thÉorie de jauges

COURS D'ÉLECTRODYNAMIQUE

1. Première équation de Maxwell

1.1. Equation de divergence du champ électrique

2. Deuxième équation de Maxwell

2.1. Equation de divergence du champ magnétique

3. Troisième équation de Maxwell

3.1. Equation du rotationnel du champ électrique

4. Quatrième équation de Maxwell

4.1. Equation du rotationnel du champ de déplacement

4.2. Monopôles magnétiques

5. Equation de conservation de la charge

6. Théorie de jauges

6.1. Tenseur du champ électromagnétique

7. Equations d'onde électromagnétique

7.1. Equation de Helmoltz

7.2. Energie véhiculée (vecteur de Poynting)

7.3. Emissions

8. Rayonnement synchrotron

8.1. Potentiels de Liénard-Wiechert

Avant de commencer à lire ce sous-chapitre, il est de première importance pour le lecteur d'aller faire un petit tour dans la section d'Algèbre du site, dans laquelle se trouve un chapitre de Calcul Vectoriel où nous faisons un rappel des différents opérateurs vectoriels indispensables en physique et leurs propriétés.

Ce qui va suivre est très important car outre le fait que nous allons faire apparaître naturellement un nouveau champ (le potentiel vecteur) qui est indispensable dans certaines équation de la physique quantique relativistes (voir chapitre du même nom) nous reprendrons cette démarche de jauges dans le chapitre de physique quantique ondulatoire où les conséquences sont beaucoup plus vastes!

Soit la relation connue:

(37.64)

il existe de par les propriétés des opérateurs rotationnel et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) un "potentiel vecteur" tel que :

(37.65)

qui satisfait donc (la divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle car il s'agit d'une propriété mathématique) :

(37.66)

Remarque: Le potentiel vecteur est donc... un potentiel ! De même que nous pouvons définir un potentiel U dont dérive

, nous pouvons définir un potentiel

pour le champ

. Mais pour des raisons techniques (provenant de l'expression des rotationnels de

et de

dans les équations de Maxwell), le potentiel

n'est pas aussi simple que U et ne peut pas s'exprimer comme un simple scalaire : il faut utiliser un potentiel vecteur.

Si nous portons la relation dans l'équation de Maxwell nous obtenons :

equation (37.67)

Nous posons maintenant (la notation n'a aucun rapport avec la force newtonienne!):

equation (37.68)

et nous utilisons les propriétés mathématiques des opérateurs rotationnel et gradient pour écrire une nouvelle relation (le signe "-" est là par anticipation de ce qui suivra):

(37.69)

où dès lors :

(37.70)

où est un "potentiel scalaire".

Remarques:

R1. Le champ semble obéir aux mêmes propriétés que le champ gravitationnel (loi de Newton-Poisson) mais ce n'est qu'une curiosité (les unités et les autres propriétés mathématiques n'étant pas équivalentes)

R2. Le lecteur voit sans peine que si le potentiel vecteur est nul, nous retrouvons alors (cf. chapitre d'Électrostatique) :

(37.71)

ce qui renforce les hypothèses des développements précédents (et ce n'est pas tout...)

De plus, les champs et restent inchangés si nous effectuons dans les relations précédentes les remplacements suivants (les termes s'annulent trivialement) :

(37.72)

où est une fonction arbitraire de et t.

Nous appelons une telle transformation un "changement de jauge". La liberté sur le choix des potentiels permet de leur imposer une contrainte que nous appelons la "contrainte de Jauge".

Nous utiliserons soit la "jauge de Lorenz" en imposant:

(37.73)

ou soit la "jauge de Coulomb" en imposant:

(37.74)

Remarque: Nous trouvons souvent dans la littérature la dénomination "jauge de Lorentz" à la place de "jauge de Lorenz", car comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de Relativité Restreinte, la jauge de Lorenz est invariante dans les transformations de Lorentz.

