FLUX DU CHAMP ÉLECTRIQUE



COURS D'ÉLECTROSTATIQUE

1. Force électrique

2. Potentiel électrique

2.1. Indépendance du chemin

2.2. Équipotentielles et lignes de champ

2.2.1. Fil rectiligne infini

2.2.2. Dipôle électrique

3. Flux du champ électrique

3.1. Capacités

3.1.1. Rigidité diélectrique

4. Énergie potentielle électrostatique

Soit equationun champ vectoriel et S une surface appelée "surface de Gauss" dans l'espace. Si nous divisons cette surface en un nombre N de petites surfaces dS chacune traversée par un champ equation et ayant un vecteur unitaire equation perpendiculaire (cas particulier) à leur surface, nous pouvons alors former la somme:

equation   (35.94)

Lorsque N tends vers l'infini et tous les dS vers zéro, nous obtenons pour cette somme:

equation   (35.95)

La valeur de cette intégrale est appelée donne donc le flux equation du champ equationà travers la surface S délimitée par un domaine equation et où equation.

Dans le cas du champ électrostatique, nous écrivons :

equation   (35.96)

Cette expression définit le "flux électrique".

La question inévitable qui se pose alors est : quelle est sa signification physique ? Le flux d'un fluide est la quantité de fluide (notamment le volume) qui traverse une surface par seconde; il y alors écoulement de quelque chose. Quant au flux électrique, du point de vue classique, rien ne s'écoule, le champ électrique est déjà établi et il est statique, mais il traverse la surface. La valeur du champ électrique en tout point de l'espace est l'intensité du champ en ce point, tandis que le flux peut être considéré comme la quantité de champ qui traverse la surface S. Il y a une centaine d'années, les physiciens identifiaient le flux avec le nombre des lignes de champ traversant la surface. Mais le moins que nous puissions dire est que la vision simpliste que les lignes de champ ont une une réalité distincte et que nous pouvons les compter est trompeuse. Nous verrons en mécanique quantique des champs que celle-ci soutient qu'un courant de photons virtuels est la nature même des interactions électromagnétiques. Malgré cela, les physiciens ne se sont pas pressés d'associer le flux des photons virtuels du 20ème siècle à l'image des lignes de champs continus du 19ème siècle. Quelle que soit sa nature, la notion de flux est puissante et de grande utilité pratique, aussi bien en électricité qu'en magnétisme.

Comme nous le démontrons dans le cadre des équations de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique), la résolution de cette intégrale est (c'est la "loi de Gauss" ou également dit "théorème de Gauss") :

equation   (35.97)

capacités

Comme application directe du théorème de Gauss, très utile en électronique et pour les ingénieurs, considérons une grande feuille mince et plane, portant une charge surfacique homogène equation et baignant dans un milieu de permittivité equation. Dans la région proche de son centre, le champ résultant de tous les champs des charges est normal, uniforme, constant et s'éloigne de la feuille. Considérons une surface de Gauss en forme d'un cylindre limité par les bases equation et sa surface tubulaire equationet symétrique par rapport la feuille. Elle enferme donc une charge equation. Il en résulte que :

equation   (35.98)

et comme equation et equation, nous trouvons :

equation   (35.99)

Finalement, le champ électrique d'une grande feuille chargée plane et mince est :

equation   (35.100)

Si nous mettons face à face deux plaques identiques mais avec des charges opposées, la somme algébrique donnera bien évidemment :

equation   (35.101)

A l'exception des extrémités, où l'effet de bord est important, le champ global est partout la somme vectorielle des champs uniformes produits par les deux couches minces opposées. Nous appelons un tel système un "condensateur plan et parallèle".

equation
  (35.102)

Le résultat est aussi remarquable car il est indépendant de la distance d entre les plans. Le calcul du potentiel électrique y est donc simplifié. Soit :

equation   (35.103)

Ainsi, la capacité du condensateur plan et parallèle vaut donc :

equation   (35.104)

Voyons un deuxième exemple scolaire qu'est le condensateur cylindrique:

Les armatures d'un condensateur cylindrique sont deux cylindres infinis (ou très grands relativement à leur diamètre) coaxiaux de rayon equation et equation.

equation
  (35.105)

Par le théorème de Gauss, nous savons que :

equation   (35.106)

Et donc puisque le champ est colinéaire en tout point à la surface il vient immédiatement en connaissant l'expression de la surface du cylindre :

equation   (35.107)

Or :

equation   (35.108)

Et donc,

equation   (35.109)

Calculons aussi la capacité d'un condensateur sphérique qui correspond en première approximation à certains générateurs de Van Der Graaf que nous avons dans les labos de quelques écoles, de musées ou même de centres de recherche:

Un condensateur sphérique est constitué de deux sphères concentriques de rayon equation et equation avec equation.

equation
  (35.110)

Nous avons maintenant immédiatement:

equation   (35.111)

Et donc puisque le champ est colinéaire en tout point à la surface il vient immédiatement en connaissant l'expression de la surface d'une sphère:

equation   (35.112)

Or :

equation   (35.113)

Nous avons alors:

equation   (35.114)

Donc, nous avons alors:

equation   (35.115)

Voilà pour les exemples classiques....

