SEMI-CONDUCTEURS



COURS D'ÉLECTROCINÉTIQUE

1. Lois de Kirchoff

1.1. Lois des mailles

1.2. Lois des noeuds

2. Modèle de Drude

3. Loi d'Ohm

3.1. Résistance équivalente

3.2. Capacité équivalente

4. Force électromotrice

4.1. Loi de Faraday

4.1.1. Loi de Lenz

4.1.2. Inductance

5. Semi-conducteurs

5.1. Sphère, surface et vecteur d'onde de Fermi

5.2. Densité volumique d'états quasi-libres par unité d'énergie

5.3. Densité statistique non-dégénérée des porteurs négatifs

5.3.1. Semi-conducteur non-dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann)

5.4. Densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs

5.5. Bandes d'énergie (bande de conduction, bande interdite, bande de valence)

5.6. Loi d'Ohm

Le défaut principal du modèle de Drude vu précédemment est de considérer l'électron comme une particule classique. Un ensemble de telles particules n'est évidemment pas soumis au principe d'exclusion de Pauli. Autrement dit, à température nulle, ils peuvent tous posséder une énergie nulle comme le montrent les expressions mathématiques que nous avons obtenues. Par ailleurs, le modèle de Drude nous a montré aussi que la résistivité augmente lorsque la température s'élève alors que c'est l'inverse pour le silicium!

Au fait, nous retenons en général quatre dates à la source du développement de cette théorie:

- En 1833, Michael Faraday fait état de la conductivité d'un matériau qui augmente avec la température.

- En 1839, Antoine Becquerel découvre que sous illumination une tension électrique apparaît à la jonction de certains matériaux (et liquides). C'est l'effet photovoltaïque, qui donnera naissance beaucoup plus tard (vers 1950) aux cellules solaires.

- En 1873, Willoughby Smith montre que la conductivité de certaines substances augmente lorsque qu'on les illumine. C'est la photoconductivité.

- Enfin, en 1874 Karl Ferdinand Braun découvre le phénomène de redressement électrique lorsqu'une pointe métallique est déposée sur certains conducteurs, c'est-à-dire que le courant électrique passe dans un sens lorsque le potentiel électrique appliqué à la pointe est positif mais non lorsqu'il est négatif!

Bien que ces découvertes fussent totalement incomprises et surtout non reconnues comme étant les différentes expressions d'un même phénomène physique (la semi-conductivité), les application pratiques furent immédiates et menèrent à la deuxième révolution industrielle qui est celle de la microélectronique!

Ce type de difficulté (parmi de nombreuses autres...) s'efface en grande partie avec le modèle de l'électron libre dans un puits de potentiel, imaginé par Sommerfeld en 1928. Dans ce modèle les électrons, soumis au principe de Pauli, suivent la distribution en énergie de Fermi-Dirac (cf. chapitre de Mécanique Statistique), alors que dans le modèle de Drude ils suivaient la loi de Maxwell-Boltzmann.

Il en découle deux résultats importants :

- Seule une fraction des électrons est susceptible de voir son énergie varier sous l'effet d'une action extérieure (température, champ électrique, etc.)

- Même au zéro absolu, l'énergie cinétique des électrons n'est pas nulle.

Le modèle de Sommerfeld fournit une base pour l'édification de théories plus spécifiques et est à la base du domaine de la "physique du solide" selon certaines sources. Ce n'est donc pas un modèle achevé traitant d'un problème précis comme la conduction électrique ou l'émission thermoélectronique. Cette base est la distribution en énergie des électrons, obtenue par le produit de deux fonctions : la densité des états et la distribution de Fermi-Dirac.

Malgré les améliorations qu'il apporte, ce modèle ne donne cependant pas une description satisfaisante des propriétés électroniques des solides dans tous les cas. Ses limitations proviennent du fait qu'il ne tient pas compte implicitement de la structure réelle des matériaux et des interactions entre électrons. Ce modèle ne permettra donc jamais d'expliquer objectivement pourquoi tel cristal est conducteur, et tel autre isolant ou semi-conducteur (par exemple le diamant et le silicium ont la même structure cristalline et configuration électronique mais à partir d'une certaine température l'un devient conducteur et l'autre reste isolant!).