Montrons qu'il est possible d'imposer la jauge de Coulomb. Pour cela, étant donnés et , il suffit de trouver dans les équations:

(37.75)

tel que la relation (jauge de Coulomb) soit vérifiée. Ainsi, doit vérifier trivialement:

equation (37.76)

La relation :

(37.77)

est appelée "équation de poisson du potentiel vecteur".

De même, pour montrer qu'il est toujours possible d'imposer la condition de Lorenz, il suffit de trouver dans les équations précitées :

(37.78)

tel que (nous laissons le soin au lecteur de faire le développement car c'est de l'algèbre élémentaire, sinon quoi envoyez-nous un mail et nous rajouterons ce qui manque) la relation ci-dessous soit vérifiée :

(37.79)

où l'opérateur:

(37.80)

est par définition appelé le "d'Alembertien" (nous le retrouverons souvent ce terme à partir de maintenant aussi bien en électrodynamique qu'en physique quantique) qui est donc aussi invariant par transformation Lorentz comme nous le verrons lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Donc sans écrire cela avec le d'alembertien nous aurions :

(37.81)

Effectivement :

equation
(37.82)

En reportant les équations :

et (37.83)

dans les deux autres équations de Maxwell dans le vide :

et (37.84)

nous obtenons, en faisant apparaître le laplacien par une des propriétés des opérateurs vectoriels rotationnel, gradient et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

(37.85)

les relations suivantes:

equation (37.86)

la dernière relation étant appelée "jauge arbitraire".

Pour la jauge de Lorenz, ces deux dernières équations se simplifient en (n'hésitez pas à nous contacter si vous ne voyez pas comment) :

equation (37.87)

que nous appelons "équations d'onde des potentiels électromagnétiques" en analogie avec les équations d'onde des champs électrique et magnétique que nous déterminerons plus loin.

Pour la jauge de Coulomb, les mêmes équations se simplifient en:

equation (37.88)

Sachant que nous pouvons aussi écrire les deux équations d'onde des potentiels électromagnétiques sous la forme :

equation (37.89)

Posons maintenant (afin homogénéiser les unités) tel que nous définissions un "quadrivecteur potentiel" qui nous permet d'écrire vectoriellement les deux relations ci-dessus de manière unifiée :

(37.90)

Remarque: Le fait que le d'alembertien du quadrivecteur potentiel s'exprime à partir du quadrivecteur courant qui est contravariant (cf. chapitre de Relativité Restreinte) nous amène à poser que le quadrivecteur potentiel est lui-même contravariant!

Relation que nous noterons sous une forme condensée de la manière suivante :

(37.91)

où sera appelé "quadrivecteur courant".

Remarque: Nous retrouverons ce quadrivecteur lors de notre détermination du tenseur du champ électromagnétique (à la différence que nous serons en unités naturelles mais cela ne change pas le fond...).

Le quadrivecteur potentiel tel que défini nous amène à pouvoir écrire la (quadrivergence) jauge de Lorenz en faisant usage de la notation tensorielle :

equation (37.92)

Ce qui permet finalement d''écrire la jauge de Lorenz sous forme covariante :

(37.93)

Il s'agit donc d'une équation de la forme de celle de Klein-Gordon pour une particule de masse nulle (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Donc nous pouvons dire dans un sens que l'invariance de jauge électromagnétique est reliée au fait que la masse du photon est nulle!

Remarque: Il est utile de noter que le fait de poser

(avec ou sans les unités naturelles où

) est une notation qui sera également adoptée lors de notre étude de l'équation de Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) ou encore en physique quantique de champs (mis à part qu'il y aura une partie imaginaire).

Ces notations nous amènent enfin à pouvoir écrire :

equation (37.94)

Nous obtenons ainsi l'équation de continuité :

(37.95)

équivalent (sous forme) tensoriel de (voir la démonstration juste plus haut dans le texte) :

(37.96)

Pour résumer en gros... :

Un certain nombre d'effets physiques se modélisent, selon les cas, par des champs qui peuvent être scalaires, vectoriels, spinoriels ou encore tensoriels que nous appelons donc des jauges. Un certain nombre de phénomènes physiques s'avèrent respecter des conditions dites de symétrie, vis à vis de ces jauges. Cette symétrie s'exprime par ce que nous appelons donc une invariance de jauge.

