POTENTIEL ÉLECTRIQUE



COURS D'ÉLECTROSTATIQUE

1. Force électrique

2. Potentiel électrique

2.1. Indépendance du chemin

2.2. Équipotentielles et lignes de champ

2.2.1. Fil rectiligne infini

2.2.2. Dipôle électrique

3. Flux du champ électrique

3.1. Capacités

3.1.1. Rigidité diélectrique

4. Énergie potentielle électrostatique

Soient deux point A et B dans une région de l'espace où il existe un champ électrique equation et soit un chemin equationreliant ces deux points, alors dans le cas particulier où la source d'un champ equation est une sphère ou un corps ponctuel et que nous posons une charge à son voisinage nous avons pour le travail effectué par la force pour déplacer la charge du point A au point B :

equation   (35.9)

Par ailleurs, ce travail est comme nous le verrons plus loin, assimilable à l'énergie potentielle.

Nous définissons ainsi la "différence de potentiel" ou simplement le "potentiel" donné par :

equation   (35.10)

et donc :

equation   (35.11)

Remarques:

R1. Le potentiel est souvent appelé "tension" par les électriciens, électrotechniciens ou autres ingénieurs. Parfois par abus de la langue anglophone le terme "voltage" est ensuite utilisé par référence à l'unité de mesure du potentiel qui est le "Volt" noté [V].

R2. La différence de potentiel peut aussi bien se faire entre deux bornes chargées de manières opposées (+,-) qu'entre deux bornes (+,neutre) ou encore (-,neutre). Ces deux derniers cas représentent typiquement la configuration utilisée par les trains, trams, l'orage et presque tous les appareils électroménager

Démontrons maintenant dans le cadre le plus général qui soit que le champ vectoriel stationnaire equationdérive d'un champ de potentiel :

Soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur equation . Alors en chaque point de l'espace il existe un champ equation  tel que:

equation    (35.12)

développons cette expression:

equation   (35.13)

Si  equation  est un champ de potentiel stationnaire alors, il doit exister un potentiel equation de ce champ qui satisfasse :

  equation;equation;equation   (35.14)

Regardons si le potentiel equation existe pour un champ de Coulomb.

Nous devons alors avoir pour le champ en x:

equation   (35.15)

d'où:

equation   (35.16)

et si nous effectuons le même développement pour chaque composante, nous obtenons également le même résultat. Donc le potentiel est un champ scalaire et non vectoriel comme l'est le champ électrique !

equation est appelé dans le cas d'un champ de Coulomb "potentiel coulombien" et est noté U. Comme nous pouvons le constater par l'expression de equation, C est une constante arbitraire, qui impose dans le cas d'absence de charges que:

equation   (35.17)

Ce qui nous donne finalement: 

equation   (35.18)

Ce qui donne pour toutes les composantes :

  equation   (35.19)

que nous notons plus brièvement:

equation   (35.20)

Remarque: Les mêmes développements et résultats (et ceux qui vont suivre) sont applicables en ce qui concerne le champ de potentiel gravitationnel. Cependant il est rare qu'ils soient effectués dans la littérature ou les écoles car l'être humain ne contrôle pas le champ gravitationel avec une facilité et une intensité équivalente à celle du champ électrique...

Indépendance du chemin

Démontrons maintenant que la différence de potentiel entre deux points A et B ne dépend pas du chemin equationparcouru tel que nous l'avons fait pou le champ de potentiel gravitationnel dans le chapitre de Mécanique Classique.

Soit equation un chemin reliant deux points A et B et un champ equation et faisons en sorte d'exprimer le champ en x, y et z par rapport à une seule variable t (qui n'a rien avoir avec le temps...) qui rendrait compte de sa variation lors d'un déplacement quelconque entre ces deux points:

equation
equation
  (35.21)

Cette dernière expression montre bien que U est indépendant du chemin equationquelle que soit la manière dont nous paramétrons celui-ci. 

Le champ de Coulomb est donc un "champ conservatif". En effet, si nous considérons un chemin fermé equation et soit A et B deux points confondus du chemin alors la différence de potentiel est sera nul.

ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP

Nous pouvons maintenant à partir de ce que nous avons établit, définir les "équipotentielles" et les "lignes de champ".

Soit un champ de Coulomb défini par rapport à un référentiel. Alors à chaque point (x,y,z) de l'espace, nous pouvons associer un vecteur champ électrique equation ainsi qu'un potentiel électrique.