La théorie des semi-conducteurs, appelée plus souvent "théorie des bandes" pour des raisons que nous verrons plus loin, est aussi un exemple fameux de l'application des résultats de la physique quantique ondulatoire (voir chapitre du même nom) et de la statistique quantique (cf. chapitre de Mécanique Statistique).

Pour son étude, nous nous concentrerons ici sur le modèle scolaire qualitatif le plus simple qui est celui basé sur un semi-conducteur cristallin avec un réseau parfaitement périodique et à bandes paraboliques (nous préciserons cela à nouveau plus loin).

Le lecteur un peu critique verra que les développements qui vont suivre ne sont cependant pas purement quantiques (il y a un même avec la mécanique classique limite acceptable)... donc l'approche est un peu grossière mais elle permet d'avoir une idée qualitative des phénomènes dans les semi-conducteurs. C'est une des raisons pour laquelle ce modèle est appelé "modèle semi-classique des bandes paraboliques".

Au fur et à mesure des années nous compléterons les développements qui vont suivre pour au final tenter d'avoir toute la démarche détaillée. D'ici là il faudra être patient...

Nous ferons abstraction des concepts qui ne sont pas absolument nécessaire à l'introduction du modèle pour présenter ici uniquement l'essentiel qui suffit à l'ingénieur dans son travail quotidien.

Pour commencer la partie mathématique de l'étude des semi-conducteurs, nous considérerons un cristal soumis à une différence de potentiel. Un électron de conduction du cristal sera donc soumis d'une part à une force interne equation résultant du champ cristallin, et d'autre part à une force d'origine externe equation résultant du champ électrique appliqué au cristal.

Les hypothèses du modèle sont :

H1. Il existe à la surface des métaux une barrière de potentiel empêchant les électrons de quitter la matière.

H2. À l'intérieur de la matière, les électrons sont soumis à un potentiel constant!

H3. Les électrons sont indépendants (pas d'interactions entre eux).

H4. Les électrons obéissent aux lois de la mécanique quantique et classique

H5. Les électrons obéissent aux lois de l'électrodynamique de Maxwell

H6. Les bandes d'énergie forme un spectre continu de niveaux d'énergie

La première hypothèse repose sur l'observation élémentaire suivante : les électrons se déplaçant dans un métal ne franchissent pas, à température ambiante tout au moins, les surfaces limitant l'échantillon.

La deuxième hypothèse paraît assez brutale. C'est elle qui bannit du modèle la notion de structure de la matière. Elle sera remplacée dans le modèle des bandes d'énergie (sect. 2.6) par un potentiel périodique rendant compte de l'influence des noyaux chargés positivement. Cette hypothèse traduit le fait que les électrons sont considérés comme libres dans le puits de potentiel.

La barrière de potentiel possède une largeur finie, c'est-à-dire que le passage du potentiel régnant à l'intérieur de la matière au potentiel régnant à l'extérieur se fait sur quelques distances interatomiques. Mais les dimensions de l'échantillon étant en pratique toujours très grandes vis à vis d'une distance interatomique, on peut considérer la barrière de potentiel comme infiniment abrupte, ce qui simplifie les calculs.

Remarque: Nous admettrons pour simplifier les calculs que les électrons se déplacent dans une seule direction (celle du champ électrique) ce qui évitera de se balader avec des vecteurs.

L'équation de la dynamique s'écrit alors naturellement pour cet électron:

equation   (38.94)

Nous écrivons alors (rien ne nous interdit de le faire) que l'électron dans le cristal répond à la sollicitation de la force externe equation comme une quasi-particule de masse equation dans le vide:

equation   (38.95)

C'est l'étude de ce dernier terme qui va nous intéresser. Pour cela rappelons que dans le cadre de l'étude détaillée de la propagation de l'électron libre dans le vide, où nous négligeons les effets de son spin, nous avons démontré qu'il doit obligatoirement être décrit selon l'équation de Schrödinger par un paquet d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) centré sur un état equation sinon quoi sont énergie serait infinie.