Par exemple, le champ qui permet de modéliser le champ électromagnétique est comme nous l'avons vu, un champ de quadrivecteurs formé d'un potentiel scalaire (dont le gradient est le champ électrique ) et d'un potentiel-vecteur (dont le rotationnel est le champ magnétique ). Ce champ quadrivectoriel qui permet de modéliser le champ électromagnétique est appelé une jauge.

Il s'avère que nous obtenions donc exactement les même effets physiques sur un système de particules chargées si nous remplaçons cette jauge par une autre jauge en lui rajoutant une contrainte de Jauge (exemple typique entre la jauge de Lorenz ou de Coulomb vues plus haut). L'invariance des lois de la physique lors du passage d'une jauge à une autre étant une invariance de jauge. Dans le cas du champ électromagnétique, cette invariance de jauge s'avère exprimer la conservation de la charge électrique (comme nous l'avons montré).

Mathématiquement, de tels changements de jauges s'avèrent être le résultat de l'action d'un groupe de symétrie de dimension infinie (transformant ces jauges les unes en les autres) que nous appelons le "groupe de jauge" de l'interaction considérée (ici l'interaction électromagnétique).

Pour le champ gravitationnel par exemple (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'interaction gravitationnelle se modélise par un champ de tenseurs symétriques de rang 2 et avec une signature donnée. Ce champ de métrique est distribué sur une variété 4D modélisant l'espace-temps. C'est la jauge de l'interaction gravitationnelle. D'après la relativité générale (principe d'équivalence) nous ne changeons rien à l'interaction gravitationnelle si nous changeons le système de coordonnées spatio-temporelles dans lequel nous exprimons la métrique. Le passage d'une expression de la métrique à une autre en changeant de système de coordonnées est aussi un changement de jauge. L'invariance de jauge de la relativité générale exprime alors la possibilité de passer d'une jauge à une autre sans changer pour autant les géodésiques suivies par des particules test tombant en chute libre dans le champ gravitationnel modélisé par le champ de métrique.

L'invariance de jauge de la relativité générale est ce que nous appelons l'invariance par difféomorphisme (changement de système de coordonnées bijectif présentant un certain degré de régularité) et le groupe de jauge de la relativité générale est donc le groupe des difféomorphisme de (appelé le "groupe souple").

Il convient de préciser aussi que le potentiel vecteur n'est peut-être pas si virtuel que ça. En effet, il est possible de modifier les trajectoires de particules chargées passant à l'extérieur du volume cylindrique où règne un champ magnétique induit par un courant électrique (circulant dans l'enroulement d'un solénoïde où ce champ est "emprisonné"). Il est donc possible d'influer sur la trajectoire de particules circulant dans une zone où le champ magnétique est nul mais où son potentiel vecteur ne l'est pas.

Par ailleurs, nous utiliserons les résultats ici lors de notre étude de la théorie de Yang-Mills dans la voie de l'unification électrofaible (voir le modèle standard dans le chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Remarque: L'expérience connue qui fait intervenir le potentiel vecteur est celle d'Aharonov-Bohm (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

TENSEUR DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Afin de déterminer le tenseur du champ électromagnétique supposons dans un premier temps que l'action (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'une particule chargée dans un champ électromagnétique serait donnée par (choix à priori empirique mais... vous verrez un peu plus loin) :

(37.97)

Remarque: La notation

reste réservée à l'action d'un particule libre (cf. chapire de Relativité Restreinte).

Le lagrangien pour une particule chargée dans un champ électromagnétique est donc la somme du lagrangien de la particule en interaction avec le champ électromagnétique additionné du lagrangien de la particule libre (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

(37.98)

Remarque: Il s'agit donc du lagrangien de l'interaction de la particule avec le champ additionné du lagrangien de la masse de la particule. Dès lors on voit qu'il manque encore le lagrangien du champ électromagnétique lui-même en l'absence de charges (appelé : lagrangien du champ libre) mais nous verrons cela plus loin.