Définition: Nous définissons les "lignes de champ" comme étant une famille de courbes pour lesquelles le vecteur equation est tangent et constant en chaque point et les "équipotentielles" comme étant des lignes pour lesquelles le potentiel U(x,y,z) est aussi constant. 

Dans ce cas, et c'est ce que nous allons démontrer, toutes les lignes de champ sont perpendiculaires à toutes les équipotentielles.

Démonstration:

Utilisons la propriété suivant de conservation du champ de coulomb pour la démonstration  :

equation   (35.22)

Comme nous sommes en présence d'un champ électrique, celui-ci dérive donc d'un potentiel comme nous le savons. Ceci implique que si le champ n'est pas nul le potentiel ne l'est également pas. Donc, dans l'intégrale curviligne:

  equation   (35.23)

un des termes est nul ! Ce n'est pas le champ électrique equationpuisqu'on est présence d'un, ce qui discrédite le potentiel U et comme la charge se déplace equation n'est pas nul non plus. Écrivons alors l'intégrale curviligne d'une autre manière:

equation  (35.24)

d'où:

  equation   (35.25)

nous pouvons donc conclure que les équipotentielles sont bien perpendiculaires aux lignes de  champ électrique et inversement. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Voici les exemples de lignes de niveaux comprenant lignes de champs et lignes de potentielles obtenu à l'aide de Maple (nous montrerons lors de notre étude des équations différentielles comment obtenir les fonctions mathématiques des lignes de champs) :

equationequation

A gauche : un seule charge - A droite : deux charges de signe égal

equationequation

A gauche : deux charges de signes opposés - A droite : quatre charges de signe égal
  (35.26)

Remarque: Mis à part avec les charges opposées, nous rappelons que les mêmes résultats sont applicables pour les masses avec le champ gravitationnel.

Deux applications de ces résultats sont très importants (pour lesquels nous nous limiterons à l'étude des propriétés les plus importantes) :

1. La détermination des lignes de champs et équipotentielles pour un fil rectiligne infini tel que nous pouvons en approximation en considérer dans les circuits électriques ou les lignes hautes tensions aériennes (afin de déterminer l'influences des champs des fils avec leur environnement - cette étude fait partie du domaine de l'électrodynamique de l'ingénieur que nous appelons la CEM pour "Compatibilité Électromagnétique").  Les résultats pourront aussi être utilisés pour déterminer la "tension de pas" pour certains systèmes rectilignes qui détermine pour une distance donnée, le potentiel par mètre pour lequel un mammifère peut être tué par électrochoc proche d'un tel fil. Une extension (sur laquelle je ne souhait pas trop m'attarder bien que le sujet soit passionnant mais très chaud) est aussi l'influence d'un tel type de potentiel sur le fonctionnement du cerveau humain dans le cas de l'usage des téléphones portables (antennes émettrices d'un potentiel) ou d'habitations proche de lignes hautes tensions....

Remarque: Nous déterminerons dans le chapitre de Magnétostatique la loi de Biot et Savart qui donne le champ magnétique pour un tel fil parcouru par une intensité de courant donnée.

2. La détermination des lignes de champs et équipotentielles du dipôle électrique qui a une énorme importance en chimie comme nous le verrons lors des développements. Nous verrons également quelle est la dynamique de celui-ci lorsqu'il est plongé dans un champ électrique uniforme l'énergie d'interaction entre dipôles (comme c'est souvent le cas en chimie).

FIL RECTILIGNE INFINI

Soit:

equation   (35.27)

Nous avons :

equation   (35.28)

en faisant usage du concept de densité linéique de charges tel que nous l'avons défini dans le chapitre Principes de la section de mécanique, nous avons :

equation   (35.29)

Considérons une ligne infinie de section négligeable, et portant une charge linéique continue equation. Le but est donc de calcul le champ électrique et le potentiel en tout point M de l'espace extérieur à cette ligne afin de connaître les influences des charges de cette ligne sur son environnement en ne considérant que l'influence du champ électrique (si les charges étaient en mouvement il faudrait également prendre en compte l'influence du champ magnétique ce que nous ferons dans le chapitre de Magnétostatique).