Peut cependant se poser la question.... de ce qui nous amène à le considérer comme libre.... Eh bien c'est l'expérience qui montre que lorsque nous appliquons un certain potentiel seuil, un courant commence à apparaître dans les semi-conducteurs.

Nous avons démontré (toujours dans le cadre de la propagation de la particule libre sans spin dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) que le paquet d'onde peut alors être vu dans sa solution mathématique comme une onde plane (libre) se déplaçant à la vitesse de phase:

equation   (38.96)

que nous noterons pour la suite afin de simplifier les notations:

equation   (38.97)

Or, dans le réseau cristallin, la vitesse de phase peut varier, en fonction de l'endroit du réseau où se trouve l'électron à cause de forme géométrique potentiel dans le cristal. Il nous faut donc utiliser la vitesse de phase instantanée:

equation   (38.98)

Rappelons que nous avons aussi en toute généralité l'énergie totale donnée par:

equation   (38.99)

Il vient alors:

equation   (38.100)

Le terme:

equation   (38.101)

n'est de loin pas simple dans le cas d'un cristal (c'est même un cauchemar...).

Evidemment pour une particule libre (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire), rappelons qu'il s'agit de:

equation   (38.102)

Mais pour une particule dans un champ de potentiel ayant une géométrie complexe l'énergie E commence à avoir une expression dépendante de k en fonction des zones qui peut devenir très complexe (voir les exemples du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). D'où la justification de l'utilisation de la dérivée.

L'accélération au sens classique de cet électron est alors donnée par:

equation   (38.103)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (38.104)

donc:

equation   (38.105)

d'où:

equation   (38.106)

La dérivée de equation par rapport à equation dans la relation précédente s'annulera car la force découle du potentiel appliqué sur le semi-conducteur seulement et non pas du vecteur d'onde de l'électron lui-même! Il nous reste alors:

equation   (38.107)

Puisque ici E est l'énergie totale au potentiel soumis de l'extérieur seulement, alors la force equation est la force externe equation générée par l'application du potentiel. Nous avons alors:

equation   (38.108)

et:

equation   (38.109)

Il vient alors par égalisation:

equation   (38.110)

Puisque l'énergie de l'électron peut avoir une forme mathématique compliquée conformément au cas applicatifs vus dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, exprimons equation sous forme de développement limité de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries) d'une fonction à trois variables au deuxième ordre en laissant tomber les termes d'interactions et en en ne prenant pas les termes de premier degré:

equation   (38.111)

Au fait cette approximation grossière mais toutefois acceptable dans pas mal de cas pratiques tient au fait que l'expérience montre que les surfaces d'énergie en fonction de k ont en approximation une forme parabolique dans certains cristaux semi-conducteurs.

Dans les conducteurs, l'approximation de la relation précédente n'est prise qu'au premier terme.

 Une autre manière de le voir est que pour un électron libre nous avons pour rappel, en une dimension, la courbe de dispersion (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

equation   (38.112)

qui est bien une parabole en fonction de k. Effectivement, si nous prenons notre développement de Taylor en une dimension il  nous reste:

equation   (38.113)

et comme nous avons déterminé avant que:

equation   (38.114)

Il vient:

equation   (38.115)

Si l'électron est libre la courbe de dispersion nous impose d'avoir (sans présence de potentiel):

equation   (38.116)

qui est alors considérée comme "l'énergie du minimum" equation Il nous reste alors:

equation   (38.117)

et en prenant equation nous retombons sur courbe de dispersion d'une particule libre (ce qui justifie donc le fait d'avoir posé equation pour un électron libre) :

equation   (38.118)

Ce qui montre que l'approximation n'est pas trop fausse.... et justifie le fait que dans certains ouvrages la relation précédente (série de Taylor) décrit une particule dite "quasi-libre".