Ceci est donc (à priori) le lagrangien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique.

Nous allons démontrer que ce lagrangien est correct :

Le moment généralisé est donc (cf. chapitre de Mécanique Analytique et de Relativité Restreinte) :

(37.99)

Pour vérifier que nous avons fait le bon choix de lagrangien au départ, nous allons obtenir les équations du mouvement et s'assurer qu'elles coïncident avec la force de Lorentz. Les équations de Lagrange sont, dans ce cas :

equation (37.100)

Or nous avons :

equation (37.101)

et donc :

(37.102)

Mais nous avions fait remarquer lors de la définition du potentiel scalaire que d'où :

(37.103)

Nous devons donc nécessairement avoir par analogie avec la force de Lorentz :

(37.104)

Il nous faut donc avant de poursuivre vérifier que :

(37.105)

Avec :

(37.106)

En composantes :

equation (37.107)

Donc :

equation (37.108)

et comme :

equation (37.109)

Nous avons donc bien l'égalité :

equation (37.110)

Ces développements confirment donc notre hypothèse initiale comme quoi l'action du champ peut s'écrire :

(37.111)

et qu'elle exprime l'interaction d'une particule chargée avec un champ (car on y retrouve la force de Lorentz!).

Nous avons donc maintenant démontré que le "lagrangien de l'interaction courants-champs" :

(37.112)

dont avions supposé empiriquement la forme au début est donc finalement bien correct !

L'intégrale d'action s'écrivant alors :

equation (37.113)

Introduisons la vitesse de la particule sous la forme et l'intégrale s'écrit :

equation (37.114)

Nous avons vu en relativité restreinte que :

(37.115)

et de même :

(37.116)

Les intervalles d'espace-temps sont des invariants tel que (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(37.117)

Si le référentiel O' n'est pas en mouvement ), nous avons:

(37.118)

d'où :

(37.119)

ce qui s'écrit aussi :

(37.120)

Dès lors :

equation (37.121)

Faisons usage du quadrivecteur potentiel (voir plus haut) :

(37.122)

Et en faisant usage du quadrivecteur déplacement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(37.123)

L'expression de l'action d'une particule chargée dans un champ électromagnétique et dans une métrique de Minkowski (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale) se réduit finalement l'expression condensée :

equation (37.124)

avec donc :

(37.125)

sans oublier que sur ce site nous utilisons la métrique (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale).

Remarquons que l'intégrale d'action en l'absence de champ magnétique et électrique s'écrit :

equation (37.126)

ce qui correspond bien à ce que nous avons obtenu en relativité restreinte pour une particule libre !

D'après le principe de moindre action, l'intégrale d'action a une variation nulle pour le mouvement effectif de la particule, soit :

equation (37.127)

Remarque: De par l'égalité avec zéro, nous pouvons éliminer le signe moins devant l'intégrale.

Utilisant l'expression de l'abscisse curviligne (cf. chapitre Calcul tensoriel et de Relativité Générale) :

(37.128)

Pour la métrique de Minkowski nous pouvons écrire (rappelons que dans la métrique euclidienne seulement les termes de la diagonale où sont non nuls) :

(37.129)

Ainsi :

equation (37.130)

l'intégrale précédente s'écrit alors :

equation (37.131)

Cela donne en utilisant les composantes curvilignes (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

equation (37.132)

Intégrons par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) seulement les deux premiers termes de l'intégrale :

equation (37.133)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) la première intégrale :

equation (37.134)

Or, comme :

et (37.135)

Alors :

equation (37.136)

Avec :

et (37.137)

Alors :

equation (37.138)

Les quantités étant arbitraires, l'expression entre crochets est nulle :

equation (37.139)

Notons :

(37.140)

Les quantités contravariantes forment les composantes de ce que nous appelons le "tenseur du champ électromagnétique" ou le "tenseur de Faraday" ou plus couramment le "tenseur de Maxwell". Nous disons alors que est le "rotationnel du potentiel".

