FORCE ÉLECTROMOTRICE



COURS D'ÉLECTROCINÉTIQUE

1. Lois de Kirchoff

1.1. Lois des mailles

1.2. Lois des noeuds

2. Modèle de Drude

3. Loi d'Ohm

3.1. Résistance équivalente

3.2. Capacité équivalente

4. Force électromotrice

4.1. Loi de Faraday

4.1.1. Loi de Lenz

4.1.2. Inductance

5. Semi-conducteurs

5.1. Sphère, surface et vecteur d'onde de Fermi

5.2. Densité volumique d'états quasi-libres par unité d'énergie

5.3. Densité statistique non-dégénérée des porteurs négatifs

5.3.1. Semi-conducteur non-dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann)

5.4. Densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs

5.5. Bandes d'énergie (bande de conduction, bande interdite, bande de valence)

5.6. Loi d'Ohm

Soit une portion AB d'un circuit, parcourue par un courant permanent I allant de A vers B. L'existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur (différent) en valeur absolue à celui en B (en valeur absolue). Cette différence de potentiel se traduit par l'existence du champ électrostatique equation produisant une force de Coulomb:

equation   (38.47)

capable d'accélérer une charge q.

Ainsi, soit:

equation   (38.48)

la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q quelconque. Sachant que dans ce conducteur il y a equation porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P mise en jeu dans le brin AB parcouru par un courant I est :

equation   (38.49)

c'est-à-dire :

equation   (38.50)

où:

equation   (38.51)

Cette puissance est donc la "puissance électrique" disponible entre A et B, du simple fait qu'il y circule un courant I.

Si nous considérons dans ce circuit AB une partie résistive pour laquelle nous mesurons une différence de potentielle

equation

alors la puissance disponible à l'intérieur de celui-ci est donnée par la "puissance joule":

equation   (38.52)

Ainsi, parmi cette puissance disponible, une certaine partie est dissipée sous forme de chaleur (effet Joule) dans un dipôle passif tel que la résistance.

Cependant, quelque chose cloche dans nos développements précédents si nous y regardons de plus près. Effectivement, si nous appliquons le raisonnement à un circuit fermé, c'est-à-dire si nous regardons la puissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb, nous obtenons (bien évidemment puisque le champ électrostatique coulombien est conservatif) :

equation   (38.53)

c'est-à-dire une puissance nulle?! Eh oui! Cela signifie qu'il ne peut y avoir de courant en régime permanent dans une boucle fermée et lorsque qu'il y a un courant, alors cela implique que la force de Coulomb n'est pas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur!!

Dès lors, le courant dans un conducteur peut être compris avec l'analogie de la rivière circulant dans son lit (...). Pour qu'il y ait un écoulement, il faut que l'eau s'écoule d'une région plus élevée vers une région plus basse (d'un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas). Ainsi, le mouvement de l'eau d'un point élevé vers un point plus bas est bien dû à la simple force de gravitation. Mais si nous voulons constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l'énergie (grâce à une pompe) pour amener l'eau à une plus grande hauteur et le cycle peut alors recommencer.

C'est exactement ce qui se passe dans un circuit électrique. Si nous voulons qu'un courant permanent circule il faut qu'une autre force que la force électrostatique permette aux charges de fermer le chemin (c'est un raisonnement purement mathématique) ! C'est à ce titre que nous devons faire intervenir une source d'énergie "artificielle" externe tel que le "générateur électrique" qui est alors l'équivalent de la pompe hydraulique pour l'eau.

Le générateur doit alors nous imposer comme propriété physique que lorsque son circuit est ouvert (courant I étant alors nul) une "différence de potentiel" D.D.P. se maintienne entre ses bornes impliquant nécessairement la présence d'une autre force compensant l'attraction coulombienne du conducteur. Ainsi, la force totale s'exerçant sur une charge q s'écrit dès lors :

equation   (38.54)

avec equation étant le champ électrostatique et equation le "champ électromoteur". À l'équilibre et en l'absence de courant, nous devons avoir :

equation   (38.55)

Cela signifie que la D.D.P. aux bornes d'un générateur ouvert vaut alors :

equation   (38.56)

Nous appelons et notons :

equation   (38.57)

(un peu maladroitement) la "force électromotrice" FEM propre du générateur.

Puisque, à l'intérieur du générateur, nous avons :

equation   (38.58)

à circuit ouvert, cela signifie qu'un générateur est un conducteur non-équipotentiel (ou à "champ non conservatif").

À l'équilibre, mais en présence d'un courant I (générateur branché dans un circuit fermé), les porteurs de charge responsables de ce courant subissent une force supplémentaire, due aux collisions se produisant à l'intérieur du conducteur. Pour un générateur idéal, ces collisions sont négligeables et nous obtenons :

equation   (38.59)

En revanche, pour un générateur non idéal, de telles collisions se produisent et se traduisent par l'existence d'une résistance interne r.