Mais revenons-en à:

equation   (38.119)

Et puisque le paquet d'onde est centré autour de equation normalisons-la comme valant 0 (ce qui équivaut à centrer les valeurs du vecteur d'onde). Nous avons alors:

equation   (38.120)

Ce qui est intéressant avec ces développements c'est que nous sommes partis d'un électron libre sous forme de paquet d'onde et grâce au développement de Taylor nous nous retrouvons avec une expression extrêmement simple de l'énergie d'un électron quasi-libre.

Il en sort que pour un électron quasi-libre nous, sans interactions et sans prendre en compte les effets de spin nous avons:

equation   (38.121)

Nous remarquons alors une chose forte sympathique! C'est que notre électron quasi-libre à un nombre d'onde qui ressemble en tout point à celui d'une particule coincée dans un puits de potentiel à parois rectilignes (voir la démonstration dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Nous souhaiterons maintenant calculer à l'aide de l'expression de k (n'ayant pas directement celle de E car trop complexe) la densité d'états (in extenso d'électrons) dans le volume donne par le puits rectangulaire correspondant.

Nous avons démontré dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire que pour le puits de potentiel à barrières rectangulaires:

equation   (38.122)

si nous imposions un nombre entier de demi-longueur d'onde. Si nous imposons un nombre entier de longueur d'onde (conditions de Born-von Karman afin qu'après une translation du réseau périodique du cristal nous retrouvions les mêmes propriétés) pour que la solution soit physiquement acceptable, nous avons alors:

equation   (38.123)

ce qui implique bien évidemment deux fois moins d'états.

Par extension, pour l'espace nous avons alors dans le cas tridimensionnel:

equation   (38.124)

avec:

equation   (38.125)

et où equation

Le résultat est très similaire à celui du puits de potentiel rectangulaire à une dimension mais nous avons maintenant des conditions aux bords particulières afin d'avoir une correspondance avec l'expérience et trois nombres quantiques principaux au lieu d'un seul. De plus, chaque combinaison de ces trois nombre correspond à une fonction d'onde (état) différente. De plus ces nombres sont indépendants (aucune condition imposée).

Nous avons alors le premier niveau où tous les n sont unitaires:

equation   (38.126)

Si nous acceptons pour simplifier que le puits à des arêtes de longueurs égales (semi-conducteur à réseau cristallin cubique), nous avons alors:

equation   (38.127)

Représentons l'espace des k pour un tel réseau cubique et pour différents multiples de equation:

equation
  (38.128)

Donc tous les états quantifiés ne peuvent prendre que des valeurs espacées de equation dans l'espace des k ce qui signifie que par volume élémentaire il n'y a un qu'un seul vecteur d'onde possible et donc qu'un seul état associé. Effectivement, faites un dessin par-dessus la figure ci-dessus si vous voulez et vous verrez (!) mais ne vous fiez pas aux gros points noirs qui sont là uniquement pour montrer les extrémités des volumes élémentaires et qui ne correspondent pas tous à des états possibles!

Ainsi, dans un volume sphérique de rayon k de l'espace des k. Nous avons un nombre précis de volume élémentaires (états):

equation   (38.129)

où dans la littérature il est d'usage (tradition) de ne conserver la forme de la deuxième égalité dans les développements.

Remarque: La sphère de rayon k, contenant les niveaux à un électron qui sont occupés est appelée parfois "sphère de Fermi". La valeur du rayon est alors notée equation et appelée "vecteur d'onde de Fermi". La surface de la sphère de Fermi, qui sépare les niveaux occupés de ce qui ne le sont pas comme nous le verrons plus tard est appelée "surface de Fermi".

