DENSITÉ STATISTIQUE NON-DÉGÉNERÉE DES PORTEURS POSITIFS



COURS D'ÉLECTROCINÉTIQUE

1. Lois de Kirchoff

1.1. Lois des mailles

1.2. Lois des noeuds

2. Modèle de Drude

3. Loi d'Ohm

3.1. Résistance équivalente

3.2. Capacité équivalente

4. Force électromotrice

4.1. Loi de Faraday

4.1.1. Loi de Lenz

4.1.2. Inductance

5. Semi-conducteurs

5.1. Sphère, surface et vecteur d'onde de Fermi

5.2. Densité volumique d'états quasi-libres par unité d'énergie

5.3. Densité statistique non-dégénérée des porteurs négatifs

5.3.1. Semi-conducteur non-dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann)

5.4. Densité statistique non-dégénérée des porteurs positifs

5.5. Bandes d'énergie (bande de conduction, bande interdite, bande de valence)

5.6. Loi d'Ohm

Avant toute chose, il faut savoir que dans l'état actuel de nos connaissances les "trous" n'émergent pas des équations mais sont une construction empirique qui permet de faire correspondre la théorie et l'expérience (charges positives de l'effet Hall par exemple). Il s'agit donc d'un artifice pour faire une théorie simple d'une question intraitable rigoureusement à notre époque par la physique quantique.

Personnellement, je considère les trous de la même manière que les points de Lagrange en astronomie: Même s'il n'y aucun corps en ces points de Lagrange cela n'empêche pas un satellite de se mettre en orbite (quasi-stable) autour de ceux-ci (possibilité que nous n'avons pas démontrée dans le chapitre d'Astronomie) comme s'il y avait une masse! Par ailleurs des expériences auraient démontré au début des années 2000 que des points de Lagrange apparaissent au niveau de l'atome dans certaines conditions idéales et simplifiées!

Ceci dit il faut se rappeler que un trou n'est pas un électron qui manque! C'est une idiotie que l'on voit dans certains ouvrages spécialisés.

Au risque de se répéter un peu souvent, rappelons que pour une température T fixée la probabilité qu'un électron occupe un état d'énergie E:

equation   (38.164)

Ce qui fait que pour avoir une meilleure approximation nous écrivions en toute logique la densité volumique d'états occupés par unité d'énergie:

equation   (38.165)

Ce qui nous a amené finalement à la relation suivante de la densité volumique d'états où la présence d'une masse dans la relation indique que les états occupés le sont par des quasi-particules tel que:

equation   (38.166)

Mais qu'en est-il de la probabilité qu'un électron n'occupe pas pour une température T fixée un état d'énergie E et trivialement donnée par la différence:

equation   (38.167)

Eh bien nous allons constater que les équations nous amènent à la possibilité d'associer aussi à ces états non occupés densité volumique d'états avec une masse effective donnée (et plus tard une charge électrique égale et positive à l'électron).

Nous avons donc:

equation   (38.168)

faisons maintenant la même approximation que pour les porteurs négatifs c'est-à-dire que:

equation   (38.169)

pour imposer un régime semi-classique et donc les états d'énergie ne sont de loin pas tous occupés par les trous (il n'y a donc pas dégénérescence).

Cette restriction impose:

equation   (38.170)

Soit écrit de la même manière que pour les porteurs négatifs:

equation   (38.171)

Soit contrairement aux porteurs négatifs cela impose:

equation   (38.172)

en d'autres termes l'énergie doit être bien inférieure au niveau de Fermi (potentiel chimique). Les physiciens notent alors cette énergie equation pour la distinguer et l'appellent "énergie maximale de la bande de valence" (qui correspond à l'énergie maximale d'un trou quasi-libre pour satisfaire cette condition).

Dès lors:

equation   (38.173)

Nous sommes donc bien dans une situation où la physique classique prédomine sur la physique quantique. C'est la raison pour laquelle dans cette approximation nous disons qu'un que nous avons alors affaire à un "semi-conducteur non-dégénéré" car les trous ne sont pas entassés dans les niveaux les plus hauts disponibles.

