Équations d'onde Électromagnetique



COURS D'ÉLECTRODYNAMIQUE

1. Première équation de Maxwell

1.1. Equation de divergence du champ électrique

2. Deuxième équation de Maxwell

2.1. Equation de divergence du champ magnétique

3. Troisième équation de Maxwell

3.1. Equation du rotationnel du champ électrique

4. Quatrième équation de Maxwell

4.1. Equation du rotationnel du champ de déplacement

4.2. Monopôles magnétiques

5. Equation de conservation de la charge

6. Théorie de jauges

6.1. Tenseur du champ électromagnétique

7. Equations d'onde électromagnétique

7.1. Equation de Helmoltz

7.2. Energie véhiculée (vecteur de Poynting)

7.3. Emissions

8. Rayonnement synchrotron

8.1. Potentiels de Liénard-Wiechert

Maxwell supposa que l'onde électromagnétique était une combinaison des phénomènes qu'explicitent la troisième et quatrième équation. Si une onde électromagnétique est éloignée de sa source on peut alors négliger la densité superficielle de courant de la source comme ayant une influence nulle sur l'onde (nous disons alors que ce sont les équations de Maxwell sans source dont nous avons déjà fait mention plus haut). Alors, les troisième et quatrième équations de Maxwell s'écrivent :

equation et equation   (37.197)

Les champs d'excitation magnétiqueequation et électrique equation étant perpendiculaires, plaçons-les de façon commode dans un système d'axes orthogonaux equation unitaires et euclidiens appartenant à equation en choisissant que: 

equation et equation   (37.198)

Remarque: Attention! Il faut bien se rappeler que dans ce qui suit, H est la composante en z de equation et E la composante en y de equation.

Le calcul (simple) de equation  et equation  donne, après simplification:

equation et equation   (37.199)

d'où:

equation et equation   (37.200)

En identifiant les termes semblables, nous obtenons "l'équation de propagation" du champ électrique :

equation   (37.201)

et procédant de manière identique :

equation   (37.202)

relations qui sont toutes deux de la forme d'une équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire)  de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert) :

equation   (37.203)

où nous avons : 

  equation  et equation   (37.204)

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide est donc:

equation   (37.205)

les unités ainsi que les valeurs numériques concordent...

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans la matière est donc:

equation   (37.206)

equation car l'expérience montre que nous ne pouvons dépasser la vitesse de la lumière, ce qui est un des postulats de la relativité restreinte et générale.

Donc nous pouvons finalement écrire :

equation   (37.207)

soit en utilisant le d'Alembertien en une dimension :

equation   (37.208)

A défaut d'avoir trouvé l'expression directe de E(x,t) et B(x,t), nous venons d'obtenir des équations différentielles ne contenant qu'un seul de ces champs. Nous appelons ces équations respectivement "équation d'onde pour le champ électrique" et "équation d'onde pour le champ d'induction magnétique".

Elles ont la même forme et admettent une solution du même type. Une solution évidente et particulière (nous laissons le soin au lecteur de faire cette vérification) des ces équations différentielles est la fonction trigonométrique sinus:

equation   (37.209)

en se rappelant la relation entre la pulsation equation, la vitesse de propagation c et le nombre d'onde k que nous avions démontré dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.

Une solution plus générale est la somme des solutions triviales (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (37.210)

Mais nous avons vu lors de notre étude des phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) que cette solution réelle n'est qu'un cas particulier d'une solution plus générale et se trouvant dans le corps des complexes. Donc finalement, nous pouvons écrire :

equation   (37.211)

ce qui constitue l'onde plane monochromatique qui est le type d'onde le plus simple à manipuler en physique.

En trois dimensions, la solution est par extension :

equation   (37.212)

Remarque: L'onde monochromatique ne peut pas représenter une réalité physique. En effet, si nous calculons l'énergie électrique associé à tout l'espace, nous obtenons pour celle-ci une énergie infinie (car elle n'a ni début, ni fin!) ce qui n'est pas réaliste.

Or, l'équation des ondes est linéaire (solution est toujours la somme d'autres solutions). Donc ceci implique qu'une superposition d'ondes de fréquences  différentes (nombre d'onde et pulsation aussi alors!) est également solution. Ainsi, en variant le vecteur d'onde (et implicitement via sa norme, la pulsation, la fréquence et la période) nous balayons également l'ensemble des directions de propagation possibles.

