MAGNÉTOSTATIQUE



COURS DE MAGNÉTOSTATIQUE

1. Théorème d'Ampère

1.1. Électro-aimant

1.1.1. Force d'un aimant ou électro-aimant

1.2. Bobine solonoïdale infinie

1.3. Bobine toroïdale

2. Relation de Maxwell-Ampère

2.1. Potentiel Vecteur

3. Loi de Biot-Savart

3.1. Dipôle magnétique

4. Loi de Lorentz

4.1. Loi de Laplace

4.2. Effet Hall classique

4.3. Rayon de Larmor

Les aimants sont connus depuis l'Antiquité (sans pour autant qu'on savait qu'elle était l'origine de leurs propriétés) sous le nom de "magnétite", pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C'est de cette pierre par ailleurs que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants différentes de celles des particules chargées, il y a plus de 1'000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d'une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l'eau contenue dans un récipient gradué.

Au même titre que le champ électrique, une bonne/meilleure compréhension de l'origine de ce champ ne peut se faire que par l'intermédiaire de théories modernes comme la physique quantique ondulatoire ou la physique quantique des champs. Le lecteur débutant devra donc prendre son mal en patience avant d'avoir les connaissances nécessaires pour étudier ces théories.

L'étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart seulement en à partir de 1820. Ils mesurèrent l'amplitude des oscillations d'une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu'elle varie en raison inverse de la distance. C'est le premier cas que nous allons étudier:

Soit un déplacement de charges électriques produisant dans l'espace un champ vectoriel dont les effets sont mesurable et dont les propriétés diffèrent de celles du champ électrostatique. Nous en déduisons l'existence d'un nouveau champ vectoriel que nous appelons (temporairement) "champ magnétique" et que nous noterons equation.

Le cas d'étude le plus simple consiste en un fil rectiligne indéfini (exemple que nous pouvons aussi assimiler à un simple déplacement de charges sans nécessairement avoir un fil comme support) parcouru par un courant I  (cf. chapitre d'Électrocinétique) montre que les lignes de champ magnétique sont des cercles ayant le fil pour axe.

  equation
  (36.1)

Remarque: Le sens de  equation  se définit habituellement par l'intermédiaire de "l'observateur d'Ampère", c'est-à-dire un observateur qui serait placé le long du fil, de façon que le courant aille de ses pieds vers sa tête et qui regarderait le point M où nous évaluons le champ ma. equation est dirigé de la droite vers la gauche de cet observateur. 

Il a été expérimentalement établi que la valeur de equation à la distance r du fil est proportionnelle au courant I qui le parcourt inversement proportionnel à r :

  equation   (36.2)

Ce résultat a été obtenu expérimentalement par les physiciens Biot et Savart et constitue traditionnellement la base de l'étude théorique du champ magnétique.

Le coefficient de proportionnalité k dépend comme toujours des unités choisies. Pour l'ensemble de ces conséquences, il est avantageux d'écrire l'expression précédente sous une forme qui fasse apparaître la longueur du cercle de rayon r. Nous posons donc : 

equation   (36.3)

et obtenons ainsi la valeur du champ magnétique à une distance r d'une fil conducteur parcouru par un courant constant:

  equation   (36.4)

equation est une nouvelle constante que nous appelons "susceptibilité magnétique" (à nouveau au même titre que la permittivité électrique il existe une "susceptibilité relative") 

Théorème d'Ampère

Il est intéressant de calculer la "circulation du champ magnétique" de equation le long d'un contour equation qui tourne une fois dans le sens positif autour du fil orienté dans le sens du courant (observateur d'Ampère) :

equation   (36.5)

Remarque: Le long du contour, le champ est colinéaire au contour comme nous l'avons vu précédemment d'où le fait que le produit scalaire puisse s'écrire comme simple produite de normes.

Nous obtenons ainsi par définition "loi d'Ampère" (ou "théorème d'Ampère") :

equation   (36.6)

L'expression que nous avons obtenue peut encore être simplifiée si nous introduisons un nouvel être physique appelé "intensité du champ magnétique" ou encore plus couramment  "excitation magnétique" et qui est notée par la lettre:equation.

Si nous considérons que nous sommes dans le vide où il n'y a aucun dipôle magnétique alors nous le définissons par :

  equation   (36.7)

Dès lors, nous sommes souvent amenées à parler de "induction magnétique" pour equation et de "champ magnétique" pour equation . Mais les deux sont allégrement confondus suivant les auteurs et surtout les contextes (de même que ce sera le cas dans ce site).

Alors, finalement nous pouvons écrire la loi d'Ampère sous la forme :

equation   (36.8)

L'intérêt de la loi d'Ampère ainsi que du concept de circulation du champ magnétique paraît (peut paraître) ainsi plus évident.

Cette dernière relation à bien évidemment une grande utilité en physique théorique car elle nous permettra de déterminer d'autres résultats forts importants. Sinon, au niveau de la pratique, le physicien de laboratoire ou l'électricien/électrotechnicien sera souvent confronté à utiliser pour de petites et moyennes expériences des électro-aimants dont il pourrait souhaiter re-calibrer les valeurs nominales ou encore de solénoïdes.

ÉLECTRO-AIMANT

Déterminons donc par exemple (important et intéressant) le champ magnétique dans l'entrefer de longueur equation et de section equationd'un électro-aimant d'un de longueur equation et de section equation.