Les "équations du mouvement d'un particule dans un champ électromagnétique" prennent ainsi la forme :

(37.141)

Remarques:

R1. La lettre F est choisie relativement au physicien Faraday.

R2. Certains physiciens appellent cette relation : "géodésique corrigée par une force de Lorentz" (ce qui n'est au fond pas faux)

R3. Le tenseur de champ électromagnétique est invariant sous les transformations :

(37.142)

Effectivement :

equation (37.143)

Dans une métrique de Minkowski (nous allons avoir besoin du tenseur de champ électromagnétique dans le chapitre de Relativité Restreinte, d'où le choix de cette métrique), nous avons cependant :

(37.144)

Ce qui donne :

(37.145)

Le terme est traditionnellement toujours notée (même s'il n'est pas plus totalement contravariant).

Il nous reste à déterminer les composantes du tenseur contravariant (tenseur qui a la propriété d'être antisymétrique tel que ).

Commençons par le plus simple. Nous supposerons comme évident que :

equation (37.146)

Ensuite, en se rappelant que :

equation (37.147)

D'où (rappelons que la métrique de Minkowski est du type ) :

equation (37.148)

Ce qui nous donne pour l'instant :

equation (37.149)

Maintenant, étant connu que et les autres composantes du tenseur s'écrivent compte tenu de :

(37.150)

et donc :

equation (37.151)

ainsi, avec les dérivées partielles contravariantes selon la métrique de Minkowski :

equation (37.152)

Ainsi, nous avons :

equation (37.153)

Mais comme nous le verrons en relativité restreinte, le vrai tenseur du champ électromagnétique est être défini par :

equation (37.154)

afin que les transformées de Lorentz soient conformes.

Ce qui fait que l'équation du mouvement est finalement :

(37.155)

L'expression sous forme tensorielle du champ électromagnétique met bien en évidence l'unité du champ électromagnétique alors que généralement les champs électrique et magnétique sont considérés séparément en théorique classique.

Mais comme en physique théorique nous travaillons souvent en unités naturelles (c'est un peu la norme...), nous avons alors :

equation (37.156)

et donc l'équation du mouvement :

(37.157)

En notant maintenant les composantes de 1 à 4 au lieu de 0 à 3 (c'est plus facile pour les élèves de se repérer dans la matrice) et sans oublier que les dérivées partielles sont covariantes et en adoptant, à nouveau, les unités naturelles tel que (in extenso ), les deux équations de Maxwell avec sources s'écrivent :

equation (37.158)

En utilisant le tenseur du champ électromagnétique, il apparaît alors remarquablement que ces deux équations peuvent être écrites sous la forme de l'équation tensorielle condensée suivante :

(37.159)

où est le "quadrivecteur courant" défini par (en unités naturelles!) :

(37.160)

En utilisant la première définition du tenseur de Faraday (celle où les composantes du champ sont divisées par c)et en prenant pour connu (nous le démontrerons plus tard) que nous avons dans le système SI :

avec (37.161)

Comme nous allons de suite le voir, la partie temporelle de cette équation donne la divergence du champ électrique et la partie spatiale le rotationnel du champ magnétique.

Remarque: Nous avions déjà rencontré (défini) ce quadrivecteur lors de notre étude de la jauge de Coulomb plus haut ainsi que lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Effectivement :

equation (37.162)

De même, les deux équations de Maxwell :

(37.163)

peuvent s'écrire sous la forme condensée tensorielle :

(37.164)

Effectivement :

equation (37.165)

Finalement toutes les équations de Maxwell, en adoptant les unités naturelles, se résument à :

equation (37.166)