Ecrit mathématiquement cela donne, pour le champ électrique :

equation   (37.213)

et rien ne nous empêche de sortir un coefficient de l'amplitude initiale du champ tel que :

equation   (37.214)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) ce qui est remarquable! Alors l'astuce consiste maintenant à poser equation car la relation précédente n'est alors pas qu'une simple analogie avec la transformée de Fourier, c'est une transformée de Fourier!

Nous pouvons donc relier le champ réel equation au champ equation :

equation   (37.215)

Ces deux relations étant souvent condensées sous la forme :

equation   (37.216)

Le champ réel est donc à l'instant initial la transformée de Fourier inverse du champ equation. Le terme equation représente donc la composante spectrale liée au vecteur d'onde particulier equation du champ réel. Cette solution générale de l'équation des ondes s'appelle un "paquet d'ondes"

 

Rappels :

R1.Identiquement à la mécanique ondulatoire (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), les coefficients equation (pulsation) et equation (nombre d'onde) sont exigés pour exprimer la variation du sinus par des radians et pour lui donner une direction et une pulsation.

R2. La périodicité dans le temps de la fonction sinus impose:

equation   (37.217)

d'où la définition de la période de l'onde :

equation   (37.218)

R3. La périodicité dans l'espace donne permet de définir façon identique la longueur d'onde de la fonction comme :

equation   (37.219)

Nous constatons donc que l'onde plane se déplace selon x en parcourant une distance equation en un temps T. La vitesse de l'onde électromagnétique est alors:

equation   (37.220)

En introduisant:

equation   (37.221)

dans equation nous obtenons le résultat remarquable pour l'onde plane oscillatoire:

equation   (37.222)

équation de helmoltz

Maintenant, examinons en détail une autre solution de la forme :

equation   (37.223)

où cette fois-ci, nous faisons explicitement mention des coordonnées afin d'éviter toute confusion.

Remarque: La solution particulière avec le cosinus est plus appréciée par les enseignants que celle avec le sinus car elle permet comme nous allons le voir, une écriture condensée avec les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Si nous utilisons la notion de phaseur, nous pouvons récrire cette solution sous la forme :

equation   (37.224)

Donc :

equation   (37.225)

dans l'équation d'onde :

equation   (37.226)

nous obtenons :

equation   (37.227)

qui n'est d'autre que "l'équation de Helmoltz" (pour l'électrodynamique) à une dimension. Il s'agit bêtement de l'équation d'onde écrite d'une manière traditionnelle particulière que nous retrouvons dans de nombreux autres domaines de la physique.

Énergie véhiculée

Il est évident que toute onde électromagnétique transporte donc de l'énergie. Exprimons la valeur de cette énergie. 

La direction de propagation d'une onde électromagnétique étant celle du vecteur equation, nous définissons alors le vecteur de Poynting equation comme:

equation   (37.228)

dont la valeur s'exprime en joules par seconde et par unité de surface: equation

La norme du vecteur de Poynting représente donc la puissance instantanée qui est transportée par l'onde électromagnétique à travers une surface unitaire, perpendiculaire (nous insistons sur le "perpendiculaire") à sa direction de propagation. Dès lors, nous pouvons aussi écrire le vecteur de Poynting sous la forme (attention à ne pas confondre l'énergie et le champ électrique qui sont représenté par la même lettre) :

equation   (37.229)

equation est comme à l'habitude le vecteur unitaire perpendiculaire à equation (cette dernière relation nous sera utile pour étudier une petite propriété du rayonnement synchrotron).

Pour une onde électromagnétique plane, la norme du vecteur de Poynting vaut:

equation   (37.230)

Cette grandeur varie en fonction du temps et du lieu. En un endroit donné, sa valeur moyenne est la valeur moyenne du equationpendant une période T:

Rappel:

equation   (37.231)

Donc :

equation   (37.232)

La valeur moyenne du vecteur de Poynting d'une onde électromagnétique plane est une constante... qui ne dépend ni de la position et du temps.