En considérant maintenant le spin (ben oui tant qu'on y est...) nous multiplions par 2 puisqu'il y a deux états de spin possible par état:

equation   (38.130)

et en y injectant:

equation   (38.131)

Nous avons alors:

equation   (38.132)

La densité volumique d'états (quasi-)libres sera obtenue en dérivant cette dernière relation par le volume:

equation   (38.133)

Et si nous souhaitons la densité d'états (quasi-)libres (de vibration) par unité d'énergie et de volume il va nous falloir en plus dériver par rapport à l'énergie :

equation   (38.134)

Ce qui donne:

equation   (38.135)

Ce résultat ne dépendant pas du volume, il est inchangé lorsque celui-ci tend vers l'infini! Donc il est valable pour tout point du cristal semi-conducteur si celui-ci est parfait...

Ce que nous trouvons également parfois sous les formes (un peu malheureuses...) suivantes dans certains ouvrages:

equation   (38.136)

et il y aussi ceux-qui ne prennent en compte le spin que plus tard... ce qui donne une forme identique que les trois relations précédentes mais à diviser par 2.

DENSITÉ STATISTIQUE NON-DÉGÉNERÉE DES PORTEURS NÉGATIFS

Bref, cependant cette relation à un défaut (encore un...)! Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de Mécanique Statistique lors de notre étude de la statistique quantique que dans un système où même le spectre d'énergie est considéré comme continu, il est impossible de ne pas prendre en compte la dégénération des différents niveaux d'énergie. Nous avions démontré alors que pour une population de fermions, à une énergie (ou température) donnée le pourcentage de niveaux dégénérés occupés est donné par la fonction de Fermi-Dirac:

equation   (38.137)

et que la fonction retournait donc une valeur comprise entre 0 au minimum et 1 au maximum.

Cette fonctionne donne donc pour une température T fixée la probabilité qu'un électron occupe un état d'énergie E.

Ce qui fait que notre relation D(E) surestime la valeur réelle de densité d'états (quasi-)libres occupés pour une énergie (ou température) donnée. Ce qui fait que pour avoir une meilleure approximation nous écrivions en toute logique la densité volumique d'états (quasi-)libres par unité d'énergie:

equation   (38.138)

Cependant, dans la pratique, nous allons chercher à calculer la densité volumique d'états (quasi-)libres dans un spectre (intervalle) d'énergie. Il vient alors avec la correction ajoutée précédemment:

equation   (38.139)

Soit:

equation   (38.140)

Il vient alors immédiatement que la densité volumique d'états (d'électrons) (quasi-)libres à une température donnée (conditions normales de température pour les applications civiles) en prenant en compte tous les états (niveaux) d'énergie possible est alors:

equation   (38.141)

Prendre equation comme borne inférieure nous évite, comme nous allons le voir un peu plus bas, de nous retrouver avec une racine négative... ce qui serait gênant... à priori.

De plus, nous pouvons sans erreurs appréciables reporter la limite de l'intégrale à l'infini car equation quand E est importante.

Malheureusement, cette intégrale n'est en général pas soluble analytiquement. Il va donc falloir recourir à des approximations.

Nous allons commencer par faire l'hypothèse que nous somme dans le régime classique du gaz d'électrons. C'est-à-dire que:

equation   (38.142)

ce qui implique:

equation   (38.143)

En d'autres termes l'énergie E doit être bien supérieure au potentiel chimique equation (assimilé souvent malheureusement et à tort dans la littérature sur les semi-conducteurs au niveau de Fermi equation). Les physiciens notent alors cette énergie equation pour la distinguer et l'appellent "énergie minimale de la bande de conduction" (qui correspond à l'énergie minimale d'un électron quasi-libre pour satisfaire cette condition).

Remarque:  Malheureusement comme précisé dans le paragraphe précédent (!) dans beaucoup d'ouvrages de qualité sur les semi-conducteurs, le potentiel chimique equation, qui est pour rappel une notion purement thermodynamique impliquant une hypothèse d'interactions, est remplacée par le concept d'énergie de Fermi equation et pourtant ce n'est pas la même chose! Les deux énergies coïncident que dans le cas où la température T est nulle!

Donc nous devons considérer le terme de "niveau de Fermi", comme n'étant rien d'autre qu'un synonyme de "potentiel chimique" dans le contexte des semi-conducteurs.