Ainsi, la vraie force électromotrice est donnée par :

equation   (38.60)

La résistance interne du générateur introduit donc une chute de tension proportionnelle au courant fourni, ce qui fait qu'il délivre un potentiel inférieur à celle donnée par sa FEM.

Les générateurs diffèrent selon la source d'énergie utilisée et la méthode de conversion de celle-ci en énergie électrique (autrement dit, selon la nature de equation). Nous pouvons ainsi produire de l'énergie électrique à partie d'une pile (énergie chimique), d'un générateur électrostatique (énergie mécanique,), d'une dynamo (énergie mécanique), d'une pile solaire (énergie du rayonnement) ou d'un thermocouple (énergie chaleur).

Reprenons le calcul fait précédemment mais appliquons-le cette fois-ci à l'ensemble du circuit. Soit alors V le volume total occupé par le conducteur formant le circuit et equation la force s'exerçant sur les charges mobiles q et donc responsable de leur mouvement.

La puissance totale P qui doit être fournie en régime permanent est alors :

equation   (38.61)

où :

equation   (38.62)

est la FEM totale du circuit. L'intégrale portant sur l'ensemble du circuit, la FEM totale est donc la somme des FEM présentes le long du circuit (s'il y en a). Si celles-ci sont localisées dans des dipôles, l'expression devient :

equation   (38.63)

où les equation sont les valeurs algébriques des différentes FEM :

1. equation correspond à un "générateur" (production d'énergie électrique)

2. equation correspond à un "récepteur" (consommation d'énergie électrique)

Un moteur convertit de l'énergie électrique en énergie mécanique et correspond donc à un récepteur de FEM : nous disons également, qu'il possède une "force contre-électromotrice" ou FCEM.

LOI DE FARADAY

Maintenant que nous avons démontré la nécessité de la force électromotrice nous allons pouvoir démontrer la provenance de la "loi de Faraday" ainsi que la "loi de Lenz" dont nous avions fait usage en électrodynamique pour démontrer la troisième équation de Maxwell. La détermination de la loi de Faraday va également nous permettre de définir le concept d'inductance et d'étudier ses propriétés.

Faisons la même démarche que Faraday et posons-nous la question suivante : Comment crée-t-on un courant ?

Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sont mises en mouvement grâce à une D.D.P. qui est maintenue par une FEM. Ainsi, une pile, en convertissant son énergie chimique pendant un instant dt fournit donc une puissance P modifiant l'énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I.

Soit equation la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse equation à une particule de charge q. Sachant que dans un conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P que doit fournir le générateur (idéal) est alors (voir plus haut) :

equation   (38.64)

Nous posons donc que la FEM idéale d'un circuit est :

equation   (38.65)

Or, la force de Coulomb est incapable de produire une FEM comme nous l'avons démontré tout à l'heure. Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L'expérience de Faraday montre donc que c'est l'existence du champ magnétique qui permet l'apparition du courant (!!!!). Cela signifie que la force de Lorentz doit être responsable de l'apparition d'une FEM, c'est-à-dire :

equation   (38.66)

Donc :

equation   (38.67)

Les propriétés du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous donnant:

equation   (38.68)

nous pouvons écrire :

equation   (38.69)

Une petite remarque s'impose à ce niveau du discours. Si equation est bien le vecteur vitesse des charges q il ne peut être celui qui est colinéaire à equationcar sinon nous aurions:

equation   (38.70)

et donc e serait nul et ceci n'est pas possible car contredirait tous les développements faits jusqu'à présent ! Au fait, equation est la vitesse de l'ensemble du circuit qui entraîne avec lui l'ensemble des charges à la même vitesse !

Ainsi, pendant un temps dt, le circuit se déplace d'une distance:

equation   (38.71)

vecteur qui est perpendiculaire à equation. Dès lors:

equation   (38.72)

est la surface (voir les propriétés du produit vectoriel dans le chapitre de Calcul Vectoriel) décrite par le déplacement de l'élément equationsur la distance equation tel que:

equation   (38.73)

Nous avons alors :

equation   (38.74)

Nous reconnaissons l'expression du flux (dit "flux coupé") à travers la surface élémentaire equation. Ce qui nous amène à écrire (il y a un petit peu d'intuition - bon sens - avec la manipulation des différentiels mais bon c'est aussi ça la physique...) :

equation   (38.75)

Nous venons de démontrer la "loi de Faraday" dans le cas d'un circuit rigide, déplacé dans un champ magnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l'expression du flux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c'est l'existence d'un mouvement d'ensemble du tout ou d'une partie du circuit (revoir la démonstration pour s'en convaincre). Ainsi, l'expression de la FEM induite :

equation   (38.76)

reste valable pour un circuit déformé et/ou déplacé dans un champ magnétique statique. Cette démonstration s'est fait à partir de la force de Lorentz et est donc à priori indépendant du référentiel choisi!

