RAYONNEMENT SYNCHROTRON



COURS D'ÉLECTRODYNAMIQUE

1. Première équation de Maxwell

1.1. Equation de divergence du champ électrique

2. Deuxième équation de Maxwell

2.1. Equation de divergence du champ magnétique

3. Troisième équation de Maxwell

3.1. Equation du rotationnel du champ électrique

4. Quatrième équation de Maxwell

4.1. Equation du rotationnel du champ de déplacement

4.2. Monopôles magnétiques

5. Equation de conservation de la charge

6. Théorie de jauges

6.1. Tenseur du champ électromagnétique

7. Equations d'onde électromagnétique

7.1. Equation de Helmoltz

7.2. Energie véhiculée (vecteur de Poynting)

7.3. Emissions

8. Rayonnement synchrotron

8.1. Potentiels de Liénard-Wiechert

Considérons une charge en mouvement uniforme rectiligne. Les champs électrique et magnétique d'une telle charge ont été étudiés dans les chapitres précédents. Nous avons également démontré plus haut que le champ magnétique est dans cette configuration, toujours perpendiculaire au champ électrique. La première conséquence est que le champ électrique est radial et le champ magnétique transversal.

Donc si nous entourons la particule en mouvement d'une surface sphérique fermée imaginaire, nous avons alors trivialement (voir la définition du vecteur de Poynting) :

equation   (37.250)

puisque effectivement, en tout point de la surface, equation en est perpendiculaire, equation tangent, donc equation tangent aussi et donc l'angle entre equation et equation est égal à un angle droit donc le produit scalaire est nul.

Donc en conclusion le flux total d'énergie rayonnée est nul pour une charge en mouvement rectiligne uniforme. Autrement dit, une charge en mouvement rectiligne uniforme, ne rayonne pas d'énergie électromagnétique mais transporte avec elle l'énergie du champ électromagnétique (nous voilà rassuré!). Ceci est confirmé par les observations expérimentales.

Cependant, la situation est très différente pour une charge en mouvement accéléré. Le champ électrique d'une charge accélérée n'est plus radial et ne possède plus la symétrie par rapport à la charge qu'il possède lorsque le mouvement est uniforme (nous allons le démontrer). Conséquence... une charge électrique accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique et donc voit son énergie cinétique diminuer !

Une conclusion importante est qu'il faut, pour maintenir une charge en mouvement accéléré, fournir de l'énergie pour compenser celle perdue par rayonnement. Si la particule au lieu d'être accélérée est décélérée (c'est typiquement ce que nous cherchons à faire en radioprotection) à nouveau la particule va émettre de la même manière le même rayonnement (nous allons aussi le démontrer). C'est ce qui ce produit, par exemple, lorsqu'une charge, telle qu'un électron ou un proton, heurte une cible à grande vitesse. Une fraction substantielle de son énergie totale s'en va sous forme d'un rayonnement appelé "rayonnement de freinage" ou plus communément "bremsstrahlung" (de l'allemand Bremsung : freinage; et Strahlung : rayonnement).

Les équations que nous allons déterminer restent valable pour n'importe quel type de mouvement accéléré relativiste ou non. Par exemple, une particule chargée se déplaçant sur une orbite circulaire est soumise à une accélération centripète et émet donc du rayonnement. Par conséquent, lorsqu'un ion est accéléré dans un accélérateur cyclique, comme un cyclotron, un bêtatron ou un synchrotron, une fraction de l'énergie qui lui est fournie est perdue sous forme de rayonnement électromagnétique, cet effet étant relativement plus important dans les accélérateurs cycliques que dans les accélérateurs linéaires.

Quand les charges atteignent des énergies très élevées, comme cela se produit dans les synchrotrons où l'accélération est grande (heureusement pour nous car cela nous permettre de faire une petite approximation fort utile...), les pertes dues au rayonnement, appelé "rayonnement synchrotron", deviennent importantes et constituent une limitation sérieuse dans la construction d'accélérateur cycliques de très haute énergie mais restent cependant infiniment utiles à l'industrie de pointe.

Une autre considération importante se rapport à la structure atomique. Selon le modèle atomique de Rutherford (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous imaginons l'atome comme formé d'un noyau central chargé positivement, les électrons chargés négativement décrivant autour de lui des orbites fermées. Mais ceci implique, que les électrons se déplacent suivant un mouvement ayant une accélération et, si nous appliquons les idées développées jusqu'à maintenant, tous les atomes devraient rayonner continuellement de l'énergie (même en l'absence de source d'énergie extérieure comme le Soleil). Par suite de cette perte d'énergie, les orbites électroniques devraient se contracter, amenant à une réduction correspondante de la taille de tous les corps. Heureusement pour nous, cela ne s'observe pas (la matière ne s'effondre pas sur elle-même) mais cela nous amène donc à supposer dans le cadre du modèle de Rutherford que les mouvements des électrons dans les atomes est gouverné par certains principes supplémentaires que nous n'avons pas encore envisagés. C'est ce qui nous amènera à créer le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) mais qui aura, lui aussi comme ne le verrons, d'autres défaut.