La loi d'Ampère nous donne :

equation   (36.9)

dans le cas de l'électro-aimant nous pouvons écrire que la circulation du champ est la somme de la circulation du champ de l'entrefer et de l'aimant lui-même:

equation   (36.10)

N correspondant au nombre de boucles de courant entourant l'aimant et qui permet la production du champ magnétique.

Nous avons par définition:

equation et equation   (36.11)

d'où :

equation   (36.12)

Si l'entrefer n'est pas trop grand  equation et que equation d'où :

equation   (36.13)

ce qui revient à écrire equation alors :

 equation   (36.14)

d'où :

equation   (36.15)

La relation est la même pour un électro-aimant ayant deux bobines.

FORCE D'UN AIMANT OU ELECTRO-AIMANT

Si nous avons connaissance du champ magnétique B produit par un aimant à sa surface, nous pouvons calculer avec une certaine approximation la force nécessaire pour le décoller d'une surface en Fer.

Pour cela, nous noterons F la force nécessaire pour faire décoller l'aimant à une distance d d'une surface de Fer. Nous supposerons la distance d suffisamment petite pour que l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le Fer, le champ magnétique est constant.

Ainsi, le travail fait par la force F est (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

equation   (36.16)

Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique dans le volume créé entre l'aimant et le Fer. La densité volumique d'énergie due au champ magnétique dans l'air étant (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

equation   (36.17)

Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le Fer étant égal à equation où S est la surface de l'aimant qui était collée au Fer. Nous avons alors l'équivalence dimensionnelle suivante :

equation   (36.18)

Nous en déduisons la force de contact pour de petites valeurs de d:

equation   (36.19)

B est la valeur limite du champ magnétique qui amène notre matériau à se coller à l'aimant (de façon à ce qu'en soulevant l'aimant, le matériau associée suive)

BOBINE SOLONOÏDALE INFINIE

Une application aussi particulièrement importante en électronique et électrotechnique est celle du calcul d'une bobine de fil parcourue par un courant que nous considérerons comme constant dans un premier temps. Il s'agit ni plus ni moins d'une bobine d'induction ou plus techniquement appelée une "inductance". Voyons de quoi il s'agit:

Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par un courant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction equation d'un solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons le schéma suivant et intéressons nous en approximation qu'à la partie interne du solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la parfaite jointure des bobines... :

equation
  (36.20)

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd. Ainsi :

equation   (36.21)

La première intégrale du membre de droite donne equationB est la grandeur de equation à l'intérieur du solénoïde et h, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab, même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments. equation et equation sont partout perpendiculaires : étant donné que equationest nul partout, les deux intégrales sont nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était idéal.

Ainsi, l'intégrale equation pour tout le trajet rectangulaire est equation tel que :

equation   (36.22)

mais le courant I est la somme des courants equation passant dans chacune des N contenues dans le chemin d'intégration. Mais en électronique nous avons l'habitude de travailler avec la valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec la thermodynamique ou les minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spire par unité de longueur :

equation   (36.23)

Ainsi, nous avons :

equation   (36.24)

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme à travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est utilisé pour produire un champ électrique uniforme.

BOBINE TOROÏDALE

La bobine toroïdale est un autre exemple important de l'application de la loi d'Ampère. Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique de petite puissance (ordinateurs par exemple) ou les inductances sont pour la plupart toroïdales ou la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (très...) se réduisent à des bobines toroïdales.

equation
  (36.25)

Pour des raisons de symétrie il est clair que les lignes d'induction magnétique forment des cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet d'intégration circulaire de rayon r :

equation   (36.26)

C'est-à-dire :

equation   (36.27)

Il s'ensuit que :

equation   (36.28)

Ainsi, contrairement à B l'intérieur d'un solénoïde, B n'est pas constant à l'intérieur de la bobine toroïdale.

Relation de Maxwell-Ampère

Soit equation la densité de courant en un point quelconque de l'espace dans le cas d'une distribution à trois dimensions et soit S une surface fermée qui s'appuie sur un contour equation quelconque. Le courant I qui traverse equation est bien évidemment donné par :

equation   (36.29)

D'après la loi d'Ampère, la circulation du champ magnétique le long de equationest égale à cette intégrale. Elle peut donc prendre ici, selon le choix du contour equation, une infinité de valeurs variables de façon continue. D'autre part, le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) fournit que :

equation   (36.30)

d'où :

equation   (36.31)

et nous en ressortons finalement que :

equation   (36.32)

Nous pouvons faire une similitude osée de ce résultat avec la relation ci-dessous (démontrée dans le chapitre d'Électrodynamique), par extension de la charge statique et de la charge dynamique :

equation   (36.33)

qui n'est d'autre que la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique). Dès lors, comme nous avons vu en électrostatique, nous avons :

equation   (36.34)

Par analogie, l'idée est de poser (cette hypothèse se vérifie un peu plus bas par les résultats remarquables obtenus) :

equation   (36.35)

relation que nous pouvons écrire de manière plus élégante en supposant le courant non dépendant de la position de l'observateur dans l'espace et colinéaire au vecteur perpendiculaire de la surface traversée :

equation   (36.36)

equation représente le périmètre du fil dans lequel le courant I circule.


page suivante : 3. Loi de Biot-Savart