LOI D'OHM



COURS D'ÉLECTROCINÉTIQUE

1. Lois de Kirchoff

1.1. Lois des mailles

1.2. Lois des noeuds

2. Modèle de Drude

3. Loi d'Ohm

3.1. Résistance équivalente

3.2. Capacité équivalente

4. Force électromotrice

4.1. Loi de Faraday

4.1.1. Loi de Lenz

4.1.2. Inductance

5. Semi-conducteurs

5.1. Sphère, surface et vecteur d'onde de Fermi

5.2. Densité volumique d'états quasi-libres par unité d'énergie

5.3. Densité statistique non-dégénérée des porteurs négatifs

5.3.1. Semi-conducteur non-dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann)

5.4. Densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs

5.5. Bandes d'énergie (bande de conduction, bande interdite, bande de valence)

5.6. Loi d'Ohm

A partir de la relation démontrée précédemment:

equation   (38.28)

et en prenant la définition de la "conductivité" par: 

equation   (38.29)

Il vient finalement:

equation   (38.30)

qui est la "loi locale d'Ohm". Nous la retrouverons sous forme différentielle dans le chapitre de Mécanique Statistique et nous verrons qu'elle appartient au fait à la famille des lois de diffusion!

Remarque: Puisque la conductivité est nécessairement un scalaire, l'écriture vectorielle de la loi d'Ohm implique que les lignes de champ électrostatiques indiquent également le chemin pris par les charges électriques. Par ailleurs, comme la conductivité est un scalaire nécessairement positif dans le modèle classique, ceci implique que le courant a la même direction que le champ électrique.

Si nous multiplions l'égalité sous forme scalaire à droite et à gauche par L nous obtenons:

equation   (38.31)

Donc nous avons:

equation ou equation   (38.32)

Nous définissons l'inverse de la conductivité comme la "résistance électrique" définie par:

equation   (38.33)

Remarque: Il est important de remarquer que la résistance électrique est proportionnelle à la longueur de l'élément résistif et inversement proportionnel à sa surface de section. Par exemple dans les câbles hautes tension la résistance est donnée en Ohm par kilomètre ce qui permet ensuite de calculer la puissance perdue par kilomètre et donc aussi l'argent perdu par perte Joule.

Dès lors, nous pouvons écrire la loi d'Ohm sous sa forme la plus communément connue :

equation   (38.34)

où donc (attention!!!) le potentiel U représente la différence de potentiel sur la longueur de l'élément résistif (appelé également "dipôle résistif") comme nous le voyons dans les développements et non pas le potentiel total extérieur!

Remarque: Cette relation n'est valable que pour des conducteurs idéaux dans des conditions normales de températures et de pression et pour lesquels le modèle de Drude s'applique. Donc les semi-conducteurs et supraconducteurs en sont exclus.

Puisque U est le potentiel de l'élément résistif, nous faisons alors souvent référence dans le domaine de l'électrotechnique à la "chute de potentiel" (effectivement, au delà de l'élément résistif le potentiel n'est plus le même que le point qui précède ce même élément résistif).

Pour les câbles en cuivre typiques d'usage non industriel il existe une table américaine très utile dans la pratique donnant avec une relativement bonne tolérance la resistivité en fonction du diamètre et le courant maximal admissible. Voici un échantillon de cette table:

AWG

Diamètre du fil en mm (avec isolant)

Résistance en Ω par mètre

Courant max. théoriquement admissible à l'air libre en A

Courant max. théoriquement admissible en A

1
7.35
0.0040
211
119
2
6.54
0.0051
181
94
...
...
...
...
...

12

2.05

0.00521

41

9.3

13

1.83

0.00657

35

7.4

14

1.63

0.00829

32

5.9

15

1.45

0.0104

28

4.7

16

1.29

0.0132

22

3.7

...
...
...
...
...
Tableau: 55.1  - Codes AWG pris de Wikipedia

où AWG signifie "American Wire Gauge" et correspond une petite jauge qu'on peut acheter pour rapidement déterminer le diamètre d'un câble à l'aide de la table ci-dessus sans avoir un pied à coulisse:

equation
  (38.35)Source: Wikipedia

RÉSISTANCE ÉQUIVALENTE

Nous pouvons maintenant nous intéresser sur toute la longueur d'une ligne de champ électrique parcourue colinéairement par une courant I supposé constant en tout point (c'est une approximation donc...) à la résistance totale si n éléments résistifs equation sont mis les uns à cotés des autres linéairement.

La réponse est relativement simple puisque si nous notons equation le potentiel à la première extrémité de l'élément résistif et equation l'autre extrémité, nous avons alors (le lecteur remarquera que l'usage de la loi des mailles dans la relation suivante se fait logiquement sans même avoir nécessairement connaissance de celle-ci) :

equation   (38.36)

c'est-à-dire un résultat analogue à celui obtenu par une résistance unique dont la valeur est donnée approximativement par (si le courant est constant sur toute la ligne) la "résistance équivalente de résistances en série" :

equation   (38.37)

Considérons maintenant n résistances en parallèles toutes sous une tension U (de par la loi des mailles) et alimentées par un courant I. Le courant se sépare alors en n courants :

equation   (38.38)

Dans chacune des n branches. En vertu de la loi des noeuds, nous avons :

equation   (38.39)

c'est-à-dire que l'ensemble des résistances mises en parallèles sont analogues à une "résistance équivalente de résistances en parallèles":

equation   (38.40)

donnée donc par la moyenne harmonique (cf. chapitre de Statistiques)!

Le fait de brancher des appareils en parallèle permet donc d'avoir toujours la même tension aux bornes de ceux-ci. C'est ainsi que sont disposé par ailleurs les prises électriques dans une installation domestique!

CAPACITÉ ÉQUIVALENTE

Nous pouvons de même, appliquer le même type de raisonnement aux capacités. Rappelons que nous avons défini dans le chapitre d'Électrostatique, la capacité comme étant donnée par :

equation   (38.41)

Considérons, au même titre que les résistances, n condensateurs de capacités equation mis en série les uns derrière les autres. Nous portons aux potentiels equation et equation les deux extrémités de la chaîne et nous apportons la charge Q sur l'ensemble du système. Le potentiel (tension) total aux bornes de la chaîne de condensateur s'écrit alors simplement :

equation   (38.42)

et correspond donc à celle d'une capacité unique C de "capacité équivalente de capacités en série" :

equation   (38.43)

où nous retrouvons une moyenne harmonique.

Considérons maintenant n condensateurs de capacités equation mis en parallèle avec le même potentiel U. La charge électrique de chacun d'entre eux est alors imposée (de par la loi des mailles) par la relation:

equation   (38.44)

La charge électrique totale est simplement :

equation   (38.45)

ce qui correspond à une "capacité équivalente de capacités en parallèle" :

equation   (38.46)

qui est la somme arithmétique des capacités individuelles.


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