Quatrième équation de Maxwell



COURS D'ÉLECTRODYNAMIQUE

1. Première équation de Maxwell

1.1. Equation de divergence du champ électrique

2. Deuxième équation de Maxwell

2.1. Equation de divergence du champ magnétique

3. Troisième équation de Maxwell

3.1. Equation du rotationnel du champ électrique

4. Quatrième équation de Maxwell

4.1. Equation du rotationnel du champ de déplacement

4.2. Monopôles magnétiques

5. Equation de conservation de la charge

6. Théorie de jauges

6.1. Tenseur du champ électromagnétique

7. Equations d'onde électromagnétique

7.1. Equation de Helmoltz

7.2. Energie véhiculée (vecteur de Poynting)

7.3. Emissions

8. Rayonnement synchrotron

8.1. Potentiels de Liénard-Wiechert

La 4ème équation de Maxwell est la plus importante. Elle est une généralisation de la loi d'Ampère qui a déjà été démontrée dans le chapitre de Magnétostatique et pour laquelle nous avions obtenu (il est très facile de vérifier que cette relation est également valable pour l'expression relativiste du champ magnétique) :

equation   (37.29)

La troisième équation de Maxwell nous dit que la variation d'un champ magnétique donne lieu à un champ électrique nous pouvons donc supposer que la réciproque est vraie.

Un endroit typique où l'on peut observer une variation d'un champ électrique est par exemple le condensateur.

Nous savons que :

equation   (37.30)

et que le champ électrique entre deux plans parallèles, de surface S, portant des charges  equation , uniformément est donné par (cf. chapitre d'Électrostatique):

equation   (37.31)

Ce résultat est indépendant de la distance d entre les plans. La deuxième équation de Maxwell donne:

equation   (37.32)

La capacité d'un condensateur étant définie par (cf. chapitre d'Électrostatique) :

equation   (37.33)

nous avions obtenu dans le cas particulier d'un condensateur plan et parallèle que la capacité vaut : 

equation   (37.34)

Comme nous savons que :

equation   (37.35)

rien ne nous empêche d'écrire que:

equation   (37.36)

Nous nommons equation  "courant de déplacement". En exprimant l'expression ci-dessus en utilisant la densité superficielle de courant, il vient : 

equation   (37.37)

Le courant de déplacement engendre un champ magnétique calculable au moyen de la loi d'Ampère:

equation   (37.38)

Dans tout phénomène où nous observons un déplacement de charge, nous pouvons supposer qu'il y a création d'un courant de déplacement qui se superpose au courant de conduction à cause des effets capacitifs dans la matière. Nous écrivons dès lors:

equation   (37.39)

où nous avons (rappel) : 

equation et equation   (37.40)

D'autre part, le théorème de Stokes fournit que (à nouveau, il est facile de vérifier que cette relation est aussi juste pour l'expression relativiste du champ magnétique) :

equation  (37.41)

d'où :

equation  (37.42)

et nous en ressortons finalement que:

equation   (37.43)

Ceci est la "quatrième équation de Maxwell" ou "équation de Maxwell-Ampère".

Explication : La quatrième et dernière équation de Maxwell associe la création d'un champ magnétique à toute variation d'un champ électrique ou à la présence d'un courant électrique.

Remarque: Il est évident que cette formulation est aussi relativiste.

Résumé :

Nous avons donc les quatre équations de Maxwell suivantes appelées "formes locales des équations de Maxwell" (lorsque les intégrales ne sont pas indiquées) :

equation   (37.44)

Dans le cas où equation, les physiciens pour différencier le fait que qu'ils ne travaillent pas dans la vide mais dans la matière écrivent les équations locales de Maxwell sous la forme suivante :

equation   (37.45)

equation est (rappel) appelé "champ de déplacement" ou encore "induction électrique" et (rappel) equation "excitation magnétique".

Remarque: Attention! equation est une réaction du vide au champequation. Cela s'explique par la constante de permittivité du vide mise dans l'intégrale (du moins c'est une façon de voir la chose).

Mais dans le vide et dans le cas où nous considérons une absence de charges, nous obtenons :

equation   (37.46)

Ce résultat est important car il exprime la propagation possible d'un champ électrique et magnétique et ce même en l'absence de sources. Nous utiliserons ces équations pour déterminer les équations d'onde électromagnétiques plus loin.