Nous pouvons aussi utiliser le symbole d'antisymétrie (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) tel que nous puissions écrire :

equation (37.167)

avec pour rappel :

equation

Le lagrangien que nous avons déterminé plus haute n'est cependant pas complet. Effectivement, lorsque nous appliquons le principe variationnel nous avons déjà vu de nombreuses fois dans les différents chapitres de ce site (mécanique classique, mécanique ondulatoire, magnétostatique, relativité restreinte, relativité générale, etc.) que nous pouvions obtenir les équations du mouvement (trajectoires) des sujets (corps) étudiés. Les équations obtenues contenaient aussi des paramètres qui expliquaient la source de ce mouvement (propriétés de la matière, vitesse, champ, etc.) comme cela a été le cas avant!

Précédemment, nous avons appliqué le principe variationnel sur le lagrangien d'interaction charge-champ (magnétique + électrostatique) et avons obtenu l'équation du mouvement corrigée par la force de Laplace.

Lorsque nous avons déterminé les équations du mouvement de la particule chargée à partir du principe de moindre action, nous avons fixé le champ électromagnétique (le champ est connu) et nous avons fait varier la trajectoire. Le principe variationnel, doit alors également nous permettre d'obtenir les équations du champ à partir de la démarche inverse : nous fixons la trajectoire de la particule (trajectoire connue) et nous faisons varier le champ électromagnétique (potentiel et tenseur).

Nous devrions alors obtenir les équations de Maxwell qui, au même titre que l'on obtient ce qui fait le mouvement de la particule lors l'on fixe le champ dans le principe variationnel, nous donne l'information sur ce qui est la source du champ électrique et magnétique lorsque l'on fixe la trajectoire dans le principe variationnel.

L'envie est alors très grande de reprendre simplement l'expression de l'action obtenue plus haut :

equation (37.168)

et de lui appliquer une variation sur le champ après un petit changement dans la manière de l'écrire :

Nous savons que les charges électriques bien qu'elles soient ponctuelles, sont considérées généralement comme un charge transportée par un courant répartie de façon continue dans l'espace. Soit cette densité de charge, nous avons alors tel que :

equation (37.169)

Considérons des charges électriques se déplaçant à la vitesse v et écrivons la quantité suivante (ne pas oublier que nous continuons à travailler en unités naturelles tel que !) :

(37.170)

avec en unités naturelles :

Ainsi nous avons :

equation (37.171)

Si nous appliquons le principe variationnel seulement sur le champ (constant en amplitude donc la source du champ est constante telle que ) et que nous considérons donc le mouvement des charges connues, il est immédiat que le premier terme ci-dessus est nul. Nous avons alors :

equation (37.172)

pour que cette intégrale soit nulle il faudrait que soit nul... ce qui est plutôt gênant si nous souhaitons déterminer les caractéristique d'une source qui alors n'existerait pas... Dès lors, nous remarquons qu'il manque quelque chose à notre lagrangien!

L'idée est alors la suivante : nous connaissons une équation tensorielle qui fait intervenir la densité de courant qui est et qui implicitement contient les deux seules équations de Maxwell qui donnent des informations sur la source des champs électrique et magnétique respectifs (les deux autres donnant des propriétés des champs et non pas des sources) soit (toujours en unités naturelles) :

equation (37.173)

Il est donc suffisant d'obtenir ces deux équations (donc l'équation tensorielle y relative) suite au principe variationnel pour avoir les propriétés de la source du champ.

Ce qui signifie simplement que dans l'idéal nous devrions (et attendons à) avoir est :

equation (37.174)

où l'intégrale s'annule exactement lorsque !