Pour cela, la méthode consiste à découper la ligne en de petits éléments de ligne dl, chacun de ces éléments portant une charge dq. Le champ créé par la charge en P au point M à distance x et de projection orthogonale H sur la ligne est :

equation   (35.30)

L'astuce consiste maintenant à prendre le symétrique P' de P par rapport à H (la projection orthogonale de M sur le fil) pour lequel nous avons identiquement :

equation   (35.31)

Le champ total est donc :

equation   (35.32)

Or, nous avons :

equation   (35.33)

Donc :

equation   (35.34)

Comme nous pouvons nous en douter, cette dernière relation montre bien que le champ est orthogonal à la ligne (au fil...).

La norme de equation est :

equation   (35.35)

Cette relation comporte 3 variables dépendantes r,dl,x. La norme du champ total en un point est donc la somme des normes sur l'ensemble de la longueur du fil puisque tous les vecteurs equation ont même direction.

Pour effectuer ce calcul, nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,dl,x en fonction de l'angle equation entre la ligne et le vecteur equation. Dans le triangle rectangle HMP :

equation   (35.36)

si nous prenons l'origine des z en H. Nous avons aussi :

equation   (35.37)

et :

equation
  (35.38)

d'où :

equation   (35.39)

L'intégration est facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons intégrer sur une moitié de ligne, donc entre 0 et equation :

equation   (35.40)

et donc :

equation   (35.41)

Le potentiel se déduit aisément en prenant la primitive de E :

equation   (35.42)

La constante est indéterminée puisque lorsque r tend vers l'infini, U tendant vers zéro conduit à une constant infinie. Cette indétermination est due essentiellement à l'approximation de la ligne infinie.

DIPÔLE ÉLECTRIQUE RIGIDE

Une disposition très intéressant de charges est celle constituant un "dipôle" électrique. Elle consiste en deux charges égales et opposées +q,-q séparées par une très petite distance. Nous allons chercher à déterminer le potentiel et le champ électrique en un point M de l'environnement du dipôle.

Pour déterminer cela, considérons une charge equation quelconque en un point equation et un point M très éloigné de equation. Prenons un repère quelconque centré en O :

equation
  (35.43)

Le potentiel créé au point M par la charge equation s'écrit :

equation   (35.44)

Dans le triangle equation, la distance equation peut être écrite selon le théorème du cosinus :

equation   (35.45)

Le potentiel devient :

equation   (35.46)

ou encore :

equation   (35.47)

A très grande distance, r devient très supérieur à equation, la quantité :

equation   (35.48)

tend vers zéro. Nous pouvons donc effectuer un développement de MacLaurin de equation au voisinage de equation (cf. chapitre sur les Suites Et Séries). Pour ne pas alourdir le calcul, nous nous limiterons à l'ordre deux en r :

equation   (35.49)

donc :

equation   (35.50)

En ne gardant que les termes du second ordre en r :

equation   (35.51)

Le potentiel devient :

equation   (35.52)

Nous avons gardé dans l'expression du potentiel trois termes. Le terme equation est le potentiel créé par une charge qui se trouverait en O. Autrement dit, à l'ordre zéro, le potentiel crée par une charge située en un point proche de O est identique au potentiel créé par une charge qui se trouverait en O. Les termes equation sont des termes correctifs, à l'ordre un et à l'ordre deux respectivement. Nous remarquons que ces deux termes varient en equation, donc décroissant plus vite que le premier. Ces deux termes sont donc plus efficaces à plus petite distance.

Nous voyons que les termes equation font intervenir la quantité equation. Cette quantité est ce que nous définissons comme étant le "moment dipolaire" du dipôle électrostatique:

equation   (35.53)

Remarque: Le moment dipolaire est exprimé en Coulomb par mètre mais par mesure de commodité (...) il est exprimé en Debye [D] par certains ingénieurs.

Le potentiel créé à grande distance par une distribution discrète de charges s'obtient en sommant toutes les contributions individuelles :

equation   (35.54)

Ce qui peut aussi s'écrire :

equation   (35.55)

Par définition, equationest le terme unipolaire ou monopolaire, equation le terme dipolaire, equation quadripolaire. Si la distribution de charge est au total nulle, comme c'est le cas d'un atome ou d'une molécule non ionisée, seuls subsistent les contributions multipolaires.

