nous avons une approche juste un peu moins pragmatique.

Effectivement, nous postulons l'équation de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dont nous nous servons pour  démontrer la formulation non relativiste de la loi de Coulomb à l'aide de la théorie de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs). Ensuite, pendant l'étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous déterminons la  forme relativiste de la loi de Coulomb. Ensuite, nous admettons l'existence du champ magnétique dont l'expression est donnée expérimentalement par la force de Lorentz (voir plus bas dans ce chapitre)  et de par les propriétés des transformations de Lorentz et de la connaissance de l'expression relativiste de la loi de Coulomb nous déterminons l'expression relativiste du champ magnétique. Ensuite, par approximation non relativiste, nous tombons sur la loi de Biot-Savart. Cette manière de procéder est beaucoup mieux accueillie par les étudiants mais pas nécessairement accessible à tous les niveaux.

Revenons maintenant sur la loi de Biot-Savart. Un exemple important en astrophysique de loi de Biot-Savart dans le cadre des jets de plasmas des disques d'accrétion sont les boucles de courant circulaires uniques (il faut y rajouter aussi la force de Laplace dans le cadre relativiste pour comprendre la dynamique de ces jets).

La figure ci-dessous en représente un bon exemple :

equation
  (36.46)

Nous avons donc une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. L'objectif étant de calculer equation et un point P de l'axe de cette boucle.

Le vecteur equation correspondant à un courant élémentaire au sommet de la boucle sort perpendiculairement du plan de la page. L'angle equation entre ce vecteur et equation est donc de equation. Le plan formé par equation et equationest normal à la figure. Le vecteur equation produit par ce courant élémentaire est normal à ce plan de par la forme de la loi de Biot-Savart. Il est donc dans ce plan de la figure et à angle droit avec le vecteur equation comme indiqué sur la figure.

Décomposons equation en deux parties : la première, equation est le long de l'axe de la boucle et la seconde, equation est perpendiculaire à cet axe. Seule la composante equation contribue à l'induction magnétique totale au point P. Il en est ainsi du fait que les composantes equation de tous les courants élémentaires sont sur l'axe et qu'elles s'additionnent directement. Quant aux composantes equation, elles sont dirigées dans différentes directions perpendiculairement à cet axe de sorte que, par symétrie, leur contribution est nulle sur cet axe (prenez vraiment garde à ce cas particulier).

Nous obtenons :

equation   (36.47)

C'est une intégrale scalaire effectuée sur tous les courants élémentaires. Nous obtenons d'après la loi de Biot-Savart :

equation   (36.48)

De plus, nous avons selon le schéma :

equation   (36.49)

En combinant ces relations, nous obtenons :

equation   (36.50)

La figure révèle que r et equation ne sont pas des variables indépendantes. Nous pouvons les exprimer en fonction de la nouvelle variable x, la distance entre le centre de la boucle et le point P. Les relations entre ces variables sont :

equation   (36.51)

En substituant ces valeurs dans l'expression de equation, nous obtenons :

equation   (36.52)

Nous remarquons que, pour tous les courants élémentaires, I,R,x ont respectivement les mêmes valeurs. L'intégration de cette différentielle donne :

equation   (36.53)

Une point important de cette relation est en equation où nous obtenons donc :

equation   (36.54)

Un autre cas d'application important de la loi de Biot-Savart consiste à reprendre l'exemple précédent, mais pour une forme continue plane quelconque et considérée comme ponctuelle et dont nous aimerions connaître la valeur du champ ailleurs que sur l'axe de symétrie. Les résultats seront très utiles lorsque nous étudierons le physique quantique corpusculaire et donc les propriétés magnétiques des métaux.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE

Le dipôle magnétique a tout comme en électrostatique, une énorme importance dans l'étude des propriétés magnétiques des matériaux pour lesquelles il permet d'élaborer de bons modèles théoriques.

Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillerions au lecteur (c'est même plus qu'un conseil) de lire le absolument tout le développement du dipôle électrostatique rigide dans le chapitre d'Électrostatique. Effectivement, la plupart des calculs qui vont suivre comportement les mêmes raisonnements, développements et approximations mathématiques à quelques infimes nuances près. Nous n'avons dès lors pas souhaité refaire les mêmes calculs intermédiaires déjà présent lors du calcul du dipôle électrostatique (cependant, si vraiment il y a difficulté de la part du lecteur, nous sommes prêts à compléter... mais bon...).

Le dipôle magnétique a une différence non négligeable relativement au cas pratique que nous nous imposons comme cadre d'étude... il n'y pas 2 charges ! Effectivement, des charges au repos émettent en première approximation (c'est expérimental et... théorique) un champ magnétique intrinsèque beaucoup trop faible pour être considéré comme intéressant dans le cadre de l'étude des propriétés magnétique des matériaux. Il convient cependant de préciser quelque chose d'intéressant (de sympa), les charges coulombiennes élémentaires sont parfois modélisées (à tort!) par les physiciens comme en rotation sur elles-mêmes (le "spin") et sont représentées comme une superpositions de spires circulaires (tiens... une spire...) en infiniment petites ce qui fait qu'un observateur dans un référentiel au repos (au centre de la charge ) peut interpréter la charge coulombienne globale comme étant un courant en déplacement dans les différentes spires, induisant ainsi un champ magnétique intrinsèque (joli non !?).