Remarque: Il est possible d'exprimer les équations de Maxwell sous forme relativiste (la relativité restreinte) mais .... en réalité, comme nous l'avons déjà fait remarquer, les équations sont inchangées! En effet, les équations de Maxwell sont déjà relativistes. Ceci n'a rien d'étonnant car les vecteurs des champs électrique et magnétique, le photon (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs), se propagent à la vitesse de la lumière. A cette vitesse, la relativité est reine et une théorie correcte ne pouvait être que relativiste. On peut toutefois exprimer les équations à l'aide des notations mathématiques tensorielle (voir plus loin notre démonstration du tenseur du champ électromagnétique). Sous cette forme les équations deviennent incroyablement simples et compactes (une seule équation extrêmement courte). Formulées de cette manière, les champs électriques et magnétiques s'écrivent comme un champ unique appelé bien évidemment "champ électromagnétique". C'est un champ tensoriel comme nous le verrons plus loin.

MONOPÔLES MAGNÉTIQUES

Remarquons qu'en optant pour le système de mesure naturel où equation, nous avons alors pour les équations de Maxwell dans le vide :

equation   (37.47)

puisque comme nous le démontrerons plus loin, dans le vide :

equationequation   (37.48)

Alors la transformation :

equation   (37.49)

amène la seconde paire d'équations précédentes en la première ! Cette symétrie des équations de Maxwell est appelée "dualité" et c'est un indice vers lequel le champ électrique et magnétique ne sont que les parties unifiées d'un tout que nous appellerons le "champ électromagnétique".

De plus, si nous introduisons le champ complexe suivant :

equation   (37.50)

la dualité (en prenant la partie réelle seulement), s'écrit alors :

equation   (37.51)

la paire d'équations de Maxwell indiquée précédemment se réduit alors à (nous utilisons la propriété de linéarité de produit vectoriel) plus qu'une seule paire d'équation dont il ne faut pas oublier de prendre la partie réelle :

equation   (37.52)

Cependant, cette symétrie ne s'étend pas aux équations de Maxwell avec sources exprimées dans le système naturel par :

equation   (37.53)

car cela se traduirait au mieux (n'oubliez pas de prendre la partie réelle pour le champ intéressé) :

equation   (37.54)

mais une fois sur deux cela ne marche pas (fait la substitution de equation vous verrez que vous obtenez toujours une des équations sur la paire qui est conforme l'autre pas). L'astuce consiste alors à séparer les deux densités en leur partie imaginaire et réelles respectives :

equation   (37.55)

Nous obtenons alors (toujours sans oublier de prendre les parties réelles) :

equation   (37.56)

il suffit alors de poser equation. Ces équations sont certes charmantes mais leur généralisation n'apporte rien de nouveau cependant car aucune charge magnétique (exprimée par equation) - appelée "monopôle magnétique" - ont été observées à ce jour. Dans le cadre expérimental, nous disons alors que equation sont réels tel que nous ayons bien equation.

ÉQUATION DE CONSERVATION DE LA CHARGE

Nous avons donc démontré les quatre équations de Maxwell qui sont les fondements de l'électrodynamique classique.

Les équations de Maxwell peuvent être divisées en deux groupes:

- des "équations sans source" :

equation et equation   (37.57)

- des "équations avec sources" (dans le vide) :

equation et equation   (37.58)

Dérivant la première équation avec sources par rapport au temps:

equation   (37.59)

et prenant la divergence de la seconde, nous obtenons :

equation   (37.60)

en simplifiant un peu :

equation   (37.61)

or, equation et donc:

equation   (37.62)

Après simplification nous obtenons :

equation   (37.63)

qui est appelée "équation de conservation de la charge" ou "équation de continuité".

Elle s'interprète comme: entre deux instant voisins equation, la variation dQ de la charge contenue dans une surface fermée délimitant un système ne peut être attribuée exclusivement qu'à un échange de charges avec l'extérieur.

Cette équation est très importante, car elle implique lors de l'étude de la relativité restreinte, que la charge est une quantité invariante par translation.


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