Revenons au dipôle. Le terme monopolaire est nul, puisque la somme des charges est nulle. Si nous négligeons les termes d'ordre supérieurs à deux, il reste la contribution dipolaire. Les angles equation et equation sont complémentaires, donc equation. Mais, comme equation, le produit equation est constant. Le potentiel s'écrit alors :

equation   (35.56)

ou encore :

equation   (35.57)

où :

equation   (35.58)

Rappelons que nous avons démontré :

equation   (35.59)

et comme nous l'avons vu en analyse vectorielle, le gradient en coordonnées sphérique nous amène à écrire :

equation   (35.60)

d'où :

equation   (35.61)

Pour déterminer l'équation des équipotentielles, rappelons que ces lignes (ou "surfaces" dans l'espace) s'obtiennent par la contrainte :

equation   (35.62)

d'où :

equation   (35.63)

avec :

equation   (35.64)

Le champ électrique doit être par définition tangent aux lignes de champ, donc parallèle au déplacement élémentaire.

equation   (35.65)

Puisque equation, nous avons :

equation   (35.66)

Donc finalement il ne reste plus que :

equation   (35.67)

Qui est donc une équation différentielle qui s'intègre facilement :

equation   (35.68)

Ce qui équivaut à écrire :

equation   (35.69)

La tracé des lignes de champs et des équipotentielles donnent alors en coordonnées sphériques (ne pas oublier que la composant verticale est nulle par symétrie) :

equation
  (35.70)

Bien que dans un dipôle électrique les deux charges soient égales et opposées, donnant une charge résultante nulle, le fait qu'elles soient légèrement déplacées est suffisant pour produire un champ électrique non identiquement nul. Dans les atomes, le centre de masse des électrons coïncide avec le noyau, et par conséquent le moment électrique dipolaire moyen de l'atome est nul. Mais si un champ extérieur est appliqué, le mouvement des électrons est distordu et le centre de masse des électrons est déplacé d'une distance x par rapport au noyau. L'atome est alors polarisé et devient un dipôle électrique de moment p. Ce moment étant proportionnel au champ extérieur equation.

Remarque: Les molécules par ailleurs peuvent avoir un moment électrique permanent. De telles molécules sont dites "molécules polaires". Par exemple, dans la molécule HCl l'électron de l'atome d'hydrogène passe plus de temps à se déplacer autour de l'atome de chlore qu'autour de l'atome d'hydrogène. Aussi, le centre des charges négatives ne coïncide-t-il pas avec le centre des charges positives et la molécule possède un moment dipolaire. Par contre, dans la molécule equation, tous les atomes sont alignés, et le moment électrique dipolaire résultant est nul par raison de symétrie.

Quand un dipôle électrique est placé dans un champ électrique, une force s'exerce sur chacune des charges du dipôle. La force résultante est :

equation   (35.71)

Considérons le cas particulier où le champ électrique est dirigé le long de l'axe des X et où le dipôle est orient parallèlement à ce champ. Si nous considérons seulement les grandeurs :

equation   (35.72)

avec a étant la distance entre les deux charges, et par conséquent :

equation   (35.73)

Ce résultat montre qu'un dipôle électrique orienté parallèlement au champ tend à se déplacer dans la direction dans laquelle le champ s'accroît (selon le gradient de celui-ci). Nous remarquons que si un le champ électrique est uniforme, la force résultant sur le dipôle est nulle.

L'énergie potentielle du dipôle est :

equation   (35.74)

Si nous utilisons la relation :

equation   (35.75)

pour décrire le champ électrique uniforme et si equation est l'angle entre le dipôle et le champ électrique, le dernier facteur equation est juste la composante equation du champ equation parallèle à equation. Donc :

equation ou equation   (35.76)

L'énergie potentielle est minimale pour equation, ce qui montre que le dipôle est en équilibre quand il est orienté parallèlement au champ.

Ces configurations d'un dipôle placé dans un champ électrique ont des applications très importantes. Par exemple, le champ électrique d'un ion en solution polarise les molécules du solvant qui entoure les ions et elles s'orientent comme sur la figure ci-dessous :

equation
  (35.77)

Dans un solvant à molécules polaires tel que l'eau, les ions d'un électrolyte en solution s'entourent d'un certain nombre de ces molécules en raison de l'interaction charge-dipôle. Ce phénomène est appelé la "solvation" de l'ion, précisément "hydratation" si le solvant est de l'eau.

Ces molécules orientées deviennent plus ou moins solidaires de l'ion, augmentant sa masse effective et diminuant sa charge effective, qui est partiellement masquée par les molécules. L'effet net est que la mobilité de l'ion dans un champ extérieur est réduite. De même, lorsqu'un gaz ou un liquide, dont les molécules sont des dipôles permanents est placé dans un champ électrique, les molécules à la suite des couples dus au champ électrique, tendent à s'aligner avec leurs dipôles parallèles. Nous disons alors que la substance a été "polarisée".