Pour déterminer l'énergie émise par une charge en mouvement accéléré nous allons devoir faire usage d'outils mathématique qui ne sont plus du même niveau que ceux utilisés précédemment. Il est donc conseillé que le lecteur ait un bon bagage mathématique. Par ailleurs, exceptionnellement nous ferons usage de logiciels de calculs pour certains points du développement.

Considérons tout d'abord le schéma suivant :

equation
  (37.251)

Lorsque la distribution de charges equation et la distribution de courant equationse trouvent au point equation, le point M reçoit l'onde électromagnétique émise par les charges et le courant lorsqu'ils étaient au point equation c'est-à-dire à l'instant t' (à cause de la vitesse limite de la propagation du champ dans l'espace). Le retard temporel est la durée de propagation depuis le point equation vers le point M, soit :

equation   (37.252)

Donc :

equation   (37.253)

Soit :

equation   (37.254)

Les potentiels au point de coordonnée vectorielle equation au temps t ont au vu des résultats obtenus dans les deux chapitres précédents les relations suivantes pour expressions :

equation   (37.255)

Remarque: Nous allons faire usage de ces deux relations du potentiel dans notre étude du champ rayonné car leur forme mathématique similaire nous permettra, du moins nous l'espérons..., de simplifier les développements.

Ces deux relations nous sont déjà partiellement connues, la première qui exprime le potentiel électrique (retardé) a été démontrée dans le chapitre d'Électrostatique dans le cadre non relativiste (donc nos calculs risquent de ne pas être corrects si nous tombons un résultat qui dépend de la vitesse ! ... nous verrons bien).

Concernant la deuxième relation qui exprime le potentiel-vecteur retardé, nous avons vu plus haut que equation était toujours juste au gradient d'une fonction additive près pour equation (de par les propriétés des opérateurs vectoriels différentiels) tel que :

equation   (37.256)

et que equation soit sous forme relativiste ou non, nous avions :

equation   (37.257)

Rappelons aussi (cf. chapitre de Magnétostatique) que :

equation   (37.258)

Il s'ensuit que si nous posons :

equation   (37.259)

que nous retrouvons la loi de Biot-Savart puisque si et seulement si equation ne dépend pas de r alors (trivial) :

equation   (37.260)

Nous obtenons donc bien :

equation   (37.261)

Bien que cette forme du potentiel vecteur ne donne que la loi de Biot-Savart sous forme non relativiste, comme elle satisfait toujours :

equation   (37.262)

elle est quand même valable dans le cadre relativiste car cette équation de Maxwell ne dépend pas de la vitesse. De plus, si nos résultats dans l'étude du rayonnement synchrotron nous donnent à la fin une expression indépendante de la vitesse, nous aurons encore une fois confirmé cet état de fait.

POTENTIELS DE LIÉNARD-WIECHERT

Soit le cas où une particule de masse m et de charge q parcourt une trajectoire equation. Par rapport à un point origine O, sa coordonnée vectorielle est equation, son vecteur vitesse sera noté:

equation   (37.263)

et son accélération:

equation   (37.264)

Si la charge ponctuelle q se situe à l'origine O, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la fonction de Dirac nous donne :

equation   (37.265)

ainsi que si la charge ponctuelle q se situe à une abscisse equation, nous avions :

equation   (37.266)

Ce qui vient d'être dit pour un espace à une dimension peut aussi être appliqué à un espace à trois dimensions comme nous l'avions vu et nous écrivons alors :

equation   (37.267)

Si nous choisissons pour unités pour la fonction de Dirac des equation, alors nous pouvons écrire :

equation   (37.268)

q est alors la charge totale au point equation.

Pour la distribution de la densité de courant, avons de même toujours en choisissant les mêmes unités pour la fonction de Dirac :

equation   (37.269)

Dès lors au point M, les potentiels au temps t ont pour expression:

equation   (37.270)

C'est une formulation bien utile (un détour) qui va nous permettre de résoudre notre problème.

Pour cela, lorsque la charge se trouve au point equation au temps t', nous posons :

equation   (37.271)

Nous allons utiliser un long artifice afin de résoudre l'intégrale du potentiel électrique (qui est donc une intégrale multiple en coordonnées cartésiennes)!