Nous avons alors:

equation   (38.174)

Pour pouvoir continuer, nous faisons un changement de variable en posant:

equation   (38.175)

d'où:

equation et equation   (38.176)

Il vient alors:

equation   (38.177)

Nous faisons une intégration par parties:

equation   (38.178)

nous faisons ensuite un changement de variable en posant:

equation   (38.179)

Ce qui donne:

equation   (38.180)

Nous avons déjà calculé cette intégrale dans le chapitre de Statistiques. Il vient (puisque la fonction est paire):

equation   (38.181)

Nous avons alors finalement:

equation   (38.182)

où pour rappel, equation est la masse de la quasi-particule (et non la masse du trou pour rappel!). Donc après intégration tout se passe comme si tous les trous étaient concentrés sur le niveau d'énergie equation avec un nombre de places disponibles correspondant à:

equation   (38.183)

Ce que nous notons traditionnellement (et de manière un peu malheureuse... car il n'est pas évident de se rappeler qu'il s'agit d'une densité):

equation   (38.184)

ou encore:

equation   (38.185)

où nous avons environ à température ambiante (c'est le paramètre de la masse effective qui varie entre les deux) les valeurs suivantes d'états (quasi-)libres respective pour le Silicium:

equation   (38.186)

et pour le Germanium:

equation   (38.187)

BANDES D'ÉNERGIE

Les développements précédents pour les porteurs négatifs et positifs nous ont monté que dans le cadre de l'approximation d'un gaz de fermion non dégénéré, l'énergie des porteurs négatifs doit se trouver bien au-dessus du niveau de Fermi (potentiel chimique) et l'énergie des porteurs positifs bien en-dessous.

C'est donc comme s'il y a avait un intervalle d'énergie interdit ou ni électrons, ni trous ont droit de se situer! Cet intervalle d'énergie est traditionnellement appelé "bande d'énergie interdite" ou plus simplement "bande interdite" et abrégée B.I.

L'intervalle d'énergie interdit est quand à lui souvent appelé "gap" et est noté equation.

equation
  (38.188)

De plus, sachant que la chimie moléculaire permet de démontrer que des structures sont composées de multiples bandes (en fonction du premier et deuxième nombre quantique) il vient alors les définitions rigoureuses suivantes:

D1. La "bande de conduction" (notée BC) d'une structure solide est la bande de plus basse énergie partiellement occupée ou vide (sachant que d'autres bandes se situent au-dessus en termes énergétiques mais ne se rempliront que sous des températures élevées et existent que par une description théorique lorsqu'elles sont vides).

D2. La "bande de valence" (notée BV) d'une structure solide est la bande de plus haute énergie saturée, c'est-à-dire dont tous les états sont occupés (sachant qu'il peut y avoir en-dessous de multiples bandes en termes énergétiques et toutes saturées).

Nous avons également l'association schématique traditionnelle des bandes de conduction et de valence avec la fonction de Fermi-Dirac (qui comme déjà mentionné en tout rigueur devrait être le potentiel chimique à température non nulle!) représentée sous forme simplifiée par:

equation
  (38.189)

Mais au fait cette représentation, que nous retrouvons un peu partout dans les mauvais livres, est très erronée... puisqu'en faisant une approximation semi-classique par la loi de Maxwell-Boltzmann il n'est plus question en toute rigueur de représenter la distribution sous forme de loi de Fermi-Dirac comme l'aura remarqué le lecteur attentif! Comme quoi il faut faire attention car la représentation traditionnelle de equation dans la modèle semi-classique indiquerait qu'il y aurait des états occupés dans la bande interdite alors que si nous représentions la fonction de Maxwell-Boltzmann equation, nous verrions deux fonctions distinctes au-dessus et en-dessous de la bande interdite!!!

Et il faut se rappeler (!) que la figure ci-dessus (même si elle est assez fausse) représente concedptuellement un semi-conducteur non dégénéré suite aux approximations semi-classiques que nous avons faites dans nos développements en utilisant le modèle d'un gaz non dégénéré (approximation de Maxwell-Boltzmann) et qui imposait théoriquement:

equation   (38.190)

que de nombreux auteurs écrivent (à nouveau c'est malheureux mais c'est ainsi...):

equation   (38.191)

Donc il vient qu'une autre définition possible du semi-conducteur non dégénéré: c'est celui où le niveau de Fermi (le potentiel chimique!) se situe dans la bande interdite et ce cas correspond au fonctionnement de la majorité des composants microélectroniques.

Remarque: Rappelons (cf. chapitre de Mécanique Statistique) que la statistique de Maxwell-Boltzmann a été bâtie en supposant l'absence d'interaction entre les particules concernées. De plus, cette statistique est construite dans le cadre de la mécanique classique et ne s'applique donc que lorsque les effets quantiques sont négligeables, par exemple à des températures suffisamment hautes!

Voici quelques valeurs expérimentales pour des semi-conducteurs courants:

equation

300 [K]

0 [K]

C

5.47

5.51

Ge

0.66

0.75

Si

1.12

1.16

GaAs

1.43

1.53

Tableau: 55.2  - Valeurs de quelques gap

nous comprenons alors de suite au vu des ces chiffres pourquoi le diamant, à structure cristalline et atomique quasi-identique, est isolant alors que le Silicium devient lui conducteur!