Il peut donc être intéressant de déterminer le champ électrique vectoriel produit par un dipôle plutôt que le potentiel. Le champ électrostatique crée en un point M par le doublet s'obtient en effectuant la somme vectorielle des champs créés en ce point des charges positive P et négative N, d'où :

equation   (35.78)

La distribution des charges étant invariantes par rotation autour de l'axe Oz du doublet, la topographie est indépendante de l'angle azimutal equation des coordonnées sphériques. Nous pouvons la représenter dans un plan méridien quelconque passant par l'axe NP. Le champ equation est donc donné par :

equation   (35.79)

Ayant :

equation   (35.80)

vectoriellement, nous avons :

equation   (35.81)

Le produit scalaire étant la multiplication des composantes une à une, nous avons :

equation   (35.82)

d'où :

equation   (35.83)

Finalement :

equation   (35.84)

Donc par un développement limité en série de MacLaurin comme nous l'avons fait au début :

equation   (35.85)

soit en introduisant equation :

equation   (35.86)

Il peut être pertinent aussi de calculer l'énergie d'interaction entre deux dipôles électriques. Si nous appelons equation le moment dipolaire, nous pouvons écrire :

equation   (35.87)

Si nous désignons par equation le moment du second dipôle et si nous utilisons la relation :

equation   (35.88)

nous trouvons que l'énergie d'interaction entre les deux dipôles est :

equation   (35.89)

Nous pouvons tirer plusieurs conclusions importantes de ce résultat. L'énergie d'interaction equation est symétrique par rapport aux deux dipôles, car la permutation de equation et equation la laisse inchangée. C'est un résultat prévu. L'interaction entre deux dipôles n'est pas centrale car elle dépend des angles que le vecteur de position ou le vecteur unitaire equation fait avec equation et equation.

Un atome, une molécule ou un ion, dont le moment dipolaire est nul à l'état fondamental, acquièrent un moment dipolaire sous l'action du champ électrique appliqué comme nous l'avons vu puisque les charges de signes opposées sont sollicitées dans des sens opposés. Les barycentres des charges positives et négatives ne coïncidant plus, il apparaît un "moment dipolaire induit". Dans une approximation expérimentale linéaire valable pour des champs excitateurs faible, ce moment dipolaire induit est proportionnel au champ appliqué equation, ce que nous traduisons par (il s'agit au fait d'une approximation de la relation de Langevin-Debye que nous démontrerons plus tard) :

equation   (35.90)

La quantité equation, dont la dimension physique est celle d'un volume, est la "polarisabilité" de l'édifice. L'interaction électrostatique dipôle-dipôle a été introduite par J.D. Van der Waal en 1873, dans le cas des molécules, afin d'interpréter les écarts réels par rapport au gaz parfaits.

Les forces de Van der Waals sont répulsives lorsque la distance entre les molécules est très faibles car elles s'opposent à l'interpénétration des nuages électroniques, ce que nous exprimons en introduisant leur volume (covolume).

En revanche, elles sont attractives lorsque cette distance est suffisante. Nous attribuons cette attraction à trois types d'interaction mettant en cause des dipôles rigides ou induits :

1. Les forces entre molécules polaires (dipôles rigides), dites de W. Keesm

2. Les forces entre une molécule polaire (dipôle rigide), et une molécule polarisable (dipôle induit) dites de Debye.

3. Les forces moyennes entre les dipôles induits instantanés qui apparaissent même lorsque les molécules ne sont pas polaires, dites de F. London.

Dans ces trois cas, l'énergie électrostatique est négative (attraction) et varie comme equation. Pour le montrer, calculons l'énergie d'interaction entre deux dipôles rigides, de moments dipolaires equation et equation :

equation avec equation et equation   (35.91)

Par conséquent :

equation   (35.92)

d'où :

equation   (35.93)

Ainsi, la dépendance radiale de la force est en equation. Cette décroissance très rapide de la force de Van der Waals avec la distance permet d'expliquer sa très courte portée et par conséquent sont influence lorsque le milieu est suffisamment dense.

Remarque: L'interaction entre molécules polaires, de type Keesom, est rendue très importante par la présence l'atome d'hydrogène, car ce dernier, en raison de sa petite taille, interagit aussi avec les atomes des autres molécules. C'est elle qui est là l'origine de la "liaison hydrogène".

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