Celui commence en multipliant l'intégrant de equation par:

equation   (37.272)

cela ne modifie pas l'intégrale puisque:

equation   (37.273)

et que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (37.274)

Nous disposons alors de l'expression suivante dans laquelle apparaît le temps t':

equation   (37.275)

ce que nous avons le droit d'écrire car la deuxième intégrale ne dépend pas explicitement de t'.

Bon maintenant si nous essayons de résoudre cette intégral, nous allons y passer notre vie... pour rien. Il va falloir être astucieux

Avant de rechercher une solution de cette intégrale, nous devons d'abord traiter le cas plus général de l'intégrale suivante :

equation   (37.276)

Soit écrit de manière plus condensée:

equation   (37.277)

qu'il est facile de rapprocher avec l'intégrale antéprécédente:

equation   (37.278)

où nous nous sommes donc arrangés pour que equation ne dépendant respectivement (explicitement) que de x, y, z et t.

Nous souhaitons maintenant faire le changement de variables :

equation   (37.279)

Nous rappelons que dans des changements de variables dans les intégrales multiples (voir le Jacobien dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), nous avons, en passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées curvilignes les relations suivantes :

equation   (37.280)

où pour rappel:

equation   (37.281)

et où:

equation   (37.282)

n'est pas une valeur absolue mais le déterminant d'une matrice!

Or, dans notre cas traité, rappelons que nous avons tous les equation qui sont nuls et donc:

equation   (37.283)

et au cas où pendant les développements un des equation ne le serait plus pour des raisons encore non déterminées, nous aurions:

equation   (37.284)

L'intégrale multiple devient alors :

equation   (37.285)

où le terme entre accolades est pris à equation par nécessité de la construction des développements précédents préparant l'artifice mathématique!

Et rappelons encore une fois (!!) la propriété des fonctions de Dirac:

equation   (37.286)
 

Nous avons alors immédiatement la simplification:

equation   (37.287)

où:

equation   (37.288)

est donc le Jacobien de la transformation de l'artifice....

Il est évident que par construction du Jacobien, nous avons:

equation   (37.289)

Dès lors il vient:

equation   (37.290)

Pour l'intégral I nous avons alors:

equation   (37.291)

Calculons donc maintenant notre Jacobien...:

equation   (37.292)

En revenant au cas traité, equation a donc pour composantes:

equation   (37.293)

Ainsi, nous avons le calcul des éléments dé l'inverse du Jacobien:

equation   (37.294)

Bon maintenant que nous avons les composantes de la matrice Jacobienne, il ne nous reste qu'à calculer son déterminant. Donc soit nous utilisons la relation générale de calcul de déterminant démontrée dans le chapitre d'Algèbre Linéaire, soit nous utilisons Maple... Alors histoire de gagner un peu de temps faisons avec Maple:

>with(linalg):

>A:= matrix(4,4,[1,0,0,a,0,1,0,b,0,0,1,c,d,e,f,1]);

où:

equation   (37.295)

avec:

equation       et      equation   (37.296)

Continuos avec Maple:

>det (A);

Ce qui donne:

1 - cf - eb - da = 1 - ( fc + eb + da)   (37.297)

L'inverse du Jacobien a alors pour expression :

equation   (37.298)

où nous avons utilisé le produit scalaire dans la dernière relation afin de condenser l'expression.

Soit:

equation   (37.299)

L'intégrale multiple:

equation   (37.300)

où pour rappel:

equation   (37.301)

soit autrement écrit:

equation   (37.302)

mais suite à notre changement de système de coordonnées nous avons pour rappel:

equation   (37.303)

Or, rappelons encore une fois que :

equation   (37.304)

Donc il faut prendre g en equation! Il vient:

equation   (37.305)

Ce qui permet d'écrire :

equation   (37.306)

Il en est de même pour:

equation   (37.307)

qui s'écrit alors:

equation   (37.308)

Finalement la résolution de l'intégrale I s'écrit :

equation   (37.309)

On accède ainsi enfin aux expressions des potentiels.

- Le potentiel scalaire s'écrit :

equation   (37.310)

- Le potentiel vecteur s'écrit :

equation   (37.311)

Compte tenu de l'intégrale qui est quasiment la même que pour le potentiel scalaire excepté le terme equation, nous arrivons en faisant les mêmes développements que précédemment à l'expression :

equation   (37.312)

En résumé, les potentiels pris à l'instant (retard temporel de propagation):

equation   (37.313)

ont pour expressions:

equation   (37.314)

ces potentiels sont appelés "potentiels de Lienard-Wiechert" avec:

equation   (37.315)