Remarque: Nous pouvons faire une analogie osée et amusante avec l'électronique en faisant une analyse dimensionnelle du produit equationci-dessus. Nous avons :

equation   (37.233)

...pour démontrer l'énergie contenue dans une unité de volume les physiciens pragmatiques feraient une analyse dimensionnelle. Evitons cela et intéressons nous toujours au cas particulier de l'onde plane:

Basons-nous sur l'énergie électrique d'une capacité plane idéale productrice d'ondes électromagnétiques planes avec un rendement de 100%:

equation   (37.234)

et notons la densité volumique d'énergie :

equation  (37.235)

d'où nous tirons que : 

equation   (37.236)

et l'énergie totale transportée par l'onde électromagnétique dans ce cas particulier est donc:

 equation   (37.237)

Donc la densité d'énergie électrique d'une onde électromagnétique est égale à sa densité d'énergie magnétique.

De par ce résultat, nous sommes amenés à définir "l'intensité I (moyenne) d'une onde électromagnétique" par la valeur moyenne de son vecteur de Poynting:

equation   (37.238)

C'est donc la puissance moyenne que transporte l'onde par unité de surface. Or, nous avons démontré plus haut l'expression moyenne du vecteur de Poynting, ce qui nous amène à écrire :

equation   (37.239)

Maintenant, utilisant la relation entre énergie et quantité de mouvement (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

equation   (37.240)

nous obtenons la densité de quantité de mouvement de l'onde électromagnétique:

equation   (37.241)

Or si la direction de equation est perpendiculaire au front d'onde et est donc confondue avec la direction de propagation de l'onde son module est:

equation   (37.242)

Nous avons donc pour la densité de quantité de mouvement:

equation   (37.243)

Comme la quantité de mouvement doit avoir la direction de la propagation, nous pouvons écrire sous forme vectorielle:

equation   (37.244)

Si une onde électromagnétique possède de la quantité de mouvement, elle possède aussi une densité de moment cinétique. Le moment cinétique par unité de volume est alors:

equation   (37.245)

Ainsi, une onde électromagnétique transporte de la quantité de mouvement et du moment cinétique aussi bien que de l'énergie!!!

Ce résultat n'est pas surprenant. Une interaction électromagnétique entre deux charges électriques implique un échange d'énergie et de quantité de mouvement entre les charges. Cela s'effectue par l'intermédiaire du champ électromagnétique qui transporte une densité d'énergie et de quantité de mouvement échangés.

ÉMISSIONS

Pour prévoir la forme et les propriétés du rayonnement émis par des antennes ou autres sources il faudrait rigoureusement faire appel à des ordinateurs et aux modèles numériques correspondants au problème à étudier. Formellement, le résolution des équations de Maxwell dans des systèmes macroscopiques est assez difficile et prend du temps. De plus, ceci est plutôt le travail de l'ingénieur qui cherche une exploitation pratique à partir de théories fondamentales. Le physicien théoricien s'intéresse aux fondements de l'univers et aux systèmes isolés et parfaits. 

Cependant, nous souhaiterions exposer la théorie de la diffraction et pour cela, nous devons faire un crochet théorique à une approximation des propriétés du rayonnement d'une source ponctuelle sphérique dans le vide.

L'onde dans le cas d'une source ponctuelle sphérique se propage sphériquement dans l'espace (nous parle alors "d'onde sphérique")  et le vecteur de Poynting est radial.

Les vecteurs equation et equation sont localement contenus dans le plan tangent à la sphère de rayon r (c'est logique!).

Pour que le flux d'énergie soit constant, l'intensité de l'onde doit diminuer avec la distance. En effet, la conservation de l'énergie impose qu'à travers une sphère de rayon equation l'énergie equation rayonnée par unité de temps soit égale à celle  qui traverse la sphère de rayon equation:

equation   (37.246)

Ceci implique naturellement:

equation   (37.247)

Mais:

equation   (37.248)

ce qui implique:

equation   (37.249)

Nous pouvons faire de même pour la composante du champ magnétique.

Conclusion : l'intensité I d'une onde électromagnétique sphérique se propageant dans le vide diminue en equationet l'amplitude des champs électrique et magnétique diminue en 1/r. Par extension (information importante pour les téléphones portables) l'énergie transportée diminue donc en equation.

Il est facilement compréhensible maintenant d'appréhender pourquoi les physiciens utilisent systématiquement la fréquence pour caractériser une onde car l'amplitude n'est pas constante dans le vide alors que la fréquence est une sorte de signature de l'émetteur qui ne se perd pas à travers l'espace!!!


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