Nous avons alors:

equation   (38.144)

equation est la fonction de Maxwell-Boltzmann (cf. chapitre de Mécanique Statistique) donnée pour rappel par:

equation   (38.145)

Et correspond donc bien à un comportement non quantique (soit un gaz d'électrons non-dégénéré!) car lorsque:

equation   (38.146)

nous avons:

equation   (38.147)

et donc les états d'énergie ne sont de loin pas tous occupés par les électrons (il n'y a donc pas dégénérescence).

Nous sommes donc bien dans une situation où la physique classique prédomine sur la physique quantique. C'est la raison pour laquelle dans cette approximation (de Maxwell-Boltzmann) nous disons alors que nous avons affaire à un "semi-conducteur non-dégénéré" car les électrons ne sont pas entassés dans les niveaux les plus bas disponibles.

Pour pouvoir continuer, nous faisons un changement de variable en posant:

equation   (38.148)

d'où:

equation   (38.149)

Il vient alors:

equation   (38.150)

Nous faisons une intégration par parties:

equation   (38.151)

nous faisons ensuite un changement de variable en posant:

equation   (38.152)

Ce qui donne:

equation   (38.153)

Nous avons déjà calculé cette intégrale dans le chapitre de Statistiques. Il vient:

equation   (38.154)

Nous avons alors finalement:

equation   (38.155)

Où pour rappel, equation est la masse de la quasi-particule (et non la masse de l'électron pour rappel!). Donc après intégration tout se passe comme si tous les électrons étaient concentrés sur le niveau d'énergie equation avec un nombre de places disponibles correspondant à:

equation   (38.156)

Ce que nous notons traditionnellement (et de manière un peu malheureuse... car il n'est pas évident de se rappeler qu'il s'agit d'une densité):

equation   (38.157)  

Ou encore:

equation   (38.158)

Où nous avons environ à température ambiante (c'est le paramètre de la masse effective qui varie entre les deux) les valeurs suivantes d'états (quasi-)libres respective pour le Silicium:

equation   (38.159)

Et pour le Germanium:

equation   (38.160)

Alors qu'il y a environ une densité d'atomes de equation et environ equation électrons pour ces deux éléments.

Cela signifie qu'il y a donc un rapport de 1/100000 entre la densité d'électrons total et le nombre d'électrons quasi-libres.

Nous remarquons cependant également que ce modèle théorique ne prend pas en compte la structure électronique (numéro atomique) du matériau étudié.

Ainsi, nous voyons que les variations des densités d'électrons quasi-libres en fonction de la température (dans la gamme de validité de la température...) sont essentiellement de type exponentiel croissant ou décroissant.

A partir de la densité des électrons libres (attention il faut bien se rappeler que c'est uniquement les électrons quasi-libres qui se baladent dans nos équations mathématiques jusqu'à maintenant) dans le cristal semi-conducteur, nous pouvons en déduire l'énergie du niveau de Fermi (plus rigoureusement il s'agit du potentiel chimique!):

equation   (38.161)

d'où:

equation   (38.162)

Et puisque equation nous avons toujours à cause du logarithme qui est négatif, l'énergie de Fermi (plus rigoureusement il s'agit du potentiel chimique!) qui est inférieure ou égale à l'énergie des électrons quasi-libres:

equation   (38.163)

Ou en d'autres termes, les électrons (quasi-)libres ont une énergie supérieure à l'énergie de Fermi (potentiel chimique...) ce qui est conforme à l'approximation du gaz non dégénéré faite plus haut. Cela donne une condition d'importance capitale pour que les porteurs négatifs puissent être les générateurs de la conduction dans le matériau.

Ainsi, lorsque nous nous plaçons à une température différente du zéro absolue, les états électroniques ne sont pas tous dégénérés: il y a étalement des états occupés au voisinage de ce qui constitue par définition l'énergie de Fermi (cf. chapitre de Mécanique Statistique), effet d'autant plus accentué que la température est élevée.


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