ÉLECTRODYNAMIQUE
1. Première équation de Maxwell
1.1. Equation de divergence du champ électrique
2. Deuxième équation de Maxwell
2.1. Equation de divergence du champ magnétique
3. Troisième équation de Maxwell
3.1. Equation du rotationnel du champ électrique
4. Quatrième équation de Maxwell
4.1. Equation du rotationnel du champ de déplacement
4.2. Monopôles magnétiques
5. Equation de conservation de la charge
6.1. Tenseur du champ électromagnétique
7. Equations d'onde électromagnétique
7.1. Equation de Helmoltz
7.2. Energie véhiculée (vecteur de Poynting)
7.3. Emissions
8.1. Potentiels de Liénard-Wiechert
Nous allons dans ce chapitre étudier un ensemble d'équations qui peuvent résumer à elles seules l'ensemble de nos connaissances sur l'électrostatique et la magnétostatique. Ces équations, au nombre de quatre, se nomment "équations de Maxwell-Heaviside" (que nous abrégerons par abus comme de nombreux autres ouvrages "équations de Maxwell") et vont nous permettre d'aborder la branche de la physique appelée "électrodynamique" et donc des ondes électromagnétiques.
Rappel : Nous supposerons que tout à chacun sait en ce début de 3ème millénaire que les rayons gamma, les ondes radio, les micro-ondes, la lumière visiible (et non visible) sont simplement des ondes électromagnétique (E.M.) de fréquences différentes!
Première équation de Maxwell
Soit
définit un champ de vecteurs 
dans l'espace. Considérons une surface S fermée
dans le champ. Alors à chaque point (x, y, z)
appartenant à la surface correspond un vecteur du champ.
Dans ce cas le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donne :
(37.1)
avec V étant le volume de la surface (dite "surface de Gauss") fermée.
dans
V.Rappel
: Dans le cas du théorème de Ostrogradsky le vecteur 
est
conventionnellement dirigé vers l'extérieur de la surface.
Dans
le cas particulier du champ électrique, nous obtenons des résultats
très intéressants. En effet soit une charge
Q repérée
par rapport à un référentiel par le vecteur 
.
Alors, nous avons vu dans
le chapitre d'Électrostatique qu'en chaque point de l'espace
il existe un champ
tel que:
(37.2)
d'où :
(37.3)
Comme
nous pouvons le constater, le champ
possède une singularité
en 
. Considérons une surface de Gauss tel que la charge Q se
trouve à l'extérieur de cette surface. A l'intérieur
du volume V
délimitant la surface S le champ
ne possède alors pas
de singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence
de 
:
(37.4)
Donc si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour la description détaillée de l'opérateur Nabla):
(37.5)
Le flux est nul !
Dans
le cas où la charge Q se trouve à l'intérieur de
la surface de Gauss 
n'est
plus défini en 
nous
avons alors:
(37.6)
Avec
étant
le flux de 
sur
une petite boule B entourant la charge ponctuelle Q.
Dans ce cas :
(37.7)
car la divergence est définie partout sur V-B. Il nous reste donc:
(37.8)
Mais dans
le cas d'une sphère il est facile de calculer 
Nous avons :
(37.9)
d'où la "première équation de Maxwell" ou "loi de Gauss" pour le champ électrique (ou "théorème de Gauss") :
Explications : Cette équation suggère que le flux du champ électrique traversant une surface close (d'où le cercle sur l'intégrale) est égale, à un facteur dimensionnel près, à la charge totale enfermée dans cette surface.
R1. Il est intéressant (et trivial) de remarquer que le résultat est identique si nous prenons la formulation relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte) de l'expression du champ électrique (à cause des différentielles qui sont partielles et non totales) !
R2. L'intégrale de la dernière relation est une intégrale curviligne (donc évaluée sur une courbe). Dans le domaine de l'électrodynamique les intégrales curvilignes s'appliquent très souvent sur des chemins ou surfaces fermées d'où l'indication d'un cercle superposé au symbole de l'intégrale portant alors le nom de "circulation du champ de vecteurs".
Si nous exprimons maintenant cette équation en fonction du potentiel électrique, nous obtenons :
(37.11)
où
donc 
.
Nous pouvons noter la relation ci-dessus de façon plus esthétique
en utilisant le Laplacien scalaire, tel que nous obtenions la relation:
(37.12)
appelée "équation de Maxwell-Poisson".
Deuxième équation de Maxwell
Dans
le cas particulier du champ magnétique, nous obtenons des résultats
très intéressants. En effet soit un courant I repéré par
rapport à un référentiel par le vecteur 
.
Alors en chaque point de l'espace, nous avons vu dans le chapitre
de Magnétostatique qu'il existe un champ 
tel que:
(37.13)
d'où :
(37.14)
Comme
nous pouvons le constater, le champ 
possède
une singularité en 
.
Considérons alors une surface de Gauss tel que le courant I
se trouve à l'extérieur de cette surface.
A
l'intérieur du volume V délimitant la surface S le
champ 
ne
possède alors pas de singularité. Nous pouvons donc calculer
la divergence de 
:
(37.15)
D'où :
(37.16)
Si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons alors :
(37.17)
Le flux est nul !
Dans
le cas où le courant I se trouve à l'intérieur de
la surface de Gauss 
n'est
plus défini en 
nous avons alors :
(37.18)
Avec
étant le flux de 
sur
une petite boule entourant partiellement le conducteur rectiligne
transportant le courant I. Dans ce cas:
(37.19)
car la divergence est définie partout sur V-B.
Il nous reste donc:
(37.20)
Mais dans le cas d'une sphère il est facile de calculer :
(37.21)
Nous avons alors loi de Gauss pour le champ magnétique :
(37.22)
Dans le
cas du champ magnétique, 
et
sont
perpendiculaires donc :
(37.23)
!Donc, soit donnée une surface de Gauss dans un champ magnétique, alors le flux du champ magnétique à travers cette surface vaut:
relation qui constitue la "deuxième équation de Maxwell".
Explication : La deuxième équation est basée sur le fait qu'il n'existe aucun " monopôle magnétique" dans la nature, c'est-à-dire, qu'à tout pôle positif, nous devons retrouver un pôle négatif (à partir d'un aimant, les lignes du champ ne divergent pas). La deuxième équation vient toutefois rajouter l'idée (démontrée par Dirac) que s'il était possible de retrouver un monopôle dans la nature, il serait le point de source du champ magnétique. Nous verrons cela un peu plus loin dans les détails.
Troisième équation de Maxwell
Nous démontrerons dans le chapitre d'Électrocinétique (car il faut des notions que nous n'avons pas encore rencontrées), que la variation du flux du champ magnétique dans le temps à travers une boucle conductrice induit une tension dans cette boucle donnée par la "loi de Faraday" :
(37.25)
et nous avons déjà démontré dans le chapitre d'Électrostatique que:
(37.26)
donc:
(37.27)
Si nous développons cette relation, en utilisant le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous obtenons alors:
Ceci est la "troisième équation de Maxwell" ou "loi de Maxwell-Faraday" dite parfois encore "loi d'induction".
Explication : La troisième équation affirme qu'une variation du champ magnétique produit un champ électrique dans une boucle conductrice. Cette équation est donc basée sur la théorie de Faraday.
page suivante : 4. Quatrième équation de Maxwell