Il est alors tenant d'écrire quelque chose de la forme (remarquez que nous avons abaissé l'indice du potentiel A et monté celui de la densité de courant j dans la seconde intégrale ce qui ne change rien mathématiquement parlant au résultat)

equation (37.175)

Nous pouvons nous aider de la propriété suivante des quantités du lagrangien pour déterminer l'expression "???" manquante : ils sont tous invariants. En d'autres termes et pour rappel, leur pseudo-norme (scalaire) est égale par changement de référentiel de Galiléen (cf. chapitre de relativité Restreinte) telle que :

equation (37.176)

La première relation est évidente, nous l'avons déjà démontrée de nombreuses fois. La deuxième l'est peut-être moins alors donnons une petit indication (non générale) pour vérifier quelle soit correcte : est le produit scalaire de j et de A. Si nous faisons subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, puisque les transformations de Lorentz sont des rotations (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'angle entre j et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

Il nous faut donc ceci dit, trouver la quantité "???" comme étant un scalaire invariant faisant intervenir le tenseur de Faraday d'une manière ou d'une autre.

Nous pouvons alors essayer directement avec la quantité suivante (sachant d'avance, grâce à nos précurseurs que c'est la bonne hypothèse) :

(37.177)

faisant intervenir le tenseur covariant et contravariant de Faraday car nous savons que :

1. C'est un scalaire invariant. Effectivement, écrivons en termes de champs électriques et magnétiques pour en comprendre la signification physique (en unités naturelles) :

equation (37.178)

Remarque: Si nous n'étions pas en unités naturelles, le résultat du calcul serait de la forme :

(37.179)

La quantité (ou en unités naturelles) est donc un invariant du champ.

Exemple:

Dans un référentiel O, considérons une onde électromagnétique plane. Les modules du champ électrique et du champ magnétique sont reliés par (voir plus loin la démonstration). L'invariant du champ considéré est donc nul. Dans un autre référentiel, avec la même structure du champ, nous aurons alors aussi .

2. Parce qu'un variationnel sur ce terme donne :

(37.180)

où l'on devine qu'en creusent un peu, contient implicitement le terme. Nous voyons aussi qu'un facteur 2 apparaît tel qu'il nous faudra introduire une constante de normalisation , ne serait-ce déjà aussi que pour l'homogénéité des unités de l'expression de l'action.

Donc finalement essayons avec quelque chose du genre :

equation (37.181)

A présent, pour chercher les équations du champ électromagnétique, nous considérons que les mouvements des charges sont connus et nous utilisons le principe de moindre action en faisant varier seulement les composantes du potentiel-vecteur et celles du tenseur du champ électromagnétique.

Il en résulte que la variation de la première intégrale est nulle et qu'il reste :

equation (37.182)

Substituons dans la seconde intégrale, les composantes par leur expression implicite , il vient :

(37.183)

Or nous savons que est égal à puisque le tenseur de Faraday est antisymétrique :

(37.184)

Rien ne nous empêche de permuter les indices dans le premier membre à droite de l'égalité :

(37.185)

Donc finalement :

equation (37.186)

Intéressons nous à la seconde intégrale :

equation (37.187)

En appliquant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui dit que l'on peut intégrer selon n'importe quel ordre les variables d'intégration (sous certaines conditions) on peut alors appliquer l'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de manière à écrire :

equation (37.188)

où dS représente la frontière-surface de l'hyper-volume sur lequel on intégrait initialement et qui omet la variable prise en considération par le choix de l'indice supérieur v.

Maintenant selon l'indice supérieur v concerné, les bornes du premier terme de l'égalité :

equation (37.189)

seront sur les composantes de temps ou les composantes d'espace. Si nous nous concentrons sur les bornes temporelles d'intégration, il s'agit des moments initiaux et finaux de l'action sur laquelle nous appliquons ce variationnel.

Or aux extrémités temporelles, le variationnel du potentiel vecteur est nul (par définition) donc l'intégrale sur la composante de temps sera nulle.

Maintenant sur les composantes spatiales, les bornes (spatiales) sont celles qui permettent d'intégrer la surface-frontière de l'hyper-volume au temps final. Si celui-ci est pris comme l'infini, le rayon de la surface-frontière sera infini et en tout point de cette surface, l'énergie transportée par le champ ainsi que l'amplitude des composantes du champ sera nulle (voir démonstration plus bas).

Donc le variationnel de l'action s'écrit finalement :

equation (37.190)