Bref, considérons un spire plane (tiens... une spire...), de forme quelconque, de centre O, parcourue par un courant permanent et constant equation dont un des points de la spire est notée par P. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l'espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire).

Remarque: Personnellement il y a certaines étapes du calcul que je trouve... comment dire... de très loin pas convaincantes... mais bon... il y a tellement d'approximations que l'on est plus à ça près... hummm....

Nous posons :

equation   (36.55)

Nous allons dont utiliser la loi de Biot-Savart dans la limite equation appartenant à la spire :

equation   (36.56)

Mais equation donc :

equation   (36.57)

Évaluons le terme equation pour des points M situés à grande distance de la spire :

equation   (36.58)

où nous avons fait comme le dipôle électrostatique rigide un développement limité à l'ordre 1.

Remarque: La dernière approximation est très grossière dans le sens qu'il s'agit d'un choix astucieux des termes à négliger pour arriver à un résultat esthétique visuellement et permettant de définir le moment magnétique dipolaire (voir un peu plus loin)...

En reportant cette expression dans la loi de Biot-Savart, nous obtenons :

equation   (36.59)

Évaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

1. equation

puisque le vecteur equation est indépendant du point equation sur la spire et que nous faisons une intégration curviligne sur toute la spire, en revenant au point de départ.

2. equation

De par les propriétés du produit vectoriel :

equation   (36.60)

Or puisque equation et equation sont perpendiculaires, nous avons equation qui est la surface infinitésimale dS' d'un carré et cela ne représente rien étant donné que l'abscisse est curviligne par rapport à O. Effectivement :

equation
  (36.61)

Donc, nous pouvons écrire :

equation   (36.62)

equation est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe Z). Ce résultat est général, valable quelque soit la surface.

D'où :

equation   (36.63)

3. equation

de par les propriétés du produit vectoriel.

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, nous avons :

equation   (36.64)

puisque nous revenons au même point de départ. Nous avons donc l'égalité :

equation   (36.65)

Nous allons utiliser ces relations pour calculer l'intégrale inconnue du début. Si nous décomposons les vecteurs equation et equation dans la base equation engendrant le plan de la spire, nous obtenons :

equation   (36.66)

or :

equation   (36.67)

D'où :

equation   (36.68)

De par l'égalité equation, nous avons :

equation   (36.69)

Rappel :

equation   (36.70)

Sous forme de composantes (seulement la troisième est non nulle), nous avons :

equation   (36.71)

d'où :

equation   (36.72)

Ce qui nous amène à écrire :

equation   (36.73)

En rassemblant ces résultats, nous obtenons pour le champ magnétique :

equation   (36.74)

Nous voyons donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue depuis une grande distance, à savoir le "moment magnétique dipolaire" :

equation   (36.75)

souvent noté aussi par un M par certains auteurs.

En faisant usage de la propriété suivante du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (36.76)

Nous obtenons alors l'expression du champ magnétique approximative créé par un dipôle :

equation   (36.77)

à comparer (pour le fun) avec l'expression du champ électrique pour un dipôle électrique rigide :

equation   (36.78)

Nous sommes quand même arrivés à mettre cela sous une forme assez identique et esthétique après quelques approximations...

Nous avons aussi :

equation   (36.79)

d'où :

equation   (36.80)

L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque doit être microscopique. En utilisant le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous pouvons nous convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Effectivement, le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron de charge equation en mouvement (circulaire) autour d'un noyau centre (un proton) avec une période equation.

Si nous regardons sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s'il y avait un courant :

equation   (36.81)

Nous avons donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c'est à dire le rayon de Bohr equation. L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque :

equation   (36.82)

equation est le moment cinétique de l'électron et q/2m le "facteur gyromagnétique". Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en rotation autour d'un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : ce qui compte c'est l'existence (scalaire) d'un courant.

Du coup, nous pouvons expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l'orientation des moments magnétique des atomes qui les composent :

- Matériaux amagnétiques: ce sont les matériaux où les moments sont distribués aléatoirement, il n'y a pas de champ magnétique intrinsèque.

- Matériaux diamagnétiques: ce sont la matériaux qui soumis à un champ magnéatique, ont leur moment qui s'opposent à celui-ci et sont donc repoussés (très faiblement) par les aimants. Ils induisent donc un moment magnétique opposé à la direction du champ magnétique.

- Matériaux paramagnétiques: ce sont les matériaux pour lesquels les moments peuvent s'orienter dans la direction d'un champ magnétique extérieur et pouvant donc être ainsi aimantés (attirés) momentanément. Ils induisent donc un moment magnétique dans la direction du champ magnétique.

- Matériaux ferromagnétiques : ce sont les matériaux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

Remarque: La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (à un angle près). Au niveau macroscopique, l'explication de l'existence du champ magnétique observé sur les étoiles est encore aujourd'hui loin d'être satisfaisante. La théorie de "l'effet dynamo" essaie de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le coeur des astres. Plusieurs faits connus restent partiellement non éclaircis :

- Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans (sur 11 ans). Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu'il y avait eu une inversion il y a environ 700'000 ans.

- Non alignement avec le moment cinétique de l'astre : s'il est de l'ordre d'une dizaine de degrés pour la Terre, il est perpendiculaire pour Neptune!


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