Ce qui est intéressant pour les chercheurs c'est de combiner des matériaux afin de jour avec la largeur de equation en fonction des besoins!

Par ailleurs, nous pouvons aussi conclure hâtivement... que ce qui différence isolants et semi-conducteurs c'est la largeur de leur bande interdite.

Remarquons aussi que l'énergie nécessaire à un électron pour passer de la bande de valence à la bande de conduction peut lui être fournie par un rayonnement.  Dans le cas d'une absorption de lumière, l'énergie equation d'un photon peut être suffisante à cela tant que:

equation   (38.192)

A basse température, un tel processus est capable de rendre le matériau conducteur (technologie des télescopes spatiaux à basse température). Cette propriété est appelée la "photoconductivité".

LOI D'OHM

Nous avons démontré dans le cadre du modèle de Drude que la conductivité était donnée par:

equation   (38.193)

n est pour rappel la densité de porteurs dans le matériau. Nous avons également démontré que le courant est inversement proportionnel à la conductivité selon la relation:

equation   (38.194)

Dans le cadre des développements faits plus haut nous avons vu que la densité n des porteurs  était donnée respectivement par les relations suivantes à un potentiel constant (hypothèse du modèle):

equation et equation   (38.195)

où la masse relative equation de la quasi-particule (porteur négatif ou porteur positif) ne sont pas nécessairement égaux! Ainsi, nous avons donc la résistance qui peut être approchée par une relation de la forme:

equation   (38.196)

et nous vérifions aisément cette dépendance en représentant graphiquement:

equation   (38.197)

soit ln(R) en fonction de 1/T (la résistance ne dépend donc que de la température en théorie... à tension constante).

La vraie complexité tient au fait que beaucoup de termes sont dépendants de la température (le niveau de Fermi, le temps de libre parcours moyen, etc.) et du potentiel appliqué ce qui fait que dans la réalité les courbes obtenues ne sont pas de loin pas conformes à la théorie....!

Une application numérique montre que les densités de porteurs equation et equation augmentent donc très rapidement déjà à partir de la température ambiante! Ce qui est conforme à l'expérience avec les semi-conducteurs non-dégénérés car nous aurons alors la conductivité qui augmente tout aussi fortement ce qui implique une baisse rapide de la résistance!

La grande sensibilité de la conductivité de certains solides aux variations de température est à l'origine de nombreuses applications, tant pour les métaux conducteurs que pour les semi-conducteurs. C'est ce que nous appelons des "thermistances".

Enfin, indiquons que dans le cas du Silicium nous avons equation alors que l'énergie cinétique due à l'agitation thermique (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) est donnée à température ambiante par:

equation   (38.198)

Or, nous avons vu précédemment que seuls les électrons dont l'énergie était voisine de celle du niveau de Fermi pouvaient participer à la conduction. Leur énergie cinétique valant alors:

equation   (38.199)

equation est la "vitesse de Fermi".

En égalisant les deux dernières relations:

equation   (38.200)

Il y a donc un rapport d'un facteur de 30 entre les deux énergies, soit en prenant la racine carrée, un rapport 5 entre les vitesses. Nous avons donc:

equation   (38.201)

Or, nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Drude que la vitesse thermique nous amenait à un libre parcours moyen supérieur d'un ordre grandeur (facteur 10) des distances interatomiques. Et ici nous avons donc un facteur 5 en plus!!!! Soit plus de 50 distances interatomiques! Le libre parcours moyen l d'un électron de conduction est donc beaucoup plus grand que celui que nous avions déterminé à partir du modèle classique de Drude. Ainsi, le libre parcours moyen ne semble pas due aux collisions avec les ions du réseau mais elle est imputable aux imperfections du réseau: défauts de structure, atomes étrangers...

Un semi-conducteur parfait (pur), soit sans imperfections, tel que nous l'avons traité théoriquement jusqu'à maintenant est appelé un "semi-conducteur intrinsèque" : il ne comporte donc aucune impureté et son comportement électrique ne dépend que de la structure du matériau. Ce comportement correspond à un semi-conducteur parfait, c'est-à-dire sans défaut structurel ou impureté chimique. Un semi-conducteur réel n'est jamais parfaitement intrinsèque mais peut parfois en être proche comme le silicium monocristallin pur.

Dans un semi-conducteur intrinsèque, les porteurs de charge ne sont créés que par excitation thermique. Le nombre d'électrons dans la bande de conduction est alors égal au nombre de trous dans la bande de valence comme nous l'a montré notre modèle théorique.

Il faut savoir qu'en réalité ces semi-conducteurs ne conduisent pas, ou très peu, le courant, excepté si nous les portons à haute température.