LOI DE LENZ

L'énoncé de la loi de Lenz est le suivant : L'induction produit des effets qui s'opposent aux causes qui lui ont donné naissance.

Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenu dans les équations et n'apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l'occurrence, la loi de Lenz n'est que l'expression du signe "-" contenu dans la loi de Faraday.

exempleExemple:

Si nous approchons un circuit du pôle nord d'un aimant, le flux augmente et donc la FEM induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ magnétique induit opposé à celui de l'aimant. Deux conséquences :

1. L'augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie

2. Il apparaît une force de Laplace (cf. chapitre de Magnétostatique) equation négative, s'opposant à l'approche de l'aimant.

Ce signe "-" dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditions normales, il n'y a pas d'emballement possible (exemple: courant ne faisant qu'augmenter).

C'est la raison pour laquelle la loi de Lorenz est souvent appelée "loi de Lenz-Faraday".

INDUCTANCE

Nous avons donc :

equation   (38.77)

Or la loi de Biot-Savart nous donne (cf. chapitre de Magnétostatique) :

equation   (38.78)

Dès lors :

equation   (38.79)

que nous simplifions simplement par:

equation   (38.80)

L est le "coefficient d'auto-induction" ou "auto-inductance" (ou "self"), exprimé en "Henry" [H]. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif.

Avec les lois que nous avons énoncées jusqu'à présent, nous sommes en mesure d'étudier certains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d'un champ (électrique ou magnétique) constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués à des systèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilité s'effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d'ajustement du champ. Voici tout de suite un exemple concret:

La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c'est-à-dire le même dans tout le circuit. Lorsque nous fermons un interrupteur, un signal électromagnétique se propage dans tout le circuit et c'est ainsi que peut s'établir un courant permanent : cela prend un temps de l'ordre de l/cl est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si nous avons maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T (c'est juste un exemple... pris au hasard...), alors nous pourrons malgré tout utiliser les relations déduites de la magnétostatique si :

equation   (38.81)

Ainsi, bien que le courant soit variable, la création d'un champ magnétique obéira à la loi de Biot-Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelé "régime quasistatique" dans le sens qu'il est transitoire.

Donc, puisque nous avons :

equation et equation   (38.82)

Nous avons alors si et seulement si le courant est variable dans le circuit :

equation   (38.83)

L étant constant pour un circuit rigide. La self ("inductance" en français) crée donc une force électromotrice inverse de celle générée par le courant à ses bornes. Cette force électromotrice a donc un sens inverse à celle du générateur électrique.

Remarque: Nous voyons bien dans la relation obtenue, qu'en régime stationnaire, si le courant est constant, alors la force électromotrice est nulle et la self se comporte alors comme une simple équipotentielle!

Il convient de donner maintenant un exemple important et simple à la fois de la loi de Lenz en l'appliquant au calcul l'inductance d'un solénoïde de rayon r (l'inductance d'un solénoïde torique à section circulaire ayant déjà été faite dans le chapitre de Magnétostatique). Nous avons vu dans le chapitre de Magnétostatique que le champ magnétique dans un solénoïde était donné par :

equation   (38.84)

De plus, nous avons equation (où l est la longueur du solénoïde) nous avons vu plus haut que le flux du champ magnétique était donné par (si le champ est perpendiculaire à la surface traversée) :

equation   (38.85)

Donc le flux à travers N spires s'écrit :

equation   (38.86)

Dès lors, dans le cas d'un solénoïde avec N spires il vient immédiatement :

equation   (38.87)

Le taux de variation du flux magnétique se trouve par dérivation, soit :

equation
  (38.88)

La force électromotrice engendrée est ainsi :

equation   (38.89)

Avec :

equation   (38.90)

Calculons maintenant la puissance reçue par une bobine. Nous avons démontré plus haut que nous avons toujours dans notre cas d'étude et si nous modélisons l'inductance comme un dipôle non idéal:

equation   (38.91)

où les lettres en minuscules indiquent que nous sommes en régime non constant:

equation   (38.92)

Contrairement au développement que nous avions fait dans le chapitre d'Électrostatique pour le même calcul en ce qui concerne la capacité, nous n'avons pas négligé ici la dissipation d'énergie par effet Joule. Mais il faut savoir que dans la majorité des cas ce terme est aussi négligé!

Donc par intégration dans un intervalle de temps donné de 0 à t nous avons pour le deuxième terme:

equation   (38.93)

Lors i décroit, la bobine restitue cette énergie. Nous ne pouvons donc pas stocker de l'énergie dans une bobine isolée contrairement à un condensateur.

Dans le cadre d'un régime sinusoïdal, la puissance moyenne sera nulle. Nous pouvons généraliser ceci en admettant qu'une inductance parfaite ne dissipe aucune puissance par effet Joule.


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