Nous venons donc de voir que la capacité était définie par:

equation   (35.116)

soit en régime non continu (cf. chapitre d'Électrocinétique):

equation   (35.117)

Nous avons alors pour la puissance instantanée (cf. chapitre d'Électrocinétique):

equation   (35.118)

En supposant un condensateur idéal qui ne dissipe pas d'énergie par effet-joule) il vient:

equation   (35.119)

Donc par intégration dans un intervalle de temps donné de 0 à t nous avons pour le deuxième terme:

equation   (35.120)

Cette énergie est donc toujours positive et est stockée sous forme électrostatique dans le condensateur.

Dans le cadre d'un régime sinusoïdal, la puissance moyenne sera nulle. Nous pouvons généraliser ceci en admettant qu'un condensateur parfait ne dissipe aucune puissance par effet Joule.

LA RIGIDITÉ DIÉLECTRIQUE

La "rigidité diélectrique" equation d'un milieu isolant représente la valeur maximum du champ en equation que le milieu peut supporter avant le déclenchement d'un arc électrique (donc d'un court-circuit). Pour un condensateur utilisé en électronique, si nous dépassons cette valeur, nous observons la destruction de l'élément. Cette valeur maximale de la tension appliquée aux bornes, est appelée "tension de claquage" equation du condensateur. Nous pouvons définir la rigidité du milieu comme étant :

equation   (35.121)

exempleExemple:

Pour l'air, on trouve dans les tables la valeur :

equation equation   (35.122)

Lorsque nous parlons de rigidité diélectrique nous parlons aussi du diélectrique qui est un isolant ou une substance qui ne conduit pas l'électricité et qui est polarisable par un champ électrique. Dans la plupart des cas, les propriétés du diélectrique sont dues à la polarisation de la substance. Lorsque le diélectrique (dans notre cas, l'air est le diélectrique) est placé dans un champ électrique, les électrons et les protons de ses atomes se réorientent et, dans certains cas, à l'échelle moléculaire, une polarisation est induite (comme nous l'avons vu lors de notre étude des dipôles). Cette polarisation engendre une différence de potentiel, ou tension, entre les deux bornes du diélectrique; celui-ci emmagasine alors de l'énergie qui devient disponible lorsque le champ électrique est supprimé. L'efficacité d'un diélectrique est sa capacité relative à emmagasiner de l'énergie comparée à celle du vide. Elle s'exprime par la permittivité relative, déterminée par rapport à celle du vide. La force diélectrique est la capacité d'un diélectrique à résister aux champs électriques sans perdre ses propriétés isolantes. Un diélectrique efficace libère une grande partie de l'énergie qu'il a emmagasinée lorsque le champ électrique est inversé.

ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE

Considérons deux charges equation. La première est supposée au repos et fixe la deuxième est amenée de l'infinie à une distance a de equation (le même raisonnement a été appliqué pour le champ gravitationnel dans le chapitre de Mécanique Classique). Supposons que les deux charges soient de même signe. Comme equation ont tendance à se repousser mutuellement, il faut fournir une énergie potentielleequation pour approcher equation (infiniment lentement) de equation. Le travail dW la force électrostatique en un point quelconque est par définition :

equation   (35.123)

L'énergie potentielle du système est :

equation   (35.124)

car F est résistant (l'origine du signe "-").

Donc :

equation   (35.125)

On obtient alors simplement l'énergie potentielle en un point (donc le x au numérateur se simplifie avec un des x au dénominateur) au signe près:

equation   (35.126)

Cette énergie potentielle peut donc être négative ou positive.

Cela n'empêche pas que pour avoir la variation d'énergie potentielle il faut intégrer la relation antéprécédente.

Ainsi que la relation:

equation   (35.127)

L'avant dernière relation peut aussi se mettre sous la forme :

equation   (35.128)

Remarque: Attention! Quand on fait de la physique, il faut voir de quelle énergie potentielle on parle. Là est tout le problème! Si vous prenez par exemple l'énergie potentielle due a la force de gravitation, elle peut prendre n'importe quelle valeur en fonction du point de référence. Si la référence est le niveau de la mer, un point situé sous le niveau de la mer aura une énergie potentielle négative, par contre si la référence est le centre de la Terre, il n'y aura que des énergies potentielles positives. C'est pour cela qu'on écrit plutôt l'énergie potentielle sous forme de différence de hauteur par rapport à une référence en mécanique. Pour l'énergie potentielle de l'électron, il faut savoir avec quoi il interagit. Si c'est avec une charge négative, le produit des charges est positif et donc l'énergie potentielle d'interaction sera positive, s'il interagit avec une charge positive, le produit des charges est négatif et l'énergie potentielle d'interaction électrostatique est négative. Bref, il faut bien savoir de quoi on parle. Les mots ont leur importance en physique aussi.

En général, si l'énergie potentielle diminue avec la distance, la force est répulsive, si elle augmente avec la distance, la force est attractive.